专题09平行四边形期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行四边形的定义，熟记边、角、对角线三大性质，掌握平行四边形的判定定理。 2.掌握三角形中位线的定义、性质及推论，明确中位线与中线的区别。 3.了解多边形相关概念，熟练运用多边形内角和、外角和公式进行计算。 4.区分平行四边形各类判定方法，理清性质与判定的互逆关系。 5.掌握平行四边形相关图形的边角、线段、角度计算的基本结论。 1.能结合图形，运用平行四边形性质进行线段、角度的推理与计算。 2.能根据已知条件，灵活选择判定定理，证明四边形为平行四边形。 3.会利用三角形中位线定理解决线段求值、位置关系证明类问题。 4.具备识图、画图能力，能结合平行线、全等三角形知识完成综合推理。 5.熟练运用多边形内角和、外角和公式求解边数、角度等问题。 6.培养几何逻辑推理、数形结合、转化的数学思维。 1.选择、填空题：熟练解决性质判断、角度 / 线段计算、多边形角度计算、中位线基础题，做到零失误。 2.基础证明题：规范书写证明步骤，准确选用平行四边形判定定理，逻辑严谨、格式标准。 3.中档综合题：结合全等三角形、平行线知识，攻克几何计算与推理综合题型。 4.压轴题型：掌握动点、探究类平行四边形题型的解题思路，会分类讨论。 5.规避易错点：判定定理混用、条件缺失、证明步骤跳步、中位线性质误用、多边形公式记混等问题。 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰梯形的定义与性质 题型05.数与构造平行四边形的个数 题型06.判定能否构成平行四边形 题型07.添条件成为平行四边形 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.利用平行四边形判定与性质求解 题型10.利用平行四边形性质与判定证明 题型11.平行四边形性质与判定应用 题型12.三角形中位线的求解 题型13.三角形中位线的证明 题型14.三角形中位线的实际应用 题型15.平行四边形与折叠问题 题型16.平行四边形最值问题 题型17.平行四边形与动点问题 题型18.平行四边形与坐标系综合 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形的性质（三大性质，考试必考） 平行四边形的性质用于：已知是平行四边形，求边、角、线段 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 ✨平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ✨一条对角线等分平行四边形面积； ✨两条对角线将图形分成四个面积相等的小三角形。 知识点03:平行四边形的判定（重中之重） 判定用途：已知边角条件，证明四边形是平行四边形 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ✨重点警示（易错题）： 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，有可能是等腰梯形。 知识点04:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 知识点05:高频易错点（老师必强调） 易错板块 错误原因 标准答题要求 判定误区 误用：一组对边平行，另一组对边相等判定平行四边形 此条件不能判定，只能用课本 5 种判定 概念混淆 混淆三角形中位线与中线 中位线连两边中点；中线连顶点和底边中点 证明扣分 证明平行四边形条件不全、跳步 每一个结论，必须满足对应判定定理完整条件 图形认知 误认为平行四边形是轴对称图形 普通平行四边形仅为中心对称图形 计算易错 忽略邻角互补，只记对角相等 求角度优先利用：对角相等、邻角互补 题型01.利用平行四边形性质求解 1．如图，在平行四边形中，，相交于点，若，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出、、的长，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 2．如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到是的中点，结合垂直，得出是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等得，再根据和，计算出、和的长度，然后在中，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到，进而推出邻补角，最后在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，E是平行四边形边上的一点，且，连结，并延长与的延长线交于点F，．求这个平行四边形各内角的大小． 【答案】该平行四边形各内角的大小为，，， 【分析】根据平行四边形得到，因此，由得到，根据三角形的内角和定理求出，再由平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴该平行四边形各内角的大小为，，，． 题型02.利用平行四边形性质证明 4．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 5．如图，在中，点分别在边上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴． 题型03.平行四边形性质的应用 7．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 9．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 题型04.等腰梯形的定义与性质 10．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，再利用勾股定理计算斜边即可． 【详解】如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 11．如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【答案】 120 【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数 【详解】解：正六边形的内角和为 每个内角为 因为图案由 个全等的等腰梯形拼成 所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成 所以等腰梯形的锐角底角为 因为等腰梯形同一腰上的两个角互补 所以等腰梯形的钝角底角为 观察图形可知， 是等腰梯形的钝角 所以． 12．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 13．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 14．如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，，利用等腰梯形的性质，得到两个底角相等，从而得到一个等腰三角形，利用三角形的面积关系推导即可． 【详解】证明：如图，延长，，交于点M，连接， ∵， ∴梯形是等腰梯形， ∴， （因教材版本，无等腰梯形的性质，此处补充证明： 如图，作，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，） ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， 又， ∴． 题型05.数与构造平行四边形的个数 15．如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 16．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 17．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 【答案】 【分析】找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是． 题型06.判定能否构成平行四边形 18．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可得到结论． 【详解】选项A：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故本选项正确． 选项B：当，时，四边形可能是等腰梯形，无法判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 选项C：∵，，四边形内角和为， ∴ ，即， ∴， 无法推出另一组对边平行或相等， ∴不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 选项D：，仅能说明四边形邻边相等，例如筝形满足该条件，但不是平行四边形， ∴不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 19．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 20．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型07.添条件成为平行四边形 21．如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 22．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意． 23．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型08.证明四边形是平行四边形 24．如图，点A、B、E在同一条直线上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：点A、B、E在同一条直线上，， ， ， 四边形为平行四边形， ． 25．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线性质和中点条件，通过证明三角形全等； （2）由全等得线段相等，再结合已知的平行关系，用“一组对边平行且相等”判定平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵在与中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 26．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是：． 题型09.利用平行四边形判定与性质求解 27．如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接、，容易证明四边形是平行四边形，则，利用同高的三角形之间的关系，依次求出，． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 28．如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】先推导出，证明出四边形是平行四边形，得到，继而推导出，得到四边形是平行四边形，则，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 29．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 题型10.利用平行四边形性质与判定证明 30．如图，在中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题利用平行四边形的性质得到，，再通过线段的和差关系推导出，证明四边形是平行四边形后即可利用其性质证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 31．如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 32．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 题型11.平行四边形性质与判定应用 33．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． . 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 34．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 35．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 题型12.三角形中位线的求解 36．如图，在中，，，，D是的中点． (1)用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线即可得到的中点； （2）先求出，再得到是的中位线，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：连接，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 37．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 【答案】 【分析】延长交于点，先证明，得，再由中位线可得． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线， ， ， ， 在和中，， ， ，点是的中点， ， ， 点M为边的中点， 是的中位线， ． 38．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 题型13.三角形中位线的证明 39．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 40．如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 41．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：的对角线与交于点， ， 由（1）， ∴， 是的中位线， ，且， ． 题型14.三角形中位线的实际应用 42．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 【答案】(1)37° (2)7 【分析】（1）根据D，F分别是边AB，AC的中点，得到DF//BC，进而得出∠B＝∠ADF＝53°，再由三角形内角和180°，即可得到∠C的度数． （2）根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得到DE//AC，，EF//AB，，结合，，可求出DF，EF的长，进而得到四边形ADEF的周长． 【详解】（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点， ∴DF//BC， ∵∠ADF＝53°， ∴∠B＝∠ADF＝53°， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝180°－90°－53°＝37°． （2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB， ∵，， ∴AF＝DE＝2，， ∴四边形ADEF的周长． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形中位线定理，四边形周长等知识，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题关键． 43．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BF＝（AB﹣AC），证明见解析 【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论； （2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG和△AEC中， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形． （2）解：BF＝（AB﹣AC）． 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE． ∵D、E分别是BC、GC的中点， ∴BF＝DE＝BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 44．如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）求证，从而判定平行四边形； （2）如图，作，交于点Ｋ，可求证，，，从而，于是； （3）解：如图，延长，交于点J，连接，可证，进一步求证，于是；过点A作，垂足为M，过点K作,是等腰直角三角形，四边形是平行四边形；由（2）知，得，；过点A作，交于L，连接，可证，于是，；进一步求证，于是．中,运用勾股定理求得，于是．过点F 作，垂足为O，可求得.求证，得．所以． 【详解】（1）证明：∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，作，交于点Ｋ， ∵， ∴． ∴．   ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴．    （3）解：如图，延长，交于点J，连接 ∵ ∴. ∵, ∴． ∴．   ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． 过点A作，垂足为M，过点K作，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形； 由（2）知， ∴ ∴．   ∴． 过点A作，交于L，连接， ∵ ∴． ∵， ∴． ∴，．   ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． 设，则， ∴，解得，即 ∴． 过点F 作，垂足为O， ∵ ∴. ∴. ∵ ∴ ∴ ∴． ∴． ∴．        【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，中位线定理，通过全等三角形判定寻求线段相等是解题的关键． 题型15.平行四边形与折叠问题 45．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 46．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 47．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型16.平行四边形最值问题 48．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值4． 故选：D． 50．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型17.平行四边形与动点问题 51．如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 【答案】 12 【分析】将转化为与面积相关的表达式．因为平行四边形中，且已知，，所以可利用平行四边形的面积公式，结合与平行四边形的面积关系求解． 【详解】过作边上的高，连结， 在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵动点在上时， ∴ ． ∵， ∴， 代入， 得， 整理得． 52．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∵点是边上的动点， ∴当时，线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 53．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）先根据翻折的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，接下来结合，可得，然后根据“等边对等角”得，进而得出最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）先延长与交于点M，根据平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而得，再设，可得，然后根据“角角边”证明，可得，最后结合得出方程，求出解即可； （3）当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，可得，即可得出，再分两种情况讨论：当点在下方时，交于点O，然后根据直角三角形的性质及勾股定理求出，接下来求出，最后根据点P刚好落在的中点上得出答案；当点在上方时，直线交于点O，结合直角三角形的性质求出，再求出可得答案． 【详解】（1）证明：∵沿着翻折至， ∴． 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示；延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∴． ∵ ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 当时，， 当点在下方时，交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴； . 当点在上方时，直线交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴， 所以的长为或． 题型18.平行四边形与坐标系综合 54．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 55．如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】分情况讨论，由平行四边形的性质，直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：当P在边上时，，只有，作于点，如图： ， ， ，， ， ， ∴P的坐标是， 当P在边上时，，只有，如图： ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴P的坐标是； 当P在CD上时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 是钝角三角形． ∴P的坐标是或． 56．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 57．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，点，可得，即可求解； （2）过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，可得，由题意得，，，，由的面积是平行四边形OABC面积的一半，可得，代入值即可求解； （3）由（2）可得，，，可得，取点，作点关于轴的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴点B的坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得， 由题意得，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴由题意得，， ∴，符合题意， ∴当时，的面积是平行四边形面积的一半． （3）解：由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， 取点， ∵， ∴要使最小，即在轴上找一点，使得最小， 作点关于轴的对称点， ∴当，，三点共线时，的最小值为， ∴的最小值为．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行四边形的定义，熟记边、角、对角线三大性质，掌握平行四边形的判定定理。 2.掌握三角形中位线的定义、性质及推论，明确中位线与中线的区别。 3.了解多边形相关概念，熟练运用多边形内角和、外角和公式进行计算。 4.区分平行四边形各类判定方法，理清性质与判定的互逆关系。 5.掌握平行四边形相关图形的边角、线段、角度计算的基本结论。 1.能结合图形，运用平行四边形性质进行线段、角度的推理与计算。 2.能根据已知条件，灵活选择判定定理，证明四边形为平行四边形。 3.会利用三角形中位线定理解决线段求值、位置关系证明类问题。 4.具备识图、画图能力，能结合平行线、全等三角形知识完成综合推理。 5.熟练运用多边形内角和、外角和公式求解边数、角度等问题。 6.培养几何逻辑推理、数形结合、转化的数学思维。 1.选择、填空题：熟练解决性质判断、角度 / 线段计算、多边形角度计算、中位线基础题，做到零失误。 2.基础证明题：规范书写证明步骤，准确选用平行四边形判定定理，逻辑严谨、格式标准。 3.中档综合题：结合全等三角形、平行线知识，攻克几何计算与推理综合题型。 4.压轴题型：掌握动点、探究类平行四边形题型的解题思路，会分类讨论。 5.规避易错点：判定定理混用、条件缺失、证明步骤跳步、中位线性质误用、多边形公式记混等问题。 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰的定梯形义与性质 题型05.数与构造平行四边形的个数 题型06.判定能否构成平行四边形 题型07.添条件成为平行四边形 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.利用平行四边形判定与性质求解 题型10.利用平行四边形性质与判定证明 题型11.平行四边形性质与判定应用 题型12.三角形中位线的求解 题型13.三角形中位线的证明 题型14.三角形中位线的实际应用 题型15.平行四边形与折叠问题 题型16.平行四边形最值问题 题型17.平行四边形与动点问题 题型18.平行四边形与坐标系综合 知识点01:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形的性质（三大性质，考试必考） 平行四边形的性质用于：已知是平行四边形，求边、角、线段 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 ✨平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ✨一条对角线等分平行四边形面积； ✨两条对角线将图形分成四个面积相等的小三角形。 知识点03:平行四边形的判定（重中之重） 判定用途：已知边角条件，证明四边形是平行四边形 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ✨重点警示（易错题）： 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，有可能是等腰梯形。 知识点04:重中之重：三角形中位线 1. 概念精准区分（特色易混辨析） 三角形中位线：连接三角形两条边中点的线段； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；. 核心区别：中位线无顶点，中线必带顶点，一字之差完全不同。 2. 三角形中位线定理（必考核心） 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 双重考点：既有位置平行关系，又有数量倍数关系，一题两用。 标准几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 中位线与中线的区别 中位线：连接两边中点，平行于第三边。 中线：连接顶点与对边中点，经过重心。 4.三角形中位线拓展规律 任意三角形有三条中位线，围成一个小三角形； 中位线分割：原三角形被三条中位线分成四个全等小三角形； 数值规律：小三角形周长=原三角形周长小三角形面积=原三角形面积 知识点05:高频易错点（老师必强调） 易错板块 错误原因 标准答题要求 判定误区 误用：一组对边平行，另一组对边相等判定平行四边形 此条件不能判定，只能用课本 5 种判定 概念混淆 混淆三角形中位线与中线 中位线连两边中点；中线连顶点和底边中点 证明扣分 证明平行四边形条件不全、跳步 每一个结论，必须满足对应判定定理完整条件 图形认知 误认为平行四边形是轴对称图形 普通平行四边形仅为中心对称图形 计算易错 忽略邻角互补，只记对角相等 求角度优先利用：对角相等、邻角互补 题型01.利用平行四边形性质求解 1．如图，在平行四边形中，，相交于点，若，，，则的周长为______． 2．如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，E是平行四边形边上的一点，且，连结，并延长与的延长线交于点F，．求这个平行四边形各内角的大小． 题型02.利用平行四边形性质证明 4．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 5．如图，在中，点分别在边上，．求证：． 6．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 题型03.平行四边形性质的应用 7．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 8．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 9．如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 题型04.等腰梯形的定义与性质 10．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 11．如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 12．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 13．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在梯形中，为上任意一点，，垂足分别为，求证：． 题型05.数与构造平行四边形的个数 15．如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 16．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 17．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 题型06.判定能否构成平行四边形 18．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 20．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 题型07.添条件成为平行四边形 21．如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 22．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 题型08.证明四边形是平行四边形 24．如图，点A、B、E在同一条直线上，．求证：． 25．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 26．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 题型09.利用平行四边形判定与性质求解 27．如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 28．如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 29．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 题型10.利用平行四边形性质与判定证明 30．如图，在中，点，分别在边，上，且．求证：． 31．如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 32．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 题型11.平行四边形性质与判定应用 33．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． . 34．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 35．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 题型12.三角形中位线的求解 36．如图，在中，，，，D是的中点． (1)用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的长度． 37．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 38．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 题型13.三角形中位线的证明 39．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 40．如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 41．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 题型14.三角形中位线的实际应用 42．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 43．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 44．如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 题型15.平行四边形与折叠问题 45．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 46．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 题型16.平行四边形最值问题 48．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 49．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 50．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 题型17.平行四边形与动点问题 51．如图，在中，，是边上的动点，连结，过点作于点．则的值是_____． 52．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 53．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 题型18.平行四边形与坐标系综合 54．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 55．如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 56．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 57．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $