专题06图形的旋转期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题06图形的旋转期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握旋转定义，明确旋转中心、方向、角度三大核心要素，能区分旋转与平移、轴对称等其他图形变换。 2.熟记旋转核心性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应线段、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。 3.掌握坐标系中图形绕原点旋转 90°、180° 的坐标变化规律，能快速求出旋转后对应点的坐标。 4.掌握旋转作图的标准步骤，能按题目要求完成规范的旋转作图。 1.能准确判断生活与几何图形中的旋转现象，精准识别旋转的三大核心要素。 2.能灵活运用旋转性质，完成角度、线段长度的计算与简单几何证明，规范书写解题步骤。 3.能按题目要求规范完成旋转作图，保证对应点位置准确、图形轮廓完整。 4.能结合旋转坐标规律，解决坐标系内的图形旋转问题，实现图形变换与坐标的相互转化。 5.能借助旋转的转化思想，整合分散的几何条件，解决复杂的几何综合题。 1.选择、填空题：快速判断旋转现象、套用旋转性质与坐标规律求解角度、线段长、点坐标，杜绝基础概念失分。 2.作图题：严格按题目要求规范完成旋转作图，拿满基础分值。 3.解答题：灵活运用旋转的不变性，结合三角形、四边形等知识完成计算与证明，步骤完整、逻辑清晰。 4.综合题：熟练运用旋转转化思想，突破几何压轴题，有效规避概念、作图、计算类高频易错点。 题型01.判断生活中的旋转现象 题型02.判断图形旋转而成的图案 题型03.找旋转中.心.旋转角.对应点 题型04.由旋转性质说明线段或角相等 题型05.旋转中的规律性问题. 题型06.坐标系中的旋转 题型07.求绕原点旋转90的点的坐标 题型08.求绕某点旋转90的点的坐标 题型09.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型10.坐标与旋转规律问题 题型11.线段问题 题型12.面积问题 题型13.角度问题 题型14.成中心对称 题型15.画已知图形的中心对称图形 题型16.由中心对称性质求解 题型17.中心对称图形的识别 题型18.方格纸中补画中心对称图形 题型19.求关于原点对称的点的坐标 题型20.已知两点关于原点对称求参数 题型21.判断两个点是否关于原点对称 题型22.按要求画出变换后图形 知识点01:旋转的概念 1. 定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。 2. 旋转三要素（必考） 旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角。三要素缺一不可。 3. 旋转特征 (1)旋转只改变图形位置，不改变图形形状、大小； (2)旋转前后图形全等； (3)旋转中心是唯一不动的点。 知识点02:旋转的基本性质（解答题高频考点） 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角； 4.所有旋转角都相等。 万能口诀：距离相等、边角不变、旋转角同、图形全等 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点03:旋转作图（期末作图题） 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 知识点04:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点05:中心对称与中心对称图形的区别与联系 知识点06:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点07:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点08:坐标系中的中心对称（最核心考点） 题型01.判断生活中的旋转现象 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】C 【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转． 2．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：c． 题型02.判断图形旋转而成的图案 4．把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中的三角形可看成上、下两个直角三角形，上面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体是一个圆锥，下面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体也是一个圆锥． 【详解】解：图中三角形绕轴旋转一周后得到的几何体应是圆锥和圆锥的组合体． 5．下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转是绕着一个定点转动，平移是沿某个方向移动．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形可以看作由一个基本三角形绕中心旋转得到，属于旋转现象； B、该图形是由一个基本图形沿直线方向移动得到的，属于平移现象，不是通过旋转得到的； C、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象； D、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象． 6．如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 题型03.找旋转中.心.旋转角.对应点 7．如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【分析】此题考查了旋转以及平移的定义，只要熟悉游戏和旋转以及平移的定义，即可根据图形作出正确解答． 根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 8．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 9．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合， ∴旋转角为， ∵点在底边上， ∴，即旋转角的度数为． 题型04.由旋转性质说明线段或角相等 10．如图，将绕着点逆时针旋转后得到，若，，则的度数为______度． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、旋转的性质、角的和差等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 由三角形的内角和定理可求，由旋转的性质可得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：，， ， 将绕着点逆时针旋转后得到， ， ． 故答案为：． 11．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， （1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案； （2）根据旋转的性质可知，再结合已知条件说明，然后根据等角对等边得出答案． 【详解】（1）解：根据旋转可得， ∴． （2）解：． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ，， ， 即， ． 13．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合等边三角形与全等三角形的判定完成推理，再利用特殊直角三角形的性质求解线段长度． （1）根据旋转的性质得到，旋转角，据此判定为等边三角形，得到，结合已知，利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 题型05.旋转中的规律性问题. 14．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 15．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举几次滚动后的点A的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2026次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ∵， ∴， 即第2026次滚动后，顶点 A的坐标是． 16．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 题型06.坐标系中的旋转 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先确定点的坐标为，先按照绕原点旋转的坐标变换规则得到，再按照关于轴对称的坐标变换规则得到，即为点的坐标． 【详解】解：从图中格点可得，点的坐标为， ∵平面直角坐标系中，点绕原点旋转后，坐标变为， ∴旋转后得到点， ∵点关于轴对称的点坐标为， ∴对称后得到对应点； 如图，点旋转后得到点，点关于轴的对称的点． 18．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知． (1)画出绕点O逆时针旋转后得到的； (2)若连接，则线段的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）由勾股定理得，． 故答案为：． 题型07.求绕原点旋转90的点的坐标 20．在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据旋转的性质，利用全等三角形确定对应点的横纵坐标，即可得到旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，令点的对应点为，过点作轴于点，过点作轴于点， 由旋转性质得，，， ∴， 又∵， ∴ ， 在和 中， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，， ∵在第二象限， ∴的坐标为． 21．在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为得到点的坐标，最后将代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点的坐标． 【详解】解：因为点在一次函数的图像上， 设点的坐标为， 则点旋转后的对应点的坐标为， 因为点在一次函数的图像上， 所以，解得 将代入点的纵坐标表达式，得， 故点的坐标为． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 【详解】解：连接，过点C作，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为， 第二次旋转后点C的坐标为， 第三次旋转后点C的坐标为， ∵每次旋转，， ∴每旋转4次为一个循环． ∵， ∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：B．    【点睛】本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键． 题型08.求绕某点旋转90的点的坐标 23．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转．画出将线段绕点逆时针旋转后，得到的线段，借助网格图写出点的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是． 故选：A． 24．在平面直角坐标系中，点，，连接，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为________________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，分线段绕点A顺时针旋转和逆时针旋转讨论，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解∶当线段绕点A顺时针旋转时，如图，过B作轴于C，过作轴于D， 则， ∵旋转， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 解∶当线段绕点A逆时针旋转时，如图，过B作轴于C，过作轴于D， 则， ∵旋转， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为∶ 或． 25．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，先求出的各点坐标，再求出，利用三角形的性质即可得点，即为点． 【详解】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 26．如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出； (2)画出关于原点成中心对称的图形，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特点画图即可； （2）根据成中心对称图形的性质，结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 题型09.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 27．将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转， ∴ 旋转后点的坐标为， ∵ 再向右平移个单位长度得点， ∴． 28．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 29．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先求点的坐标，由于是的中点，故，将点绕原点旋转（考虑逆时针和顺时针两种方向），利用旋转的性质计算对应点坐标． 【详解】解：，， 为中点，即， 如图所示，连接点与点， 则，且为第一象限角平分线， 将线段绕着原点O旋转，则点也绕着原点O旋转， 即将线段绕原点O旋转； 顺时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，则，, 根据所对直角边等于斜边的一半，可知， 由勾股定理可得，, 故， 即将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为； 逆时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，，则，, 根据所对直角边等于斜边的一半，可知， 由勾股定理可得，, 故， 即将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为； 综上所述，将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为或． 故选：B． 30．在平面直角坐标系中，点，点，将绕点B顺时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)填空：如图①，当时，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)连接，设线段的中点为M，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）如图②中，连接，过点作于．解直角三角形求出，即可． （3）如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，．利用全等三角形的性质证明，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于． ∵点，点， ，， ，， 是由绕旋转得到，， ，，点落在线段上， 的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：如图②中，连接，过点作于． ，， ，， ， 在中，，， ， ． （3）解：如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型10.坐标与旋转规律问题 31．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题及旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质，利用数形结合的思想，找出图形的运动规律：每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限． 【详解】解：∵，， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限， ∴点D的坐标为． 故选：B． 32．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变 第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 33．如图所示，已知点，将长方形沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，，，找到规律求解． 【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环． ，，，， ，，，， ，，，， ， ，，，， 当时，即，解得， 横坐标为，纵坐标为， 则的坐标． 题型11.线段问题 34．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质． 35．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（  ） A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1) 【答案】A 【分析】依据旋转的性质可得，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P到对应点的距离相等，因此作出两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心， 由图可得，点P的坐标为（1，2）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握旋转的性质．一般情况，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 36．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 题型12.面积问题 37．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转 以后与原图形组成的， 该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心， 阴影部分的面积等于十六边形面积的． 十六边形的面积为 ， 阴影部分的面积为 ． 38．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得． 【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键． 39．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 题型13.角度问题 40．图，在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得∠ABC=∠DEC=90°，CA=CD，∠ACB=∠ACD=30°，由等腰三角形的性质以及角的和差即可求解． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC， ∴∠ABC=∠DEC=90°，CA=CD，∠ACB=∠ACD=30°， ∴△ACD为等腰三角形， ∴∠CAD=∠CDA， ∵∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°， ∴∠CAD=∠CDA=75°， ∴∠ADE=∠DEC−∠DAC=90°−75°=15°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 41．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 42．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 【答案】或 【分析】延长交于点，交于点，由题意可得，，，，分两种情况：当时，当时，根据平行线的性质得出角的关系，进而得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：延长交于点，交于点， 由题意可得，，，， 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得； 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上，满足条件的的值为或． 题型14.成中心对称 43．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 44．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 45．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 题型15.画已知图形的中心对称图形 46．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 47．如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（    ） A．可以由通过平移得到 B．与关于点成中心对称 C．与关于的平分线成轴对称 D．与关于直线成轴对称 【答案】B 【分析】如图，设所在直线为轴，所在直线为轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．   【详解】解：设所在直线为轴，所在直线为轴，如图， ∵关于的对称图形是， ∴A与、B与、C与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∵关于的对称图形是， ∴与、与、与的横坐标相同，纵坐标互为相反数，   ∴A与、B与、C与的横坐标、纵坐标都互为相反数，  则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：与关于点成中心对称．   48．如图，直角坐标系在正方形网格中，小正方形的边长为1，点O和的顶点均在格点上，与成中心对称，点O为它们的对称中心． (1)在网格中画出； (2)请直接写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，，． 【分析】（1）先根据中心对称的定义确定的对应点、、，再顺次连接即可完成作图； （2）直接根据（1）的作图确定点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由（1）作图可得：，，． 题型16.由中心对称性质求解 49．如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由中心对称图形可知， ，，， ， ， ． 故答案为：． 50．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 51．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 52．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 题型17.中心对称图形的识别 53．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 54．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意； ．既是中心对称图形，又是轴对称图形，该选项符合题意． 55．中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．祥云纹 B．缠枝莲纹 C．双环回纹 D．缠枝牡丹纹 【答案】C 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 题型18.方格纸中补画中心对称图形 56．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 57．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 58．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 题型19.求关于原点对称的点的坐标 59．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标是______． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解. 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为. 60．如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】/ 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 61．在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到点A的两种可能坐标，再利用绕原点旋转的坐标变换规律，即关于原点中心对称，横纵坐标都变为原坐标的相反数，即可求出对应点坐标； 【详解】解：∵原点，点， ，且在轴上， ∵是等腰直角三角形，直角顶点为， ，， 分两种情况讨论： 当点在轴上方时，点横坐标与相同为，纵坐标为，即， 当点在轴下方时，点横坐标为，纵坐标为，即， ∵图形绕原点旋转后，对应点与原点关于原点中心对称，若点坐标为，则对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 因此点的对应点坐标为或． 62．如图，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)与关于原点对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）分别作出三角形三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求. 题型20.已知两点关于原点对称求参数 63．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 64．已知点关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，点的坐标特征，点关于原点对称的点的坐标为，再结合点关于原点对称的点在第一象限，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∵点关于原点对称的点在第一象限， ∴，且， 即且， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 65．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 66．平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】的值为12或0 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据条件可得，，求出的值，代入后可得． 【详解】解：点与点关于原点对称， 解得 当时，； 当时，． 综上所述，的值为12或0． 题型21.判断两个点是否关于原点对称 67．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 68．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 69．如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： (1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． (2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来． (3)根据你发现的特征，解答下列问题：若内有一个点经过变换后，在内的坐标称为，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)；； (2)）与关于原点对称 (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标表示形式、判断两点是否关于原点对称、解一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，将各个点的坐标写出来； （2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以可推推得与关于原点对称； （3）根据（2）所得出的原点对称的结论，即点M、N的横纵坐标互为相反数，可以得出a、b的值，再代入不等式可解得最后的答案． 【详解】（1）解：根据图像与坐标轴之间的位置关系，得出：点A的坐标为，点P的坐标为；点B的坐标为，点Q的坐标为；点C的坐标为，点R的坐标为． （2）解：根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以与关于原点对称． （3）解：∵由（2）可知与关于原点对称， ∴点M、N也是关于原点对称的， ∴点M、N的横纵坐标互为相反数，可得： ， 解得：， 将代入关于x的不等式得： ， 解得：． 题型22.按要求画出变换后图形 70．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 71．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 72．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：如图，即为所求，点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的旋转期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握旋转定义，明确旋转中心、方向、角度三大核心要素，能区分旋转与平移、轴对称等其他图形变换。 2.熟记旋转核心性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应线段、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。 3.掌握坐标系中图形绕原点旋转 90°、180° 的坐标变化规律，能快速求出旋转后对应点的坐标。 4.掌握旋转作图的标准步骤，能按题目要求完成规范的旋转作图。 1.能准确判断生活与几何图形中的旋转现象，精准识别旋转的三大核心要素。 2.能灵活运用旋转性质，完成角度、线段长度的计算与简单几何证明，规范书写解题步骤。 3.能按题目要求规范完成旋转作图，保证对应点位置准确、图形轮廓完整。 4.能结合旋转坐标规律，解决坐标系内的图形旋转问题，实现图形变换与坐标的相互转化。 5.能借助旋转的转化思想，整合分散的几何条件，解决复杂的几何综合题。 1.选择、填空题：快速判断旋转现象、套用旋转性质与坐标规律求解角度、线段长、点坐标，杜绝基础概念失分。 2.作图题：严格按题目要求规范完成旋转作图，拿满基础分值。 3.解答题：灵活运用旋转的不变性，结合三角形、四边形等知识完成计算与证明，步骤完整、逻辑清晰。 4.综合题：熟练运用旋转转化思想，突破几何压轴题，有效规避概念、作图、计算类高频易错点。 题型01.判断生活中的旋转现象 题型02.判断图形旋转而成的图案 题型03.找旋转中.心.旋转角.对应点 题型04.由旋转性质说明线段或角相等 题型05.旋转中的规律性问题. 题型06.坐标系中的旋转 题型07.求绕原点旋转90的点的坐标 题型08.求绕某点旋转90的点的坐标 题型09.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型10.坐标与旋转规律问题 题型11.线段问题 题型12.面积问题 题型13.角度问题 题型14.成中心对称 题型15.画已知图形的中心对称图形 题型16.由中心对称性质求解 题型17.中心对称图形的识别 题型18.方格纸中补画中心对称图形 题型19.求关于原点对称的点的坐标 题型20.已知两点关于原点对称求参数 题型21.判断两个点是否关于原点对称 题型22.按要求画出变换后图形 知识点01:旋转的概念 1. 定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。 2. 旋转三要素（必考） 旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角。三要素缺一不可。 3. 旋转特征 (1)旋转只改变图形位置，不改变图形形状、大小； (2)旋转前后图形全等； (3)旋转中心是唯一不动的点。 知识点02:旋转的基本性质（解答题高频考点） 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角； 4.所有旋转角都相等。 万能口诀：距离相等、边角不变、旋转角同、图形全等 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点03:旋转作图（期末作图题） 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 知识点04:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点05:中心对称与中心对称图形的区别与联系 知识点06:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点07:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点08:坐标系中的中心对称（最核心考点） 题型01.判断生活中的旋转现象 1．如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 2．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 3．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 题型02.判断图形旋转而成的图案 4．把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 5．下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 6．如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 题型03.找旋转中.心.旋转角.对应点 7．如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 8．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 9．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 题型04.由旋转性质说明线段或角相等 10．如图，将绕着点逆时针旋转后得到，若，，则的度数为______度． 11．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 13．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型05.旋转中的规律性问题. 14．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 16．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 题型06.坐标系中的旋转 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 18．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知． (1)画出绕点O逆时针旋转后得到的； (2)若连接，则线段的长为 ． 题型07.求绕原点旋转90的点的坐标 20．在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为__________． 21．在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 题型08.求绕某点旋转90的点的坐标 23．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，点，，连接，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为________________． 25．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 26．如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出； (2)画出关于原点成中心对称的图形，画出． 题型09.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 27．将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 29．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．在平面直角坐标系中，点，点，将绕点B顺时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)填空：如图①，当时，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)连接，设线段的中点为M，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）． 题型10.坐标与旋转规律问题 31．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 33．如图所示，已知点，将长方形沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是（   ）    A． B． C． D． 题型11.线段问题 34．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 35．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（  ） A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1) 36．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 题型12.面积问题 37．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 38．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 39．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 题型13.角度问题 40．图，在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 41．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    42．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 题型14.成中心对称 43．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 44．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 45．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 题型15.画已知图形的中心对称图形 46．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 47．如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（    ） A．可以由通过平移得到 B．与关于点成中心对称 C．与关于的平分线成轴对称 D．与关于直线成轴对称 48．如图，直角坐标系在正方形网格中，小正方形的边长为1，点O和的顶点均在格点上，与成中心对称，点O为它们的对称中心． (1)在网格中画出； (2)请直接写出点，，的坐标． 题型16.由中心对称性质求解 49．如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是__________． 50．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 51．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 52．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 题型17.中心对称图形的识别 53．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 54．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 55．中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．祥云纹 B．缠枝莲纹 C．双环回纹 D．缠枝牡丹纹 题型18.方格纸中补画中心对称图形 56．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 57．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 58．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 题型19.求关于原点对称的点的坐标 59．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标是______． 60．如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 61．在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 62．如图，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)与关于原点对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后的图形． 题型20.已知两点关于原点对称求参数 63．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 64．已知点关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是_____． 65．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 66．平面直角坐标系内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 题型21.判断两个点是否关于原点对称 67．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 68．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 69．如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： (1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． (2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来． (3)根据你发现的特征，解答下列问题：若内有一个点经过变换后，在内的坐标称为，求关于x的不等式的解集． 题型22.按要求画出变换后图形 70．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．    B．   C．   D．   71．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 72．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $