精品解析：河南中牟县第一高级中学2026届高三年级五月份联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 5. 如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（ ） A. 18.12cm B. 15.1cm C. 14.3cm D. 7.55cm 6. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图象关于直线对称的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. D. 当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当在上有极大值时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为______． 13. 如图，点A，B均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为______． 14. 某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 （1）求关于的经验回归方程； （2）预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 16. 已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 17. 已知函数，． （1）证明：． （2）讨论的单调性． （3）若，求的取值集合． 18. 在中，，，，分别为AC，AB的中点．将沿线段DE折起，使点到达点的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，取BC的中点，连接PF． （1）证明：． （2）如图1，当平面平面BCDE时，求二面角的大小． （3）如图2，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度． 19. 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列． （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由． （2）若为的衍生数列，证明：． （3）若为的衍生数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ． 2. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得 ，所以． 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为 ，所以与圆相离． 5. 如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（ ） A. 18.12cm B. 15.1cm C. 14.3cm D. 7.55cm 【答案】B 【解析】 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因 ,则， 故 . 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 6. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，的面积为，得． 因为是锐角三角形，所以． 由余弦定理得，则． 7. 已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，． 因为 // ，所以四边形为平行四边形， 所以//，. 所以，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形 ． 因为，， 所以该截面的周长为． 8. 诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】5个字的全排列种数为， “落”与“少”放在第二个和第五个位置的排列种数为， 所求不同的排列种数为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图象关于直线对称的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】的图象关于直线对称，A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，B正确． 的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误． 令，则，所以的图象关于直线对称，D正确． 10. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义和性质依次判定即可. 【详解】 由题意得，双曲线，左焦点，右焦点，点在双曲线上， 对于A，向量，因为 ，即，故A正确； 对于B，由于双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由于，是线段的中点，根据向量的中点公式，有，即，故C正确； 对于D，已知 ，，当时，有，即 ， 由于 ，所以在中，中线的长度等于底边的一半，因此是直角三角形，且， 设 ， ，根据勾股定理和双曲线的定义得，解得， 即 ，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当在上有极大值时，的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析是否是的变号零点，判断是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在上有极大值时，转化为在上有解，求出的取值范围，判断D. 【详解】因为的定义域为，且 ，所以是奇函数，A正确． ，由，得．因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时，，所以，又 ，故 ； 当时， ，，得. 所以在上单调递减． 当时，，当时，，则在上有1个变号零点，所以在上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当在上有极大值时，在上有解， 因为在上单调递减， 所以得 ，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，正四棱台的高为 ， 所以该正四棱台的体积为． 13. 如图，点A，B均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为______． 【答案】 【解析】 【详解】设OA，OB与轴正半轴所成的角分别为，，则. 由题意得，，且为第一象限角，则，， 因点的纵坐标与横坐标分别为与， 则 ． 故点的纵坐标与横坐标的比值为. 14. 某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______． 【答案】## 【解析】 【详解】设小张获得的卡片数为，升星的颗数为，则， ， ， ， ， 故． 所以他升星颗数的期望为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 （1）求关于的经验回归方程； （2）预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 【答案】（1） （2）5.28万公里 【解析】 【分析】（1）计算年份序号和运营里程的平均值，利用最小二乘法公式求回归系数和，写出经验回归方程； （2）将预测年份对应的代入回归方程，计算得到2026年运营里程的预测值. 【小问1详解】 由题意得， ， 则 ， ． 故关于的经验回归方程为 ． 【小问2详解】 当时， ． 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里． 16. 已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点的坐标及准线方程，从而求得关于该准线的对称点的坐标，求得的值，得到的方程； （2）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理结合梯形中位线定理，得到关于的方程，求解可得的值，从而求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意得，的准线方程为， 则， 得． 故的方程为． 【小问2详解】 易得的斜率存在，设，，． 由得， 得 由题意得 ． 因为 ， （或 ）， 所以． 故的方程为或． 17. 已知函数，． （1）证明：． （2）讨论的单调性． （3）若，求的取值集合． 【答案】（1）的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故； （2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性； （3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． 【小问3详解】 当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 18. 在中，，，，分别为AC，AB的中点．将沿线段DE折起，使点到达点的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，取BC的中点，连接PF． （1）证明：． （2）如图1，当平面平面BCDE时，求二面角的大小． （3）如图2，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度． 【答案】（1）证明：如图，取DE的中点，连接PO，OF． 在中，因为，F为BC的中点，所以 AF ⊥ BC， 因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以 DE ∥ BC， 所以AF ⊥ DE， 在折叠后的四棱锥 P−BCDE 中 ，． 因为 ， 平面POF， 所以平面POF． 因为平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直； （2）找到二面角的平面角，从而求出角度大小； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，∴，， ∴二面角的平面角为． ，平面平面BCDE，平面平面， 平面BCDE，又平面BCDE， ．由题意得，∴，即二面角为； 【小问3详解】 如图，取DE的中点，连接PO，OF． 由（1）可知，，则． 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，．设． 由重心性质可得， ， ． 为定值，∴重心在固定平面内运动． 由 ， ，得， ∴点在圆心为，半径的圆上． 又，∴点在空间中的运动轨迹的长度为． 19. 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列． （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由． （2）若为的衍生数列，证明：． （3）若为的衍生数列，证明：． 【答案】（1）不是，，求导得，则， 因为， 所以， 所以不是的衍生数列. （2）当时，，则 ， 及得， 又，， 设，则， 则， 即， 则. （3）证明：， 由，得， 令，得，， 将两边平方，得，得， 当时，，得， 又， ， ， 当时，， 得， 当时，， 则 ， 要证，只需证， 现证，该不等式等价于 ，显然恒成立， 则， 显然，当时也成立. 综上，． 【解析】 【分析】（1）求导，根据衍生数列的定义结合已知条件计算求解并判断； （2）根据衍生数列的定义结合已知条件求出，设，利用错位相减法计算求出，进而证明结论； （3）根据衍生数列的定义结合已知条件得出，令，则，，利用放缩法证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $