河南漯河实验高级中学2026届高三考前质量检测数学试题

**基本信息** 立足高三三模备考，以社会热点和数学本质为载体，融合空间观念、运算能力与数据意识，体现数学眼光观察、思维思考及语言表达现实世界的核心素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、数列、椭圆离心率等|第7题以正多边形为背景考查椭圆离心率，体现几何直观| |多项选择|3/18|三角函数性质、曲线方程（圆/双曲线/椭圆）|第10题综合判断曲线类型，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、导数几何意义与概率、解三角形|第13题结合切线倾角与概率，体现应用意识| |解答题|5/77|数列、概率（社会热点）、立体几何、函数、双曲线|第16题以“设备更新”为情境设计概率问题，第19题双曲线存在性问题，层次分明，考查创新意识|

漯河实验高级中学2023级高三年级质量检测（三） 数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B A B D AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 2．D 【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以且，解得， 所以． 3．B 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 4．A 【分析】利用等差数列的求和公式求出，可求出该数列的公差，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为，则，解得， 故，故. 5．B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 6．A 【详解】取的中点，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 7．B 【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论. 【详解】由图①知，， 由图②知，点在椭圆上， ，则， 整理得，解得， 由图③知，在椭圆上， ，则， 整理得，，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8．D 【分析】首先建立空间直角坐标系，进一步利用两点间的距离公式化简求出结果． 【详解】根据正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1， 则， 由于， 所以， 整理得，即， 所以，动点的轨迹为圆的一部分． 9．AB 【分析】根据正弦型函数的图象与性质，结合代入法逐一判断即可。 【详解】选项A：，所以的图象关于点对称，故A正确； 选项B：因，故的图象关于直线对称，即B正确； 选项C：当时，，则，， 所以在上的最大值为，故C错误； 选项D：令，即，可得， 解得，解得， 所以不等式的解集为，故D错误. 10．ACD 【分析】根据方程表示圆、双曲线、椭圆的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，当方程表示圆时，，圆的方程为，A正确. B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误. C选项，当方程表示椭圆时，，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确. D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】令代入得，令代入即可判断A，先计算和即可判断B，即可判断C，根据条件先计算和，由条件③即可得. 【详解】由，令，又，令得， 令，又，所以，故A正确；B错误； 因为，故C正确； 因为， ， 因为当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出的值，再代入通项公式计算常数项即可. 【详解】因为二项式 的通项为 ， 又因为，，， 所以 因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得， 所以. 13． 【详解】试题分析：，，∵，∴，而， ∴或，∴． 考点：几何概型、利用导数求曲线的切线的斜率． 14．1 【分析】结合正弦定理将角化边，再由面积公式求得，构造函数，再用导数求得最值. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 即. 又的面积，故，所以，其中． 令，所以. 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 所以，所以，即，当时，等号成立， 故c的最小值为1． 15．（1） （2） 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 16．（1）答案见解析 （2）同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列. （2）求出回答“回收报废电力设备”题得分的期望，再与比较得解. 【详解】（1）依题意，的可能取值为，，， 则，， ， 所以的分布列为 0 10 30 0.4 0.24 0.36 （2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得； 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，， ，， 因此， 因为，所以， 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 17．（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 18．（1） （2） 【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简； （2）由导数的正负确定单调性进而即得； 【详解】（1）依题意得，，此时， ， 则切线斜率为， 故切线方程：，即； （2）当时，，则， ∴， ∴在上单调递减， 又，， 故值域为． 19．（1） （2） （3）存在， 【分析】（1）根据双曲线渐近线到焦点距离求出，再由可求出双曲线方程； （2）由是中点求出，设，则与双曲线方程联立求出，利用可得答案； （3）由直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理求出、点的坐标可得答案. 【详解】（1）由题可知焦点到渐近线的距离为， 又，所以， 则，所以双曲线方程为； （2）当时，由于是中点，可知， 设，因为 所以， 因为在双曲线上，所以，联立，解得， 则的面积； （3）由题意：直线， 联立方程组：， 可得：， 由韦达定理：， 由于，即，代入化简得：， 可知的坐标为：， 同理可得，的坐标为：， 则， 即存在实数满足题意. 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河实验高级中学2023级高三年级质量检测（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足为纯虚数，则（    ） A．13 B．5 C． D． 3．某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（ ） A．72种 B．150种 C．243种 D．360种 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 7．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（    ） A．线段 B．抛物线的一部分 C．椭圆的一部分 D．圆的一部分 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 10．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）． A．若曲线为圆，则的值为2； B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； C．“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件； D．不存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为. 11．定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，．则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13．在区间[ 6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为_______________． 14．在面积为的锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c的最小值为______． 四、解答题（5小题，共77分） 15．已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16．目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. （1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； （2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 17．如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 18．已知曲线C： （1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程； （2）当时，求在上的值域. 19．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. （1）求双曲线的方程； （2）若，求的面积； （3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第2页，共3页 数学试题第 1 页（共 9 页） 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $