江西吉安市第一中学2025-2026学年高三下学期模拟预测（二）数学试题

**基本信息** 吉安一中2025-2026学年高三数学模拟卷，以庐陵文化非遗素材（如拓印工具分配）创设情境，通过函数零点、正四面体体积概率等问题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、集合运算、三角函数周期等|基础概念辨析，强调数学眼光观察| |多选题|3/18|数列前n项和、三棱锥性质、非遗概率|选项分层，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|二项式系数、导数切线、圆锥曲线离心率|多知识交汇，体现数学语言表达| |解答题|5/77|解三角形、数列折线面积、函数方程根、抛物线综合、正四面体体积概率|梯度设计，从基础运算到创新应用，如折线面积结合数列求和，体积概率考查数学建模|

吉安一中2025-2026学年度下学期全真模拟（二）参考答案 题号 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D B ABD AB ACD 1. 【答案】D【详解1已知i=1+1,则z=华，分子分母同乘1即8==岁=1-1， 所以复数z=1-1在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限， 2.【答案】C【详解】集合 B={xy=k-1}={xx-1≥0}={xx≥1}，集合A={x1-1<x<2} 则AnB=[1,2). 3.【答案】A【详解】因为f(x)=2sin(ωx+号)（ω>0）的最小正周期为π，所以 器=π→ω=2，即f(x)=2sin(2x+号)，所以f(号)=2sin(2×号+等)=2sinπ=0. 4.【答案】C【详解】直线1：x-by+2a+b=0,可化为a(x+2)+b(1-y)=0,则直线过定 点M(-2,1),圆C:x2+y2-2y-7=0配方得x2+(y-1)2=8,可得圆心C(0,1),半径 r=2V2,所以|CM=2<2W2,即点M在圆C内，则当点C到直线AB的距离的最大值为 1CM|时，|AB|nmim=2Wr2-|CM2=2y8-4=2W4=4 5.【答案】B【详解】对于A:若a1YB⊥Y,则ax//3或a和B相交，故A错误； 对于B:若a⊥g,b⊥a,根据线面垂直的性质定理可得a//b,故B正确： 对于C:若a//a,bc《,则a//b或a和b异面，故c错误 对于D:若a//a,a//B,则a和B可能平行也可能相交，故D错误 6.【答案】A【详解】因为f(x)是定义在R上且周期为3的奇函数，所以 f(x+3)=f(x),f(-x)+f(x)=0, 所以f(x)+f(x+3)=0令x=-,得f()+f()=0→f()=0,因为该函数是奇函 数，所以f(1n)=-f(-ln)=-f(n)=-e=-号，所以f(2)+f(ln)=-号 7.【答案】C【详解】因为点O是△ABC的重心，所以 OA+0B+0元=i,即oC=-（OA+0), OP=x2CA+y.CB=x2(0A-oc)+y,(0B-0c) =x20A-(x2+y2)0元+y,08 =x2OA+y,0i+(x2+y,)(可A+o8) =(2x2+y2)0A+(2y2+x2)0i, (81=2x2+y2 又0AOi不共线所以{y,=x2+2y2故x+y=3(2+y2）· 8.【答案】A【详解】因为f(x)=品x2=x3,易知f(x)的定义域为R,定义域 关于原点对称又f(x)=-(x)3=9+x3=f(x)所以f(x)为奇函数又 f(x)=器-3x2<0恒成立，所以f(x)为减函数令g(x)=0, 得到f(+3)=-f(2ax-3)=f(3-2ax),所以+3=3-2ax,整理得到是=-2a,令 t(x)=,y=-2a,因为函数g(x)=f(+3)+f(2ax-3)恰有3个零点，则函数 t(x)=景与函数y=-2a的图象有3个交点又t(x)=2,当 x∈(-∞，0)U(2+∞)时，t(x)>0,当x∈(0,2)时，t(x)<0,所以t(x)的单调递增 区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0,2)，又x→-∞时，t(x)→0，x→0时， t(x)→+∞，x=2时，t(2)=星，x→+0时，t(x)→十o,且t(x)>0恒成立，其图象如图 所示，由图可知，要使函数t(x)=与函数y=-2a的图象有3个交点，则-2a>号，解得 a<-胃，所以实数a的取值范围是（-∞，背)， y=2a 9.【答案】ABD【详解】对于A当n=1时， S1=a1=2a1-1→a1=1; Sn=2an-1 当n≥2时， {S1=2a11,相减得 an=2an~2an1→an=2an1,所以数列{an}是等比数列，进而得 an=21,bn=log2n=log,21=n-1,所以a2=2,A选项正确：对于B:因为 b+1bn=n-(n-1)=1,所以数列{an}是以1为公差的等差数列，所以由等差中项性质可得 b2+b4+b6+bg+b10=b2+b10+b4+b8+b6 =2b6+2b6+b6=5b6=5×(6-1)=25,故B选项正确； 对于C:ba,=21-1,会=品不为常数所以b,不是等比数列故C选项错误 对于D:anbn=2n1-(n-1)=2n1-n+1,当n=1时， a1=1,b1=0,则a1>b1: 当n≥2时，令f(n)=21-n+1,则 f(n+1)-f(n)=2-n-(21-n+1)=21-1>0, 所以f(n)单调递增，所以f(n)≥f(2)=1>0,即an>bn,综上：an>bn,故D项正确 10.【答案】AB【详解】对于A:连接A0并延长交BC于D,连接B0并延长交AC于 F,因为P0⊥平面ABC,BCc平 面ABC,所以P0⊥BC,因为PA⊥BC,PAnP0=P,PAPOC平面PA0,所以BC⊥ 平面PA0,因为ADc平面PA0,所以AD⊥BC,同理可得BF⊥AC,所以O为△ABC 的垂心，所以A正确；对于B:因为PO⊥平面ABC, AO,B0,C0C平面ABC,所以 P01AO,P01B0,P0⊥C0,所以A0=VPA2-P02,B0=VPB2-P0,C0=VPC2-P02 因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心，由选项A知O为 △ABC的垂心，所以△ABC是等边三角形，所以B正确；对于C:由选项A知O为△ABC 的垂心，若△ABC是直角三角形，则垂心0为直角顶点，与O在内部矛盾，所以C错误；对 于D:连接C0并延长交AB于E,由选项A知0为△ABC的垂心，则C01AB,因 为P01平面ABC,ABc平面ABC,所以P0⊥AB,因为P0nC0=0, PO,C0C平面PC0,所以AB⊥平面PC0,因为CMc平面PC0,所以AB⊥CM,所以 直线AB与直线CM夹角为号，所以D错误. M E B 11.【答案】ACD【详解】选项A,10件不同的素材，每件都能分到两个研学体验桌中的任意一个， 总共有210=1024种分配方式.需要排除”所有素材都分到第一个桌”和”所有素材都分到 第二个桌”这2种空桌的情况，因此有效分配方法为1024-2=1022种。故A正确；选项B, 不放回摸出5件素材，X=4表示摸到4本诗词钞本、1套拓印工具。 P(X=4)=弩=是故B错误远项C设摸出诗词钞本的次数为 XX~B(4,6),Z=2X-4 D(X)=4×品×品=，D(Z)=2×第=器，故C正确：选项D,Y为取完7本钞本的总 次数，取值为7,8,9,10 P(y=7)-莞=动P(￥=8)-学=品，(y=9)-器-动P(Y=10)-塔-品 则E(Y)=7×+8×+9×器+10×品=召，故D正确： 2 12.【答案】20【详解】(1-x)8展开式的通项是T41=Cg(-x),分别令r=1,2得 T2=C(-x)1=-8x,T3=C(x)2=28x2,所以(1+x)(1-x)8展开式中x2项为 -8x2+28x2=20x2,所以展开式中x2的系数为20 13.【答案】2+1n2【详解】由题意可得：y=3x2+2(x+1),当x=0时， k=y=3×02+2×(0+1)=2, 所以曲线y=x3+(x+1)2在点(0,1)处的切线为： y-1=2(x-0),即y=2x+1,设切线y=2x+1与曲线y=nx+a的切点为（xoy0),对 y=nx+a求导可得：y=京，又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数，所以嘉=2，即 xo=吉，又因为（xoy0)在切线y=2x+1上，所以y。=2x+1=2,所以(3,2)在曲线 y=lnx+a上，即2=ln+a,求解可得：a=2-ln=2+ln2 14.【答案】e=与【详解1因为点尸2在PR1上的投影是点Q,所以 P序·PF2=P京1·P0, 因为1PFPQ=P·P0=a2,所以P·PF2=a2, 设P(xoy),则P京·PF2=（c-oy)(c-y)=好+y8c2=a2 儿器等= 好= 又由 +=1 ,得 yi-ma 代入(*)式得 2*2+.c2= 2a2c24a2c3 2+c2 a2+c2 .c2=a=a2, a2+c2 得a2=3c2, 故曲线C的离心率是e=号 F o F 15.【 答案】(1)星(2) 【小问1详解】 由a,b,c成等差数列知2b=a+c,又3sinA=2sinC得3a=2c,于是a:b:c=4:5:6,设 a=4k,则b=5kc=6k,所以csA==国=是： 2bc 25x6k 【小问2详解】 由(1为知snA=-cos2A=号，由品=2R得a=2 RsinA=2×9×誓=2所以 b=,c=3, 所以△ABC的面积s=bcsimA=×号×3×安=-要 16 16.【答案】1)因为1=2a+1=2an+2*1,两边同除以2*1，所以==1，所以{} 是首相为=1，公差为1的等差数列.过P1P2P3……P+1向x轴作垂线垂足分别为 QQ2Qg……QH1,得Xn=号=2”，则x+1xn=2+1-2”=2” 记梯形PP+1Q+1Qn的面积为cn.由题意得cn=型×2=(2n+1)×2 2 所以Tn=C1+C2十C3十…+Cn =3×2°+5×22+7×22+…+(2n-1)×22+(2n+1)×21① 又2Tn=3×22+5×22+7×23+…+(2n-1)×21+(2n+1)×2” ②) ①-2得 -Tn=3×2+2(2+22+……+2m1)-(2n+1)×2”=(1-2n)×2-1 所以Tm=3+2(22+22+…+2r1)-(2n+1)·2”=(2n-1)×2”+1 所以由该折线与直线y=0,x=x1x=xm1所围成的区域的面积Tn=(2n-1)×2”+1 (2)已知Tn=(2n-1)2“+1,则 1-Tn=1-[(2n-1)2+1]=-(2n-1)29 所以A=花啊+1=17，由An之器恒成立即1之器恒成立， 2r1 即(n+1)≥2恒成立由{(+1)子}单调递增，故当n=1时，[(n+1)字]n=号， 故2≤，即1≤，所以λ的最大值为. 17.（1)c=0:(2)见解析：(3)见解析 (1)因为f(x)=3x2+2bx+G,:f(x)在(-∞，0)上是增函数， 在[0,2]上是减函数，·当x=0时f(x)取到极大值， 由f(0)=0,得c=0 (2):f(2)=0,·d=-4(b+2):f(x)=3x2+2bx=0的两个根分别为x1=0,x2=-号 :函数f(x)在(-∞，0)上是增函数，在[0,2]上减函数 X2=-碧22，b≤-3 (③)利用设根法表示出函数，然后借助于根韦达定理得到根与系数的关系，进而证明不等式 解：(1)f(x)=3x2+2bx+G:f(x)在(-∞，0)上是增函数， 在[0,2]上是减函数，·当x=0时f()取到极大值， 由f(0)=0,得c=0 (2):f(2)=0,÷d=-4(b+2)f(x)=3x2+2bx=0的两个根分别为1=0，x2=-号， :函数f(x)在(-∞0)上是增函数，在[0,2]上减函数， x2=-9≥2，…b≤-3 ：f(1)=b-d-1=b-4(b-2)-1=-7-3b≥2. 3):a,2,阝是方程f(x)=0的三根可设 f(x)=(x-a)(x-2)(x-B)f(x)=x3-(2-a-β)x2-(2a-23-cβ)x-2cβ， ∫b=-2--B,（x+B=-b-2 "(d=-2aB."laB=-td. |a-B1=V(x-B)2-4B=V(b-2)2-2d=V(b-2)2-8(b-2)=V(b-2)2-16· :b≤-3，÷a-β1≥3 18.【答案】（④）y2=4x(20x+y+1=0或x-V2y+1=0;⑩2 y2=2px 【小问1详解】由{y=x+1得y2-2py+2p=0,由已知可得△=(2p)2.8p=0,“p=2, 所以抛物线方程为y2=4x; 【小问2详解】()抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以E(~1,0)· 设1：x=y-1,代入y2=4x得，y2-4y+4=0, 设A(xy)B(x2y2),且lyl>|y,则 y1+y2=4t,yy2=4,△=(4t)2-16>0,÷t2>1 y1y=V(y+y2)2-4yy2=V(4t)2-16=42-1, S△4r=S△4S△BEs=引EF|y号|EF:|y=壹|EF:y1·,所以t=±反， 所以直线1的方程为：x+V2y+1=0或x-V2y+1=0; ⑩由0得AB=1+t1y:y=4WA-1, SABF=EFyy=yy=4V-1 :A+1B=x+x2+P=+2=y:+y,)2-2yy2]+2=42, :S△4BR=支×(|AB|+|AF|+|BF)Xr =(4WAi+42)r=42,r=2a V1+t2· 2m 令m=V2-1,则r= mym2+2+m2+1 (m>0) Vm242+m叶a 设y=m+2+m+点则y=品+1帝=震+1声=高+1-点 显然y关于m是增函数令y=0则+1合=0“品=镖， m242 两边平方，化简整理得3m2=2,:m2=号：m>0,:m=与，此时对应的t值满足题意 由于y关于m是递增函数me(0,),y<0;me(9,+0),y<0, 所以当m=与时，y取得最小值最小值为5 所以，的最大值为圣=尊 19.【答案】(1X1)证明见详解(i)写2分布列见详解，(V)= 陋 【详解】(1i)取BC的中点D,连接AD,PD· B 在正四面体P-ABC中，因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC, 因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以PD⊥BC, 因为ADOPD=D，AD,PDC平面PAD,所以BC⊥平面PAD,因为PAC平面 PAD,所以PA⊥BC, 因为b=c=2,b=|PS,c=|PT|,PB=4,PC=4, 所以S、T分别为PB、PC的中点，所以ST//BC,所以PA1ST.(m如图D为BC中 点，O为点P在底面的投影，点O在AD上， 由题意得AB=4,BD=2,AD=2N5,A0=AD=9, 所以P0=P2A0=42.(9)-5, 以0为原点，分别以DB、O、O方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系0-yz, 则A(0,5,0),D(0,5,0),B(2,25,0),c(-2,2,0),p(0,0,5)】 因为a=3,所以成=硬，则R(0,5,5),因为b=c=2,则S,T分别为棱PB、PC 的中点 则s(1写5)，r(-1,5)所以=(05)，厨=(1,5，)，=(20,0) 设平面RST的一个法向量为五=(xy,z), 五感=x+y+92=0 则 i.T3=2x=0 ,令y=1,则z=-22,即ǔ=(0,1，-22)， 故cos(正，i)= 2Ex9 √停+号W1+8 则直线PA与平面RST所成角8的正弦值为 sing=lcos(航，训=号 2油10得正四面体P-ABC的体积为V=青×专×4×25×45=165 由三棱锥的体积公式和性质，同理可得 =器- hSsp腿= PRPB sin∠APB IhSAPAE PAPB-sinz APB =寻所以===黄所以票=普即 VPRST=器Vp-ABC 整数a,b,c(0≤a,b,c≤4)满足a十b+c≤5， 方法1：设d为非负整数，a+b+c+d=5的自然数解问题， 设自然数包含0，求解a+b+c+d=5的自然数解个数，采用隔板法与去杂法结合计算. 对于方程&1+X2十…+k=n的自然数解，总个数公式为C1,n=5,k=4,代入得总解数： C1=Cg=56. 若a≥5，则只能a=5,b=c=d=0,这组解不合理；若b≥5，则只能b=5,a=c=d=0,这 组解不合理 若c≥5，则只能c=5,a=b=d=0。这组解不合理.题目存在约束条件，存在3组不符合要 求的自然数解，需从总解数中减去， 共有C13=C-3=53种 c=0,1,2,3,4 1 C=0,1,2,3,4 b= 2 c=0,1,2,3 方法2：a=0时， 3 c=0,1,2 其19种；a=1时， c=0,1 10 c=0,12,3,4 1 c=0,1,2,3 b= 2 c=0,1,2 3 c=0,1 4 c=0 /0 c=0,1,2,3 c=0,1,2 b= a=2时， 2 -c=0,1 ,其10种：a=3 时， c=0 0 c=0,1,2 1 ≥c=0,1 ,共6种 ≥-c=0 .0 a=4时.b={1 ≥-c=0,1 c=0 其3种，即共有53种， 当四面体P-RST的体积V不为0时，a,b,c为正整数， ①当a+b+c=3时，只有a=b=c=1种情况，此时 VP-RST=警VPARGT=à×=哥 2当a+b+c=4时，4=2+1+1，共有C=3种情况，此时 VRsr=警VRANG=AX9=-吾 ③当a+b+c=5时，5=2+2+1，共有C=3种情况，此时 VpRT=警Vrc=高×=号 5=3+1+1,共有C=3种情况，此时 VP-RST= 警Vrc=高×9-9 因此，当四面体P-RST的体积V为0时，共有 53-(1+3+3+3)=43种情况 所以四面体P-RST体积V的分布列为 0 鉴 唔 誓 雲 P 4353 声 爵 房 房 故(v=鵠×0+扇×号+扇×（停+9+9）-隔 吉安一中 2025—2026 学年度下学期全真模拟(二) 高三数学 考生须知: 1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方. 3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效， 4. 考试结束后，只需上交答题卷. 第 I 卷 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知 为虚数单位,若复数 满足 ,则 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 3. 若 的最小正周期为 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 已知直线 与圆 相交于 、 两点，则 的最小值为 A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ，则 6. 已知 是定义在 上且周期为 3 的奇函数,当 时, ,则 A. B. C. D. 7. 已知点 是 的重心，点 是 所在平面内一点. 若 ，且 ,则 A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若函数 恰有 3 个零点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 若数列 的前 项和 满足 ,则 A. B. C. 为等比数列 D. 10. 在三棱锥 中, ,顶点 在底面 上的投影为 在 内部,不含边界),点 在 上,则下列说法正确的有 A. 为 的垂心 B. 若 ，则 是等边三角形 C. 可能是直角三角形 D. 直线 与直线 的夹角可能为 11. 吉安庐陵文化非遗体验工坊为传统文化素能研学准备了人文素材包，里面有 7 本不同的庐陵名家诗词钞本和 3 套不同的庐陵碑刻非遗拓印工具，共 10 件研学素材。下列说法正确的是 A. 若将这 10 件素材全部分到两个不同的研学体验桌，每个体验桌不空，则共有 1022 种分配方法 B. 若从素材包中不放回地摸出 5 件素材,记 为摸出的庐陵名家诗词钞本的本数,则 C. 若从素材包中有放回地依次摸 4 次素材,记 为摸出的庐陵名家诗词钞本与拓印工具的次数之差,则 D. 若从素材包中不放回地依次取素材，记 为最后 1 本庐陵名家诗词钞本被取出所需的次数,则 第 II 卷 三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的展开式中 的系数为_____. 13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 _____. 14. 已知曲线 分别是曲线 的左、右焦点，点 是曲线 与 在第一象限的交点，点 在 上的投影是点 . 若 ， 则曲线 的离心率是_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (13分)在 中，角 对应边分别是 . 已知 成等差数列，且 (1)求 的值； (2)若 的外接圆半径为 ，求 的面积. 16.(15 分)已知数列 中， ， . (1)如图，在平面直角坐标系 Oy 中，若 ，依次连接点 得到折线 ,求由该折线与直线 所围成的区域的面积 ; (2)记 ，若 恒成立，求实数 的最大值. 17. (15 分) 已知 在 上是增函数,在 上是减函数,且方程 有三个根,它们分别为 . (1)求c的值； (2)求证 ； (3)求 的取值范围. 18. (17 分) 已知抛物线: 焦点为 ,直线 与抛物线有且只有一个交点. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的准线与 轴交于点 ，过点 作直线 与抛物线交于 两点. (i) 若 的面积为 4,求直线 的方程; (ii) 设 内切圆的半径为 ,求 的最大值. 19. (17分)如图，在棱长为 4 的正四面体 中， 分别为棱 上的点， 且 . (1)若 . (i) 证明: ; (ii)求直线 与平面 所成角的正弦值； (2)若 满足 ，设四面体 的体积为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. (注: 当 时,四面体 的体积记为 0 ). 学科网（北京）股份有限公司 $