精品解析：江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题

江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， ，， 故的实部为. 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 3. 已知为实数，集合，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 4. 某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（ ） A. 15 B. 13.75 C. 12.5 D. 11.25 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 6. 某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设事件为“用户完成第一日目标”，事件为“用户完成第二日目标”. 由题意可知：，，，， 所以，  由. 7. 已知函数满足对任意实数，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 8. 已知的平面内有2个不同的点满足 ，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设点为的重心，得到，根据向量的运算法则，化简得到，得到 和 ，即点和分别落在以为圆心，半径为和的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设为的重心，根据重心的性质，可得， 因为， 可得 所以 ， 当时， ；当时， ， 所以点在以为圆心，半径为的圆上，点在以为圆心，半径为的圆上， 根据圆的性质，可得 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 10. 已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. ，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即 ，化简得 对恒成立， 所以，即 ， 反之，当 时， ， 当是偶数时， 为奇函数， 当是奇数时， 为奇函数， 所以 为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为 ，所以为奇函数 ， 若，则 ，由A选项可知，则 为奇函数，D正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，若点在上，点在上，且满足，则（ ） A. B. 的面积是一个定值 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算律计算可判断A；若直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，设，直线的方程为，设，分别与椭圆方程联立方程组，利用计算可判断B；设原点到直线的距离为，利用，结合斜率不存在，以及斜率为0，计算求得原点到直线距离的最大值判断C；若存在点，使得，则有解，进而计算可判断D. 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，故A正确； 若直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，设， 由，得，所以，所以， 所以， 因为，所以的斜率为，所以直线的方程为， 设，由，所以，所以，所以， 所以， ， 故B错误； 设原点到直线的距离为，则， 所以，又因为， 所以当斜率存在且不等于时， ，所以； 当直线的斜率为0时，，，所以； 当直线的斜率不存在时，，，所以； 所以原点到直线距离的最大值为，故C正确； 若存在点，使得，则有解，则， 所以，所以， 即，所以，所以， 因为在实数内有解，所以存在点，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知等式求得，即可得，再结合三角形内角和计算. 【详解】由余弦定理，可得， 即，又，故或， 则或， 故或， 即. 13. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱 的中点，点在体对角线上运动，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将两个平面沿展开，把空间最短路径问题转化为平面上两点之间线段最短问题． 【详解】 在正方体中，，， 四边形是菱形，， 将平面与平面沿展开成平面图形（如图2）， 图中，三点共线时，最小，且最小值为， 在中，，， 所以，即． 14. 已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造数列，得到，令，得到是首项为1、公比为2的等比数列，所以，则，得到即可求实数的值. 【详解】设，则， 两边取以2为底的对数，令，则， 因为，则，所以， 所以可知是首项为 1、公比为 2 的等比数列， 所以，则， ， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某在线学习平台为提升课程完课率，开发了一款AI工具，可在课程视频中自动插入“互动时刻”（如弹窗投票、即时小测等）．为研究互动时刻密度（单位：次/小时，即每小时视频中插入的互动次数）与完课率（单位：）之间的关系，平台针对同一门代表性课程，设置了5档不同的互动时刻密度，记录数据如下表． 互动时刻密度 完课率 1 62 2 68 3 74 4 79 5 85 （1）求完课率关于互动时刻密度的线性回归方程； （2）预测当互动时刻密度为6次/小时时，该课程的完课率，并解释回归系数的实际意义． 附：记一组点通过最小二乘估计所得的经验回归直线方程为，其中． 【答案】（1） （2）预测完课率为90.7%，回归系数表示互动时刻密度每增加1次/小时，该课程完课率平均增加5.7个百分点. 【解析】 【分析】（1）先计算样本的均值，再代入给定的回归系数公式计算和，进而得到线性回归方程； （2）将代入方程预测完课率，结合变量含义解释的实际意义即可. 【小问1详解】 由题得 ， ， 而由题意得， 故，   ， 因此完课率关于互动时刻密度的线性回归方程为 . 【小问2详解】 将代入回归方程得   ， 即当互动时刻密度为6次/小时时，预测该课程完课率为90.7%， 回归系数 的实际意义为互动时刻密度每提高1次/小时， 该课程的完课率平均提升5.7%，即增加5.7个百分点. 16. 如图，在直角梯形中， ．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． （1）证明：平面平面； （2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题意可得，进而可证面，进而可证结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，，，所以四边形是平行四边形， 又，所以，所以， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为，且，所以四边形是正方形，所以， 过作平面， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 又因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以. 17. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （） （2） 【解析】 【分析】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【小问1详解】 将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得  ，所以  ， 因此，经检验时满足上式，故. 【小问2详解】 由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 18. 已知抛物线的焦点为，过点作直线交于两点，且． （1）求的方程； （2）若点为上异于的动点，直线分别交的准线于点． （i）证明：以线段为直径的圆恒过点； （ii）记直线 的斜率分别为，若直线与轴垂直，求取得最小值时点的坐标和以线段为直径的圆的标准方程． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）； 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合，求得，即可求解； （2）（i）设，分别求得直线和的方程，得到点和点，求得，将，代入上式，求得，得到，结合圆的性质，即可求解； （ii）求得，且，求得和的方程，得到和，得到，结合基本不等式，以及圆的标准方程，即可求解； 【小问1详解】 解：由抛物线，可得其焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得，且， 因为，可得， 又因为，解得，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：（i）由（1）知抛物线方程为，其焦点为，准线方程为， 设，则直线的方程为， 即， 令，可得 ，解得， 同理可得：直线的方程为， 令，可得 ，解得， 所以， 则， 因为，代入上式，可得 ， 即，所以，即， 根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，所以以线段为直径的圆恒过点. （ii）当直线与轴垂直时，此时，代入抛物线，可得，解得， 不妨设，且， 可得的方程为，即， 令，可得 ，解得， 同理可得：， 则， 所以， 令，可得 ，当且仅当时，等号成立， 即时，可得，此时，即， 此时直线的方程为，令，可得，即， 直线的方程为，令，可得，即， 可得以为直径的圆圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为. 19. 已知函数 ，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求的取值范围； （3）若在区间上存在两个零点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求时的导函数，因为切线斜率为，再结合的取值，用点斜式写切线方程； （2）先化简得到在区间上恒成立，再分区间讨论的符号分离参数即可求解； （3）函数双零点等价于方程有两根，设 ，由零点相等关系取对数整理得，利用对数均值不等式平方得 ，即，得证. 【小问1详解】 当时，函数 ，则，故切点为 ， 求导得到，则切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数 在区间上恒成立，即； 即在区间上恒成立， 当时， 恒成立，对无限制； 当时，，所以恒成立， 令函数，，则， 令，得到， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故 ，所以； 当时，，所以恒成立， 此时 ， 函数单调递减，且时，，时，， 故 ，此时即可 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 函数存在两个零点， 因为时，左边，右边不成立，故， 所以有两个不同解，设​， 由（2）知当时，函数单调递减，且 当时，函数单调递减，时，，且 当时，函数单调递增，时，， 因此当 时，方程在上有两个不同解且， 令，则， 设，且，则； 两边取对数整理得：， 即，即 ， 要证，即证，即证， 即证， 令 ，则证，即证即可， 设函数 ，则 , 所以在 单调递减， 所以，即得证. 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西九江市共青城博雅学校等校高三5月高考适应性检测数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 50 3. 已知为实数，集合，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（ ） A. 15 B. 13.75 C. 12.5 D. 11.25 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意实数，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的平面内有2个不同的点满足 ，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 10. 已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. ，使得 D. 11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，若点在上，点在上，且满足，则（ ） A. B. 的面积是一个定值 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则___________． 13. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱 的中点，点在体对角线上运动，则的最小值为_____． 14. 已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若，则实数的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某在线学习平台为提升课程完课率，开发了一款AI工具，可在课程视频中自动插入“互动时刻”（如弹窗投票、即时小测等）．为研究互动时刻密度（单位：次/小时，即每小时视频中插入的互动次数）与完课率（单位：）之间的关系，平台针对同一门代表性课程，设置了5档不同的互动时刻密度，记录数据如下表． 互动时刻密度 完课率 1 62 2 68 3 74 4 79 5 85 （1）求完课率关于互动时刻密度的线性回归方程； （2）预测当互动时刻密度为6次/小时时，该课程的完课率，并解释回归系数的实际意义． 附：记一组点通过最小二乘估计所得的经验回归直线方程为，其中． 16. 如图，在直角梯形中， ．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． （1）证明：平面平面； （2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知抛物线的焦点为，过点作直线交于两点，且． （1）求的方程； （2）若点为上异于的动点，直线分别交的准线于点． （i）证明：以线段为直径的圆恒过点； （ii）记直线 的斜率分别为，若直线与轴垂直，求取得最小值时点的坐标和以线段为直径的圆的标准方程． 19. 已知函数 ，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求的取值范围； （3）若在区间上存在两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $