江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期全真模拟（二）数学试卷

1 吉安一中 2024—2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学试卷 命题人： 审题人： 备课组长： 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 A= 0,1,2,3,4 ，集合 B= � ��(� − 1) < 1 ，则 A ∩ B = A． 0,1,2,3 B． 1,2,3 C． 2,3 D． 3 2．已知复数 z = �−� 1+� (� ∈ �)为纯虚数，（i为虚数单位），则z2025= A．0 B．-i C．-1 D．� 3．1.0110的小数点后第二位的数字是 A．0 B．1 C．2 D．5 4．如图函数     πsin , 0, 2 f x A x A           的图象过点（0， − 1），（ � 6，1），（ π 2 ，1）三 点，则的值为 A． 12 B．1 C．2 D．3 5．已知��是等差数列 �� 的前 n项和，若�1 + �11 = 12,则�1�6的最小值为 A．-36 B．-27 C．0 D．21 6．在随机事件 A,B满足 P(A) = 1 4 ，P(B) = 1 3 ，且 P A B = P(�),则 P(AB) = A． 1 12 B．1 6 C．1 4 D．1 2 7．已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为 9π，半径为 2的球 O与该圆台的上、下底面及侧面 均相切，则圆台的体积等于 A．7 2 3 � B．14 2 3 � C．17 2 3 � D．26 2 3 � 8．已知双曲线� 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的实轴长等于 8，等腰梯形�1���1的四个顶点均在双曲线 上，边�1�，�1�都与�轴平行，其中�1�在�轴下方，且 �1� = 2 17， �1� = 10;又等腰梯形的 高等于 3，则双曲线的离心率= A．5 4 B． 4 3 C． 13 2 D． 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知函数�(�) = 2 � 2�+1 (x ∈ R)，函数�(x)的图像与�(�)的图像关于直线� = �对称，则下列结论 正确的是 A．f( 3) > f( 2) B． �=1 13 �(� − 7) = 6 C．g(x)的定义域为（0，1） D．f(x)的图像与�(�)的图像有且仅有一个公共点 10．∆ABC的内角 A,B,C所对的边分别为�, �, �,且���� = 3����,则 A．若 B ∈ ( π 6 , π 2 )，则∆ABC为锐角三角形 B．A-B的最大值为 � 6 C．若 c=2b,则� = � 6 �. �2 − �2=1 2 �2 11．设直线 1 2 3l l l， ， 两两垂直，且三条直线与平面 1 2 3  ， ， 所成角如下表所示： 夹 角 1 2 3 1l π 6 0 3 2l π 4 2  0 3l 1 π 6 π 4 注：夹角为 0 表示相应直线和平面平行．则下列结论正确的是 A． 1 π 3   B． 1 2  C． 1 和 2 互余 D． 13 和 32 互补 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．命题“存在� ∈ −1,2 ，使得 22 10 0x mx m    ”是假命题，则 m的取值范围是 ． 13．若直线 : 1l ax by  上有且仅有一点 P ，使得 2OP  （O为坐标原点），则直线 l 被 圆 2 2: 16C x y  截得的弦长为 ． 14．“素数”是指大于 1的自然数中，除了 1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如 2、 3、5……都是素数；“孪生素数”是指相差为 2的两个素数，例如（3，5），（5，7），（11，13）…… 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013 年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过 7000万”，2014年陶哲轩等数学家 证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过 246”；现在某同学要从小于 20的素数中取出 4个， 则取出的 4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= ． 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13分）某种昆虫的产卵数 y（单位：个）与一定范围内的温度�（单位：℃）有 关；科研人员随机挑选了 5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度� 8 10 11 12 14 产卵数� 6 11 14 m n 经计算得产卵数 y与温度�的相关系数 r> 0.75，可以判断产卵数 y与温度�线性相关性很强，又 进一步通过最小二乘法求得�关于�的线性回归方程是� = 2.25� + � （1）已知 r= 0.9，分别求样本数据中温度�及产卵数�的方差��2，��2； （2）若� =− 11.75，分别求�, �的值. 附：参考公式：回归直线� = �� + �的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 r的公式分 别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆâ y bx  ， 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            . 16．（本小题满分 15分）已知圆锥的顶点为 P,底面圆 O的直径 AB的长度为 4，母线长为� （1）如图 1所示，若�= 6，C为圆 O上异于点 A的任意一点，当∆PAC的面积最大时，求二面 角 C − PA − B的大小； （2）如图 2所示，若�=6，点 G在线段 PA上，一只蚂蚁从点 A出发，在圆锥的侧面沿着最短路 径爬行一周到达 G点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的 3倍，求线段 PG的长度.（上 坡表示离顶点 P的距离越来越近） （图 1） （图 2） 17．（本小题满分 15分）已知定点 F1(-1,0)，F2(1,0)，定直线�: � = 4,动点M到定点 F2的距离与 它到定直线�的距离的比是常数1 2 ，记动点M的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C的方程； （2）已知动直线�1与曲线 C交于点 B,D，若点 B的坐标为(1, 3 2 ),O为坐标原点，则∆OBD的面积 可以等于 2吗？若可以，求满足条件的直线�1；若不存在，说明理由； （3）已知定点 Q（1，1），动点 P是曲线 C上的点，求 �� + 2 ��1 的最小值. 18．（本小题满分 17分）已知数列 �� 满足：��+1 = �(��)，其中�(�) = ��2 + ��(�� ≠ 0) （1）已知� = � = 2,�1 = 3 2 ，令�� = ���2(�� + 1 2 )，求数列 �� 的通项公式； （2）已知 a =− 3，b = 3，�� > 0，且对任意 n ∈ N∗都满足：�� = �(��+1)，求数列 �� 的通项 公式； （3）已知 a = b = 1，x1 = 2，记�� = 1 ��+1 ，证明�1 + �2 + �3 +⋯⋯+ �� < 1 2 19．（本小题满分 17分）记 1 2 1 n i n i a a a a    ．已知函数 ( )f x 和 ( )g x 的定义域都为D，若存在 1 2, , , mx x x D ，使得   1 [ ( ) ( )] 0 m i i f x g x x x      ，当且仅当 , 1, 2, ,ix x i m   时等号成立，则 称 ( )f x 和 ( )g x 在D上“m次缠绕”. (1)判断 ( ) sinf x x 和 ( ) cosg x x 在 (0,2π)上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设 2( ) ln af x x x   ，若 ( )f x 和 1f x       在 (0, ) 上“3次缠绕”，求 a的取值范围； (3)记所有定义在区间 ( , )a b 上的函数组成集合A，证明：给定 * Nm ，对任意 ( )F x A ，都存在 ( ), ( )f x g x A ，使得 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，且 ( )f x 和 ( )g x 在 ( , )a b 上“m次缠绕”. 3 吉安一中 2024—2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 C B A C B B A ACD ABD CD 12. （-4，2） 13. 4 3 14. 4 7 15.解（1）� = 8+10+11+12+14 5 = 11⋯⋯⋯⋯1分 �=1 5 (�� − �)2 = 20， ∴ ��2 = 1 5 �=1 5 (�� − �)2 = 4 ⋯⋯⋯⋯3分 又由 � � = �� �� ，得： 2.25 0.9 = �� 2 解得：�� = 5 ∴ sy2 = 25⋯⋯⋯⋯6分 （2）� = �� + � = 2.25 × 11 − 11.75 = 13⋯⋯⋯⋯7分 由 6+11+14+m+n= 5 × 13 得：m+ n = 34⋯①⋯⋯⋯⋯8分 又由 b = i=1 5 xiyi−5×11×13 20 = 2.25 得 �=1 5 ���� = 760 ⋯⋯⋯⋯10分 即：6m+ 7n = 224⋯②⋯⋯⋯⋯11分 联立①,②得：m = 14，n = 20⋯⋯⋯⋯13分 16.解（1）∵cos < APB =− 1 3 ∴< APB为钝角⋯⋯⋯⋯1分 又 0 ≤< APC ≤< APB ∆PAC的面积 S=3sin < APC ∴当< APC=90°时，∆PAC的面积取到最大值⋯⋯⋯⋯2分 以点 O为原点，AB所在的直线为�轴，建立空间直角坐标系，则 A（0,-2,0），B（0，2，0），P（0，0， 2），C（ 3，1，0） �� = ( 3, 3,0)，�� = (0,2, 2)⋯⋯⋯⋯4分 设平面 PAB的一个法向量为�1 =(�1, �1, �1) 由 3�1 + 3�1 = 0 2�1 + 2�1 = 0 ;设�1 =− 1,得�1 =（ 3， − 1， 2）⋯⋯⋯⋯6分 又平面 PAB得一个法向量为�2 =（1，0，0） ∴cos < �1 , �2 >= 2 2 ⋯⋯⋯⋯8分 由图形可知，二面角 C-PA-B为锐二面角，∴二面角 C-PA-B等于 45°⋯⋯⋯⋯9分 （2）将圆锥的侧面展开成如图的扇形，设扇形的圆心角为α，则 α = 2π 3 ⋯⋯⋯⋯10分 设�� = � ，�� = � ;过点 P作 PH⊥AG于 H,则�� = 1 4 � + 3 4 � 由�� ∙ �� = 0得：（1 4 � + 3 4 � ）∙（a − b ） = 0 � 2 + 2 � − 12 = 0,解得： � = 13 − 1 ∴ PG = 13 − 1⋯⋯⋯⋯15分 17.解（1）设M �, � ，点M到直线�的距离为 d 由 ��2 � =1 2 ，得： �−1 2+�2 �−4 = 1 2 ⋯⋯⋯⋯1分 化简得：� 2 4 + � 2 3 = 1 ∴曲线 C的方程为� 2 4 + � 2 3 = 1⋯⋯⋯⋯3分 （2）当直线�1的斜率不存在时，∆OBD的面积为 3 2 ，不合题意；⋯⋯⋯⋯4分 当直线�1的斜率存在时，设�1：y − 3 2 = k(x − 1) 联立方程组 � − 3 2 = �(� − 1) 3�2 + 4�2 = 12 ；消去 y得： (3 + 4k2)x2 + (12k − 8k2)x + 4k2 − 12k − 3 = 0 由���� = �� = 4k2−12k−3 3+4k2 ⋯⋯⋯⋯6分 ∴ BD = 1+ �2 1 − �� = 6 1+�2 2�+1 3+4�2 又点 O到直线 BD的距离 h= 1 2 2�−3 �2+1 由S∆OBD = 3 2 4k2−4k−3 3+4k2 =2⋯⋯⋯⋯8分 得：4k2 + 12k + 21 = 0或 28k2 − 12k + 3 = 0 解得：以上两个方程均无实数解；从而可知：不存在满足条件得直线�1⋯⋯⋯⋯10分 （3）设点 P到直线�:� = 4的距离为�2，到直线�': � =− 4的距离为�1 则�1 + �2 = 8，又 ��1 + ��2 = 2� = 4 ∴ PF1 d1 = 4 − PF2 8 − d2 = 4 − PF2 8 − 2 PF2 = 1 2 ∴ 2 PF1 = d1 得： �� + 2 ��1 = �� + �1⋯⋯⋯⋯12分 过 Q作直线�': � =− 4的垂线 QN，N为垂足 ∴ �� + 2 ��1 = �� + �1 ≥ �� = 5⋯⋯⋯⋯13分 此时点 P（ − 2 6 3 ，1） ∴ �� + 2 ��1 的最小值等于 5 ⋯⋯⋯⋯15分 18.解：（1）由��+1 = 2��2 + 2�� 得�� + 1 2 = 2(�� + 1)2⋯⋯⋯⋯1分 ∴ log2 (xn+1+ 1 2) = 2log2 (xn+ 1 2) + 1⋯⋯⋯⋯3分 即��+1 = 2�� + 1，�1 = 1 ∴ an+1 + 1 = 2(an + 1) �� + 1 是等差数列，首项为 2，公比为 2⋯⋯⋯⋯4分 ∴ an + 1 = 2n 即�� = 2� − 1⋯⋯⋯⋯5分 （2）由��+1 = �(��)得：��+1 =− 3��2 + 3��⋯① 又�� = �(��+1) 得：�� =− 3��+1 + 3��+1⋯⋯⋯⋯6分 两式相减得：3(xn+1 − xn)(xn+1 + xn − 4 3 ) = 0⋯⋯⋯⋯8分 得：xn+1 = xn 或 xn+1 + xn − 4 3 = 0 当xn+1 = xn时，代入①得：3xn2 − 2xn = 0 解得：�� = 2 3 当 xn+1 + xn = 4 3 时，代入①得：9xn2 − 12xn + 4 = 0 解得：�� = 2 3 ∴ �� = 2 3 ⋯⋯⋯⋯10分 （3）由��+1 = ��2 + �� ,�1 = 2 可推出�� > 0⋯⋯⋯⋯11分 ∴ ��+1 − �� = ��2 > 0，从而可得数列 �� 是递增数列⋯⋯⋯⋯12分 由 1 ��+1 = 1 ��(��+1) = 1 �� − 1 ��+1 4 得： 1 ��+1 = 1 �� − 1 ��+1 ⋯⋯⋯⋯14分 ∴ �1 + �2 +⋯⋯⋯�� = 1 �1 − 1 ��+1 = 1 2 − 1 ��+1 ⋯⋯⋯⋯15分 由 1 ��+1 > 0 得：�1 + �2 +⋯⋯⋯�� < 1 2 ⋯⋯⋯⋯17分 19.（1）函数 ( ) sin , (0, 2 )f x x x π= Î 和 ( ) cos , (0,2 )g x x x   ＂2次缠绕＂，⋯⋯⋯⋯1分 理由如下：  0,2x  ，当 4 x  和 5 4 x  时， sin cosx x ， 则对任意 5(0, 2 ), (sin cos ) 0 4 4 x x x x x              ， 当且仅当 4 x  和 5 4 x  时，等号成立， 所以由＂m次缠绕＂定义可知 ( )f x 和 ( )g x 在 (0,2 ) 上＂2次缠绕＂．⋯⋯⋯⋯4分 （2）设 22 1( ) ( ) 2 ln aG x f x f x ax x x          ， 因为 ( )f x 和 1f x       在 (0, ) 上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数 1 2 3, ,x x x ，使得   3 1 ( ) 0i i G x x x     ， 当且仅当 , 1,2,3ix x i  时等号成立，⋯⋯⋯5分 所以 1 2 3, ,x x x 是 ( )G x 的三个零点． 注意到 (1) 0G  ，所以 1是 ( )G x 的一个零点．⋯⋯⋯⋯6分  4 2 3 2 ( ) ax x a G x x      ， ①当 0a  时， ( ) 0, ( )G x G x 在 (0, ) 上单调递增， 1是 ( )G x 的唯一零点，不合题意．⋯⋯⋯⋯7分 ②当 1 2 a  时， ( ) 0, ( )G x F x 在 (0, ) 上单调递减， 1是 ( )G x 的唯一零点，不合题意．⋯⋯⋯⋯8分 ③当 10 2 a  时，令 4 2( ) 0, 0G x ax x a     ，存在两根 1 20 1t t   ， 当  10,x t 时， ( ) 0, ( )G x G x  单调递减； 当  1 2,x t t 时， ( ) 0, ( )G x G x  单调递增， 当  2 ,x t  时， ( ) 0, ( )G x G x  单调递减， 所以  1 (1) 0G t G  ，因为 3 1 1( ) 2 ln 2lnG a a a a a a a       ， 设 1( ) 2 ln ,0 1H a a a a a      ，因为 2 2 ( 1)( ) 0aH a a     ， 所以 ( )H a 在(0,1)上单调递减，所以 ( ) (1) 0H a H  ，即 ( ) 0G a  ， 所以存在  1 1(0,1), 0x G x  ． 又  2 1(1) 0, ( ) 0G t G G G a a          ， 所以存在    2 2 2, , 0x t G x   ． 所以    1 2 1( 1) ( ) 0x x x x x f x f x            恒成立， 即 10 2 a  时， ( )f x 和 1f x       在 (0, ) 上＂3次缠绕＂，⋯⋯⋯⋯11分 综上， a的取值范围是 10, 2       ． （3）方法一：取 1 2 ma x x x b     ， 设     1 2( ) mx x x x x x x     ，⋯⋯⋯⋯12分 令 1 1( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )], ( , ) 2 2 f x F x x g x F x x x a b      ， 显然 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，且    2 1 1 [ ( ) ( )] 0 m m i i i i f x g x x x x x           ， 当且仅当 , 1,2, ,kx x k m   时，等号成立．⋯⋯⋯⋯14分 所以对任意 ( )F x A ， 存在 1 1( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )], ( , ) 2 2 f x F x x g x F x x x a b      ， 其中     1 2( ) mx x x x x x x     ， 使得 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，且 ( )f x 和 ( )g x 在 ( , )a b 上＂m次缠绕＂．⋯⋯⋯⋯17分 方法二：记 0 1, ma x b x   ，取 1 00 , 1, 2, ,1 m k x xx x k k m m        ， 设  0( ) sinx x x   ，其中 1 0 1 m m x x       ，则   sin 0kx k   ， 且当  1,k kx x x  时， 0,1, 2, ,k m  ， 因为  0 ( 1)k x x k      ， 所以 ( ) x 与 ( 1)k 同号，（＊） m为奇数时，设 1 1( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )], ( , ) 2 2 f x F x x g x F x x x a b      ， 显然 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，且 ( ) ( ) ( )f x g x x  ， 当  1,k kx x x  时，   1 0,1,2, , , m i i k m x x    与 ( 1)m k 同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定 * Nm ，任意  1, , 0,1, 2, ,k kx x x k m   ，     1 1 [ ( ) ( )] ( ) m m i i i i f x g x x x x x x          与 ( 1)m 同号；所以   1 [ ( ) ( )] 0 m i i f x g x x x      ． m为偶数时，设 1 1( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )], ( , ) 2 2 f x F x x g x F x x x a b      ， 同理可知， ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，且 ( )f x 和 ( )g x “m次缠绕”． 综上，存在 ( ), ( )f x g x A ，使得 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ， 且 ( )f x 和 ( )g x 在 ( , )a b 上“m次缠绕”