精品解析：广东省深圳市宝安区航城学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市宝安区航城学校七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：0.0000033用科学记数法表示为． 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛 B. 从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王 C. 若a是实数，则 D. 六边形的一个内角为 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意； B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意； C、若a是实数，则，是必然事件，符合题意； D、六边形的一个内角为，是随机事件，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 4. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 5. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，由线段的性质即可得到答案． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 7. 小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 8. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　） A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190 【答案】D 【解析】 【详解】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）， ∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19=190， 故选 D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分别写有数字0，，，1的四张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好概率的计算公式是关键． 根据概率公式，计算抽到负数的概率，即负数卡片数量与总卡片数量的比值． 【详解】解：总卡片数为4，负数卡片有和，共2张， 故抽到负数的概率为． 故答案为：． 10. 若，则_______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 11. 如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线之间，若，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】过作，则，根据平行线的性质求得，进而求得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过作，则， ． 12. 有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】设的边长为，的边长为，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，列出代数式来求解． 【详解】解：设的边长为，的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分的面积是解题的关键． 13. 如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），先根据整式的乘除法计算，再根据整式的加减法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 16. 如图，． （1）利用尺规作图：过E作，使，交直线于F（要求：不写作法保留作图痕迹）； （2）试说明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据一个角等于已知角的作法，作出以点E为顶点，射线为角的其中一边，且与相等的角即可； （2）根据平行线的性质可得，再由，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查作图−角、平行线的性质，熟练掌握相等角的作法是解题的关键． 17. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】（1）0.6 （2）24 （3）10 【解析】 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【小问1详解】 解：根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 【小问2详解】 估算盒子里约有白球（个）， 故答案为：24； 【小问3详解】 根据题意知，， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 18. 已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，，，．求证：． 证明： ______（已知） ______（两直线平行内错角相等） （已知） ____________（等式的性质） 即 在与中， （______） ______（全等三角形对应角相等） （______） 【答案】；F，，，，，，（内错角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理及性质和平行线的性质定理，解题时注意数形结合，掌握全等三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据已知条件，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应角相等，用平行线判定定理得出． 【详解】证明：（已知） （两直线平行内错角相等） （已知） （等式的性质） 即 在与中， （全等三角形对应角相等） （内错角相等，两直线平行） 19. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：． 【类比探究】 （1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积、、的等量关系式是 ． 【应用】 （2）根据（1）所得的关系式，，，则 ． 【拓展】 （3）若x满足 ，求的值． 【知识迁移】 （4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】（1） （2）90 （3）5 （4）12 【解析】 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案． （2）根据代数求解即可． （3）设 ， ，根据 求解即可． （4）设，，表示出种花区域的面积和以及种草区域的面积和，由此求解即可． 【小问1详解】 解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， ∴阴影部分的面积为， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：设 ， ， 则 ， 由题意知 ， 根据完全平方公式变形得： ， ∴ ． 【小问4详解】 解：设，， ∵， ∴， 种花区域的面积和为： ， 由题意得：，即， 种草区域的面积和为： ， ∵ ， ∴，解得， 答：种草区域的面积和为12． 20. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 （4）如图③，在和中，，，且，连接 ，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】（1）B （2）1（或3或5或7或9或11） （3） ，理由见解析 （4）8 【解析】 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明 ，再证明 ，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， 在中，， 即 ，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； 【小问3详解】 解： ，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴ ，， ∵． ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 【小问4详解】 解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴ ， ， ， ∵， ∴， ∵ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即，则， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省深圳市宝安区航城学校七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛 B. 从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王 C. 若a是实数，则 D. 六边形的一个内角为 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是( ) A. B. C. D. 8. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　） A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分别写有数字0，，，1的四张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是________． 10. 若，则_______． 11. 如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线之间，若，则_________度． 12. 有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为______ ． 13. 如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 __________________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）. 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，． （1）利用尺规作图：过E作，使，交直线于F（要求：不写作法保留作图痕迹）； （2）试说明：． 17. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 18. 已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，，，．求证：． 证明： ______（已知） ______（两直线平行内错角相等） （已知） ____________（等式的性质） 即 在与中， （______） ______（全等三角形对应角相等） （______） 19. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：． 【类比探究】 （1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积、、的等量关系式是 ． 【应用】 （2）根据（1）所得的关系式，，，则 ． 【拓展】 （3）若x满足 ，求的值． 【知识迁移】 （4）如图（4），某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 20. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 （4）如图③，在和中，，，且，连接 ，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $