精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题

2025-2026学年度下学期九年级调研测试（二） 数学学科 试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包含有限小数和无限循环小数，化简各选项后即可得出答案． 【详解】解： A选项  是整数，属于有理数； B选项 ， 是整数，属于有理数； C选项  开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D选项  是有限小数，属于有理数． 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意． 3. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5. 小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 抛物线顶点坐标为． 6. 对于任意实数m、n，定义一种新运算“◎”：，这里等式右边是实数运算，例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 7. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同溶液中时，浸在溶液中的高度与溶液的密度之间满足反比例函数的关系，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，运用待定系数法求出反比例函数解析式，把代入，即可得到结论． 【详解】解：设反比例函数表达式为． ∵当， ∴． ∴h关于ρ的函数表达式为， 把代入，得， 所以，密度计浸在溶液中的高度h为， 故选：D． 8. 某类简单化合物中，前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中白球代表碳原子，小黑球代表氢原子，按照这一规律，第26种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 52 B. 53 C. 54 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律的探究与代数式求值．先分析已知化合物的化学式，找出碳原子数和氢原子数的对应关系，总结出通用规律，再代入计算氢原子个数，进而选出答案． 【详解】解：第1种：碳原子数，氢原子数， 第2种：碳原子数，氢原子数， 第3种：碳原子数，氢原子数， 第4种：碳原子数，氢原子数， 由此推导规律：第种化合物中，氢原子数， 当时，， 故选：C． 9. 在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ） A. 小赵同学作图判定的依据是 B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 小刘同学作图判定的依据是 D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可． 【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时， ∴； ②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴； ③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴， ∴ , ＝； 综上，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件、函数自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键，根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 14. 小鹤同学在研究一个扇形的弧长和面积时，发现一个扇形弧长的数值恰好等于面积的数值，则此扇形的半径的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出扇形的半径与圆心角，根据扇形弧长公式和扇形面积公式，结合题干中弧长数值等于面积数值的条件列等式，化简后即可求出扇形半径的值． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，其中 ． 根据扇形弧长公式，可得弧长． 根据扇形面积公式，可得扇形面积． 由题意得 ，即 解得． 15. 哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中央大街步行街；②中华巴洛克景区；③冰雪大世界；④太阳岛公园．若小亮从这四个景点中随机选择两个进行主题宣传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出从4个景点中随机选择2个的所有等可能结果数，再找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将四个景点分别记为①中央大街步行街，②中华巴洛克景区，③冰雪大世界，④太阳岛公园． ① ② ③ ④ ① ①② ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④ ④① ④② ④③ 从四个景点中随机选择两个，所有等可能结果共种． 其中所选两个景点恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的结果有种． ∴所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为． 16. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_____． 【答案】122° 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°， ∵∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠CAD =64°， ∴∠EBC+∠ECB==58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故答案为：122°． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 18. 如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 19. 在中，，是底边上的中线，，作的高线，则的正切值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得到，再利用勾股定理结合已知条件求出和的两组可能值，再利用三角形面积法求出高的长度，最后在中根据正切的定义计算的正切值． 【详解】，是底边上的中线， ，， 设，， 由题意得：， 将两边平方得：， 代入得：， 即， 联立解得或， 是边上的高， ，， ， ， 分两种情况讨论：①当，时，， 在中，，， ； ②当，时，， 在中，，， ； 故答案为或． 20. 正方形中，O是对角线交点，E、F分别是、上的点，，连接、交于点G，连接．下列结论中：①；②；③若，，则；④K是上一点，连接、，则的最小值等于的长．所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形性质和SAS判定，根据全等三角形对应边相等判断①．通过角度互余证明，结合证明 四点共圆，利用圆周角定理推导 ，再结合，即可判断②．过点作交于点，证明得出，设，勾股定理求得，进而根据，即可求得的长，根据全等三角形的性质即可得出的长，判断③．利用轴对称性质将转化为线段，通过证明四边形为矩形得出最小值与的关系判断④． 【详解】解：①在正方形中，， 故①正确． ② 正方形中，是对角线交点， ， ， 点 在以为直径的圆上 故②正确． ③如图所示，过点作交于点， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴ 设 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∵ ∴，故③错误． ④作点关于的对称点，连接交于点，连接 点关于对称 ， ， 点在上 ，此时取得最小值 正方形中， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 的最小值等于的长，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 三、解答题：（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再算除法，进行分式的化简，利用特殊角的三角函数值，求出的值，代入化简后的式子中，求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值的计算．熟练掌握分式的运算法则以及特殊角的三角函数值，是解题的关键． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）在上找一点，使得， （3）过作，交延长线于点． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点D即为所求； （3）解：如图，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点C，使，即可解答； （2）取与网格线交于点D，即可； （3）延长与网格线交于点G，连接交延长线于点，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 理由：由作法得：， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点D即为所求； 理由：由（1）得：，， 由作法得：点D为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，点F即为所求． 理由：由（1）得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由作法得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 23. 自2016年开始，每年4月24日是中国航天日，道里区某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 8 c 众数 7 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出统计表中a，b，c的值； （2）若该校七年级有600名学生，请估计该校七年级学生成绩合格的人数； （3）若该校八年级有562名同学，请估计该校八年级分数在8分和8分以上的人数．（直接写出结果） 【答案】（1）8；； （2）480名 （3）281名 【解析】 【分析】（1）利用中位数、众数的定义求解； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，七年级中取得8分的人数最多， ∴， 七年级的合格率， 将八年级学生成绩按从低到高排列，第10位、11位分别是7分、8分， ∴八年级的中位数； 【小问2详解】 解：名 即该校七年级学生成绩合格的人数480名； 【小问3详解】 解：名， 即该校八年级分数在8分和8分以上的人数为281名． 24. 定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为“二倍角等腰三角形”． （1）问题1：如图1，在中，平分，，求证：为二倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在中，，在边上，在延长线上，且，交于点F，若，求证：为二倍角等腰三角形． 在问题1和问题2中选一个进行证明： （2）已知为二倍角等腰三角形，，，以为边向外作二倍角等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明：选择问题1：∵平分， ∴，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为二倍角等腰三角形. 选择问题2：如图，过作交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为二倍角等腰三角形． （2）为或或或. 【解析】 【分析】（1）选择问题1：证明即可；选择问题2：证明； （2）先求解，，再分情况讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，为二倍角等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴，， ∵以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， ∴，而， ∴，， ∴； 如图， 以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 综上：为或或或. 25. 某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． （1）求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ （2）若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少？ 【答案】（1）购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元． （2）购买A种学习用品40个时，学校费用最多，最多费用是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据单价差和数量关系，设未知数列分式方程求解，检验后即可得到结果； （2）根据购买数量的限制条件列不等式求出自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出最大费用． 【小问1详解】 解：设购买一个B种学习用品需要元，则购买一个A种学习用品需要元． 根据题意列方程得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意． 此时． 答：购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元． 【小问2详解】 解：设购买A种学习用品个，则购买B种学习用品个，总费用为元． 根据题意得不等式：， 解不等式得：． 总费用表达式为： ． ， 随的增大而增大． 当取最大值时，取得最大值． 将代入得： （元）． 答：购买A种学习用品40个时，学校费用最多，最多费用是1800元． 26. 如图，是的直径，C、D为上两侧两点，且． （1）求证：； （2）过点C作的切线交的延长线于点E，求证：； （3）在（2）的条件下，过点作，垂足为，延长交于点，连接并延长交于K，分别交于点H，交于点M，，，求长． 【答案】（1）证明：为公共弧， ． ， ，即． 为公共弧， ， ， ； （2）证明：如图1，连接并延长交于，连接，则， ． ，， 垂直平分， ． 为直径， ， ， ， ， ，即 ； （3） 2． 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用“同弧所对的圆周角相等”证明即可； （2）已知为切线，首先连接并延长交于 ，连接，证明，然后进一步证明即可； （3）观察图形和已知条件，首先证明，然后连接，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，再通过连接，证明四边形为平行四边形，进而得出B为中点，最后利用相似求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图2，连接， 由（2）已知， ． ， ， ， ． 由（1）已知， 又， ，即， ， ，， ． 在中，， ， ，即为中点． 由（2）可知， ， ． 在和 中， ， ． 四边形为矩形． ， 四边形为平行四边形． ，在上． 是的切线， ． 为直径， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 在和 中， ，， ， ， ， 是中点， ， 垂直平分． 如图2，连接，则关于对称， ，即． ， ， ． ∵四边形为矩形， ． 在和中， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 在中，， ， ，即为中点． 设，则． 在和 中， ， ，即 ， ，则，． 在中，，， 则 ，． 在 中，，， 则． 在中，， 则 ． 【点睛】解题时，要注意把已知条件通过转化集中到我们熟悉的图形中，进而使问题得到简化；要能够结合问题来构造恰当的辅助线，从而使各知识点之间建立联系． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于A、B两点（点在点左侧），交轴于点，连接，． （1）求的值； （2）如图1，点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为t，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，连接，当时，过P作轴交轴于点E，连接，点F在上，连接，过A作，垂足为G，过G作的角平分线交于点H，连接，K在上，连接，过C作于点，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，连接交轴于，延长至，连接、、、，N在上，连接、、，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，根据得出，则，代入抛物线解析式，即可求解； （2）作轴于点,令，得出则，根据题意得，则 ，，，根据正切的定义得出，根据 得出，表示出，进而求得与的函数关系式； （3）过作于，作轴交的延长线于，先证明 ，得 ，同理可得 ，得 ，进而得，作 交其延长线于，延长交 于，证明 ， ，得出，过点作平分，同理可得 ，可得 为等腰直角三角形，得出 ，则四点共圆，得出 ，作于，的延长线交的延长线于， ，得出，即可得出是的中位线，结合已知得出，求得直线的解析式为，联立抛物线解析式得出，过点作轴于点，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 即， ∴， 在中，∵， 即， ， ∴， 将代入 得： ， ， 【小问2详解】 解：如图，作轴于点， ∵ ， 令，则， ， ， 则， ∵点在第四象限抛物线上，且点的横坐标为t， ， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图，过作于，作轴交的延长线于， ， 又 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 同理可得 ， ， ， ， ， 作 交其延长线于，延长交 于， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又 ， ， ， 过点作平分， ， 同理可得 ， ， 为等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 作于，的延长线交的延长线于， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又 ， ， ， 同理可得， ， ∵，， ∴是的中位线， ， ∵， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级调研测试（二） 数学学科 试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意实数m、n，定义一种新运算“◎”：，这里等式右边是实数运算，例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同溶液中时，浸在溶液中的高度与溶液的密度之间满足反比例函数的关系，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 某类简单化合物中，前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中白球代表碳原子，小黑球代表氢原子，按照这一规律，第26种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 52 B. 53 C. 54 D. 55 9. 在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ） A. 小赵同学作图判定的依据是 B. 小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 小刘同学作图判定的依据是 D. 小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 12. 分解因式：______． 13. 不等式组的最大整数解为___________． 14. 小鹤同学在研究一个扇形的弧长和面积时，发现一个扇形弧长的数值恰好等于面积的数值，则此扇形的半径的值为________． 15. 哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中央大街步行街；②中华巴洛克景区；③冰雪大世界；④太阳岛公园．若小亮从这四个景点中随机选择两个进行主题宣传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为________． 16. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_____． 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 18. 如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 19. 在中，，是底边上的中线，，作的高线，则的正切值为________． 20. 正方形中，O是对角线交点，E、F分别是、上的点，，连接、交于点G，连接．下列结论中：①；②；③若，，则；④K是上一点，连接、，则的最小值等于的长．所有正确结论的序号是________． 三、解答题：（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A、B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）画，点在格点上； （2）在上找一点，使得， （3）过作，交延长线于点． 23. 自2016年开始，每年4月24日是中国航天日，道里区某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 8 c 众数 7 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出统计表中a，b，c的值； （2）若该校七年级有600名学生，请估计该校七年级学生成绩合格的人数； （3）若该校八年级有562名同学，请估计该校八年级分数在8分和8分以上的人数．（直接写出结果） 24. 定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为“二倍角等腰三角形”． （1）问题1：如图1，在中，平分，，求证：为二倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在中，，在边上，在延长线上，且，交于点F，若，求证：为二倍角等腰三角形． 在问题1和问题2中选一个进行证明： （2）已知为二倍角等腰三角形，，，以为边向外作二倍角等腰三角形，请直接写出的度数． 25. 某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． （1）求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ （2）若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少？ 26. 如图，是的直径，C、D为上两侧两点，且． （1）求证：； （2）过点C作的切线交的延长线于点E，求证：； （3）在（2）的条件下，过点作，垂足为，延长交于点，连接并延长交于K，分别交于点H，交于点M，，，求长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于A、B两点（点在点左侧），交轴于点，连接，． （1）求的值； （2）如图1，点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为t，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，连接，当时，过P作轴交轴于点E，连接，点F在上，连接，过A作，垂足为G，过G作的角平分线交于点H，连接，K在上，连接，过C作于点，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，连接交轴于，延长至，连接、、、，N在上，连接、、，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $