第六章 二项式定理 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学二项式定理核心知识点，系统梳理定理定义、展开式与通项公式，深入解析二项式系数的对称性、增减性及最值等性质，延伸至杨辉三角的结构与规律，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 资料以9类典型题型为载体，涵盖特定项系数、多项式展开、整数余数等问题，通过方法提炼与实例分析，培养学生数学推理能力与运算能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第六章 二项式定理 目录 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 4 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 6 题型3：二项展开式中的系数和问题 9 题型4：二项式系数的最值问题 14 题型5：整数和余数问题 19 题型6：近似计算问题问题 22 题型7：证明组合恒等式 24 题型8：二项式定理与数列求和 28 题型9：杨辉三角 38 1. 二项式定理 (1) 二项式定理： (2) 二项展开式： 叫做的二项展开式，展开式中一共有项. (3) 二项系数：各项的系数，叫做二项式系数. (4) 通项：，表示展开式的第项. 证明 二项式定理的证明： 由于是个相乘，每个相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，每一项都是的形式，它是由个中选了，个中选了得到.由于选定之后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从个中选了个的组合数.这样,的展开式中，共有个，将它们合并同类项即可得到二项式定理. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2) 增减性与最大值 ① 时，随着的增大而增大. ②时，随着的增大而减小. ③当是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值. ④当是奇数时，中间的两项与的二项式系数与相等，且同时取得最大值. 方法提炼 求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． (3) 各二项式系数的和 ①. ②. 方法提炼 若，则 (1) 令，得； (2) 令，则，即展开式中的所有项的系数和为. (3) 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. ②当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 3. 杨辉三角 ，的展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 我们称上面的形式为杨辉三角. 观察杨辉三角，可以发现： (1) 每个数都是组合数，第行的第个数是. (2) 杨辉三角具有对称性，在同一行中，与两端等距离的数相等，即. (3) 每行的两端都是数字1，而其余的数都等于它“肩上”两个数字之和，也就是. (4) 第行的个数之和：. (5) 杨辉三角第斜列相应各数构成新的数列，这个数列为阶等差数列，且每一斜列的数满足. (6) 杨辉三角的第行，即第（正整数）行的各个数字均为奇数. 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 【例1.1.】 的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知的展开式的常数项为，则，所以展开式的第5项为． 【例1.2.】 的展开式中的系数是（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【详解】展开式的通项是， 根据题意，得，解得， 所以的系数是. 【例1.3.】 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用二项展开式的通项公式确定常数项的表达式，结合已知常数项的值列方程求解实数a。 【详解】首先写出展开式的通项， 要求常数项，令的指数为0，即，解得. 将代入通项，得常数项为 ，计算得，因此常数项为. 由题知常数项为15，故 ，解得，即. 【例1.4.】 已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项、求指定项的系数、求有理项或其系数 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 【例2.1.】 在的展开式中常数项等于_______. 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 【例2.2.】 在的展开式中的系数为___________. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数． 【详解】， 展开式中含的项为 故它的展开式中的系数为6， 故答案为：6 【例2.3.】 在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 【例2.4.】 的展开式中，项的系数为___________． 【答案】210 【难度】0.85 【知识点】多项式的展开式、三项展开式的系数问题 【分析】先把用二项展开式写出，再从中寻找含的项. 【详解】因为 所以含有项的为. 所以的展开式中，含项的系数为210. 故答案为：210. 【例2.5.】 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【难度】0.84 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【详解】根据二项式定理，的通项为：， ，要找项，分为两部分： 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 则的系数为 【例2.6.】 的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 题型3：二项展开式中的系数和问题 【例3.1.】 设，则_____． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】二项展开式的应用、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【详解】令，得，则． 【例3.2.】 已知，则______． 【答案】255 【难度】0.82 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法，分别令、、计算即可得. 【详解】令，可得； 令，可得， 令，可得， 所以. 【例3.3.】 （多选）已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.62 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则， 令，则，所以，故D不正确. 【例3.4.】 （多选）若，则下列选项是正确的有（    ） A．二项式系数之和为 B．展开式中含的系数为 C．系数之和为 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式定理的相关性质结论，计算二项式系数之和、特定项系数、各项系数绝对值之和以及系数和，最后分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A，根据二项式系数之和为， 在中，，所以二项式系数之和为，故A正确. 对于B，在中，其展开式的通项为， 令，则，故B错误. 对于C，令，可得，故C正确， 对于D，由题意得表示的各项系数的绝对值之和， 即表示的各项系数之和， 令，可得，即，故D正确. 【例3.5.】 （多选）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】通过分别令、、代入原式求出、所有系数和、奇次项系数和，再对原式两边求导后令得到，逐一验证各选项. 【详解】对于A： 令 ，代入原式左边得：，因此 ，A错误； 对于B： 令 ，代入原式左边得：， 因此 ，B正确； 对于C： 设 ，， 由得： （1）； 令 ，代入左边得：，即： （2）； （1）（2）得 ，即 ，C正确； 对于D： 对原式两边关于求导， 左边导数为： ， 右边导数为：， 令 ，代入左边导数得： ， 即 ，D正确. 【例3.6.】 (多选)已知，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】根据赋值法求二项式系数之和即可判断AB；根据二项式奇偶项系数的求法即可判断C；根据二项展开式求特定项系数即可． 【详解】对于A，令，得 ，故A正确． 对于B，令，得 ，故B错误． 对于C，式子与相加， 得，所以． 令，得 ，所以，故C正确． 对于D，因为，且展开式的第3项为， 所以 ，故D错误． 【例3.7.】 （多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.62 【知识点】导数的运算法则、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 【例3.8.】 已知． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)8 (2)－2 (3)－64 【难度】0.74 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【详解】（1）令，则，则原式转化为， 则，所以； （2）令，得， 令，得，所以＝－2； （3）由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 题型4：二项式系数的最值问题 【例4.1.】 已知（）. (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【详解】（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故． （2）当，时，二项式为． 展开式的通项为（，1，2，…，6）， 设第项系数最大，则， 即， 整理得，解得，又，所以． 所以二项式的展开式中系数最大的项为． 【例4.2.】 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式通项公式求解. 【详解】对于二项式，当为偶数时，中间项（第项）的二项式系数最大. 本题中（偶数），因此第项的二项式系数最大，此时. 二项式的通项为 将代入通项 因此，该项的系数为. 【例4.3.】 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】组合数的性质及应用、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】第1空，根据二项式展开共有项及二项式系数的对称性，可得到关于的等式，解出即可； 第2空，先写出通项公式，化简，令的指数为，即可求出项数，再代入计算即可求出常数项. 【详解】（1）解：由二项式展开共有项，又展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大， 则为奇数，且这两项为中间两项，所以，即，解得； （2）由（1）知，则二项式为，设其通项公式为， 则当该项为常数项时，，解得， 即第三项为常数项，所以. 【例4.4.】 在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）先求出的值，再利用展开式的通项公式求解即可； （2）设第项的系数最大，从而得，求解即可. 【详解】（1）因为展开式中第1项和第2项的二项式系数分别为：， 所以，解得， 所以展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为； （2）由（1）可知展开式中每项的系数为， 设第项的系数最大，则，即， 由，可得， 即，解得，同理由，可得， 又因为为0到9之间的整数，所以， 所以原式展开式中系数最大项为. 【例4.5.】 在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为； (2). 【难度】0.75 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项及该项的二项式系数. （2）由（1）的信息列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由，得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为. （2）令的系数绝对值最大，则，即， 整理得，解得，由，得， 所以系数绝对值最大的项为. 【例4.6.】 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】求有理项或其系数、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由展开式中只有第五项的二项式系数最大求解即可. （2）根据二项展开式的通项，由为整数求解即可. （3）利用二项式定理求出通项，设第项的系数的绝对值最大求解即可. 【详解】（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以 （2）第项为 若项为有理项，则为整数，则，，，， 所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为 （3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 题型5：整数和余数问题 【例5.1.】 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 【例5.2.】 除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】整除和余数问题 【分析】由，运用二项式定理，结合整除的性质，可得所求余数． 【详解】， 由56能被8整除，所以除以8，所得的余数为． 【例5.3.】 若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【难度】0.51 【知识点】整除和余数问题 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 【例5.4.】 若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被7除所得余数为______． 【答案】2 【难度】0.42 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、整除和余数问题 【分析】推导出，利用累加法求出，再利用二项式定理可得出被除所得余数. 【详解】由为奇数时，，得， 由为偶数时，，得， 所以，又， 所以，展开后最后一项是1， 其余各项均能被7整除，所以被7除所得余数为2，即被7除所得余数为2． 【例5.5.】 设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】先将给出的代数式求和得，再将用二项式定理展开，求出余数. 【详解】 这项中，前项均为6的倍数， 因为为正奇数，所以第项，除以6余5， 所以被6整除的余数为5. 【例5.6.】 设，若是大于3的偶数，则除以1225的余数构成的集合是______. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】组合数的性质及应用、二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】利用二项式定理化简，再将偶数换元为并展开，可证是1225的倍数，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若是大于3的偶数，令， 则 ， 因为对，， 所以能被1225整除，故余数为0，即余数构成的集合是. 题型6：近似计算问题问题 【例6.1.】 下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 【例6.2.】 计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 【例6.3.】 试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】近似计算问题 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 【例6.4.】 实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 题型7：证明组合恒等式 【例7.1.】 （多选）“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.6 【知识点】组合数的性质及应用、求指定项的系数、证明组合恒等式 【分析】对A，根据排列数的阶乘定义展开化简左边，整理后与右边对比，即可验证；对B，利用题目给出的算两次思想，对等式，比较两边的系数，即可验证；对C，对，比较两边的系数即可验证；对D，先利用组合数性质化简右侧求和式，再结合选项C结论对系数算两次，即可推导验证. 【详解】对于A： 左边​， 右边，显然不相等，A错误； 对于B： 对等式，比较两边的系数： 右边的系数为​；左边的系数为，由组合性质， 因此系数可化为， 等式成立，B正确； 对于C：对，比较两边的系数： 右边系数为；左边系数为， 等式成立，C正确； 对于D：利用组合恒等式​化简右侧求和： (令 j=i−1,得)由选项C公式，，代入得： 等式成立，故D 正确. 【例7.2.】 在中，把称为三项式的系数. (1)当时，写出三项式的系数的值； (2)类比的二项式展开式（杨辉三角）的规律，当时，写出三项式的（杨辉三角）数字表，并求出时的； (3)求（用组合数表示）. 【答案】(1) (2)数字表见解析， (3) 【难度】0.59 【知识点】二项式的系数和、三项展开式的系数问题、证明组合恒等式 【分析】（1）当时，展开即可求解； （2）类比，结合可写出三项式的(杨辉三角)数字表，令可得的值； （3）由可得的系数，最后转化为展开式中的系数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，三项式的（杨辉三角）数字表如下， 令，可得 ； （3） 其中的系数为 又，而二项式的通项， 由解得，所以的系数为，由代数式恒成立得 【例7.3.】 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中与都是正整数，且． (1)证明：，； (2)化简：； (3)证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.55 【知识点】利用组合数公式证明、组合数的性质及应用、证明组合恒等式 【详解】（1）当，，即得证. （2）        （3）当时， 等式左边第一部分： 等式左边第二部分： 综上得， 【例7.4.】 证明： 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】证明组合恒等式 【分析】将集合分拆出两个集合，满足，，讨论分拆方法，按集合分类，也可对元素实行分步解决，进而计算可得结论. 【详解】将集合分拆出两个集合，满足，， 讨论这样的分拆方法共有几种： 一方面，按分类： 第1类，中有0个元素（种）时，有种，共有种； 第2类，中有1个元素（种）时，有种，共有种； 第3类，中有2个元素（种）时，有种，共有种； 第4类，中有3个元素（种）时，有种，共有种； …… 第类，中有个元素（种）时，有种，共有种， 故共有种． 另一方面，可对元素实行分步解决： 第1步，对于元素来说，可以进入也可进入也可以不进任何集合，故有3种； 第2步，对于元素来说，可以进入也可进入也可以不进任何集合，故有3种； 第3步，对于元素来说，可以进入也可进入也可以不进任何集合，故有3种； …… 第步，对于元素来说，可以进入也可进入也可以不进任何集合，故有3种， 由乘法原理知共有种． 从而有． 题型8：二项式定理与数列求和 【例8.1.】 （多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式定理与数列求和 【分析】利用赋值法，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A对； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 【例8.2.】 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、二项式定理与数列求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 【例8.3.】 设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、二项式定理与数列求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）解法一：根据已知等式构造新数列求得，结合求得，根据等比数列求和公式计算参数；解法二：由①，当时，解得．当时，得②，①－②知数列是首项为2，公比为2的等比数列，根据等比数列求和公式计算参数； （2）提取，利用等比求和得表达式，进而由二项式展开式的特征化简，即可得证 【详解】（1）解法一：因为，即， 所以，且， 故是首项为4，公比为2的等比数列，则，故． 当时，． 则，且满足该通项公式， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． 解法二：因为①， 当时，，又，解得． 当时，②，①－②得，即． 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． （2）由（1）可知， ． 由二项式定理得 ， 即． 【例8.4.】 已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、二项式定理与数列求和、构造法求数列通项 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 【例8.5.】 若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列 (1)求数列的通项公式； (2)现固定的值且，求； (3)设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、二项式定理与数列求和、累乘法求数列通项、数列新定义 【分析】（1）由题意得，结合累乘法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，结合二项式定理可求得； （3）求出的表达式，因为值被固定，故其可视为常数，记作，计算出、，当时，设最大，可得出，求出的范围，然后分析的单调性，可得出结果. 【详解】（1）由题意得， ，，， 故当时，， 也满足，故对任意的，. （2）因为，由题意可得， 故， 又因为，故. （3）因为，，可得， 由题意得， 因为值被固定，故其可视为常数，记作， 当时，，当时，， 当时，要有取得最大值，则有，即，， ， ， 当时，由于，不存在， 故分母不可能为，即， 有，分析可得当时，， 而， 故在此之前数列一直递增，时，，而 ， 故在此之后数列一直递减，即， 又题干中满足，，故， 因此，当或时，取得最大值 【例8.6.】 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 题型9：杨辉三角 【例9.1.】 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断①，②；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断③，④选项即可. 【详解】对于①，②，根据二项式系数的性质，结合杨辉三角， 可得，成立，故①，②正确； 对于③，④，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为， 第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为， 第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为， 第7条斜线上的数为， 由此归纳得到，第条斜线上的数依次为， 第条斜线上的数依次为， 所以第条斜线上各数字为， 和为，故③错误； 而结合二项式性质得在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减小，故④正确. 【例9.2.】 （多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BC 【难度】0.35 【知识点】分组（并项）法求和、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】对于A选项，找到每行与每行的数之间的关系，对于B选项，运用杨辉三角的性质求解；对于C选项计算出第48行的所有数之和除以7即可；对于D选项，找到此数列的前n项和的式子，再代入n为135即可. 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B，由题意可得，B正确， 对于C，第48行的所有数字之和为，由于能被7整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D，第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故第行到第行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136项， 且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，则D答案错误. 【例9.3.】 (多选)我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 【答案】ABC 【难度】0.55 【知识点】组合数的计算、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】利用组合数的对称性，结合二项式系数的对应关系计算，判断选项A；根据二项式系数的单调性，偶数行最大系数在正中间，判断选项B；利用组合恒等式判断选项C；先确定第3列的数为，再结合组合恒等式计算，判断选项D． 【详解】根据题意，杨辉三角第行对应二项式系数，第行第个数为， 则第行，从左到右第个数： ，故正确; 第行，最大二项式系数在中间位置：行数，中间位置为， 故第个数最大，故B正确； 由组合恒等式，是第行的中间项， 故第行所有数字的平方和等于第行的中间项，故C正确； 由，结合各行第3列的数为，则 ，故D错误． 【例9.4.】 （多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（   ） A． B． C．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个 D．第5行到第10行的所有数字之和为2024 【答案】AC 【难度】0.55 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】A选项，利用组合数的计算性质进行判断；B选项，利用展开计算即可判断；C选项，利用等差数列求和公式求出第n行最后一项对应的项数，然后确定第2023项所在行数及位置；D选项，利用进行计算. 【详解】A选项，由组合数的计算性质知 ，A正确； B选项，，B错误； C选项，第行共有项，从左往右逐行数，第行最后一项对应的项数为，因为，且，所以，从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个，C正确； D选项，第行所有项之和为，所以，第5行到第10行的所有数字之和为，D错误． 故选：AC 【例9.5.】 (多选)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】A：利用组合数的性质求解判断；B：由第行中的数为的展开式的二项式系数判断；C：由第n行的第i个数为代入求解判断；D：根据第20行中的数为的展开式的二项式系数求解判断. 【详解】对于A：， ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第n行的第i个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确． 故选：CD 【例9.6.】 （多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 【答案】BCD 【难度】0.62 【知识点】裂项相消法求和、组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】A选项：先明确杨辉三角第2026行第个数对应组合数,再利用组合数对称性与最大值规律,得出最大,对应行数推得第1014个数为该行最大值,从而判定A错误. B选项：依据杨辉三角第行所有二项式系数之和为的性质,直接代入行数,计算的值即可验证B正确. C选项：运用组合数性质,给原式补充再整体消去1,逐项递推合并组合数,最后算出并作差得到结果,以此判断C正确. D选项：先推出数列通项,对裂项变形,再利用裂项相消求和,消去中间项后化简式子,得到前项和的最简表达式,进而判定D正确. 【详解】A错，因为第行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第行的第个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； D对，由题意知 ，故D正确. 【例9.7.】 （多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】杨辉三角、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】A. 杨辉三角第行对应二项式系数，第6行第3个数为,计算可得，与选项相符，故A正确. B. 根据二项式定理，令中，可得第行所有数和为, 并非，因此B错误. C. 先证明杨辉三角相关结论：第行各数平方和等于.代入，即得平方和为，故C正确. D. 由，将原式化为.由，可得等式成立，故D正确. 【详解】A.杨辉三角规定第行为，第行的数对应二项式系数，第行从左到右第个数对应，计算得，A正确. B.杨辉三角第行（不含第0行）的所有数为. 由二项式定理，令， 取，得，即第行数字之和为，不是，B错误. C.在“杨辉三角”中,第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字, 用数学语言表述为， 证明如下: 对应相乘可得的系数为. 而利用二项式定理可得通项公式为，当时,可得，即的系数为:，所以所以第10行所有数字的平方和等于，C正确. D.第行第个数，则求和式可替换为，令，得，由二项式定理，故，D正确. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 二项式定理 目录 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 4 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 4 题型3：二项展开式中的系数和问题 5 题型4：二项式系数的最值问题 6 题型5：整数和余数问题 7 题型6：近似计算问题问题 7 题型7：证明组合恒等式 8 题型8：二项式定理与数列求和 8 题型9：杨辉三角 10 1. 二项式定理 (1) 二项式定理： (2) 二项展开式： 叫做的二项展开式，展开式中一共有项. (3) 二项系数：各项的系数，叫做二项式系数. (4) 通项：，表示展开式的第项. 证明 二项式定理的证明： 由于是个相乘，每个相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，每一项都是的形式，它是由个中选了，个中选了得到.由于选定之后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从个中选了个的组合数.这样,的展开式中，共有个，将它们合并同类项即可得到二项式定理. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2) 增减性与最大值 ① 时，随着的增大而增大. ②时，随着的增大而减小. ③当是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值. ④当是奇数时，中间的两项与的二项式系数与相等，且同时取得最大值. 方法提炼 求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． (3) 各二项式系数的和 ①. ②. 方法提炼 若，则 (1) 令，得； (2) 令，则，即展开式中的所有项的系数和为. (3) 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. ②当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 3. 杨辉三角 ，的展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 我们称上面的形式为杨辉三角. 观察杨辉三角，可以发现： (1) 每个数都是组合数，第行的第个数是. (2) 杨辉三角具有对称性，在同一行中，与两端等距离的数相等，即. (3) 每行的两端都是数字1，而其余的数都等于它“肩上”两个数字之和，也就是. (4) 第行的个数之和：. (5) 杨辉三角第斜列相应各数构成新的数列，这个数列为阶等差数列，且每一斜列的数满足. (6) 杨辉三角的第行，即第（正整数）行的各个数字均为奇数. 题型1：求二项展开式中的特定项及其系数 【例1.1.】 的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 【例1.2.】 的展开式中的系数是（    ） A． B．8 C． D．32 【例1.3.】 若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【例1.4.】 已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 题型2：多项式展开式中特定项（系数）问题 【例2.1.】 在的展开式中常数项等于_______. 【例2.2.】 在的展开式中的系数为___________. 【例2.3.】 在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 的展开式中，项的系数为___________． 【例2.5.】 的展开式中的系数为__________. 【例2.6.】 的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 题型3：二项展开式中的系数和问题 【例3.1.】 设，则_____． 【例3.2.】 已知，则______． 【例3.3.】 （多选）已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 【例3.4.】 （多选）若，则下列选项是正确的有（    ） A．二项式系数之和为 B．展开式中含的系数为 C．系数之和为 D． 【例3.5.】 （多选）若，则（     ） A． B． C． D． 【例3.6.】 (多选)已知，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知． (1)求； (2)求； (3)求． 题型4：二项式系数的最值问题 【例4.1.】 已知（）. (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【例4.2.】 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为__________． 【例4.3.】 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 【例4.4.】 在二项式展开式中，第1项和第2项的二项式系数比为 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【例4.5.】 在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求系数绝对值最大的项． 【例4.6.】 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， (1)求的值； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)求系数最大的项. 题型5：整数和余数问题 【例5.1.】 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 【例5.2.】 除以8的余数为（     ） A．1 B．2 C．6 D．7 【例5.3.】 若能被整除，则正数的最小值是______． 【例5.4.】 若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被7除所得余数为______． 【例5.5.】 设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【例5.6.】 设，若是大于3的偶数，则除以1225的余数构成的集合是______. 题型6：近似计算问题问题 【例6.1.】 下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【例6.2.】 计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【例6.3.】 试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【例6.4.】 实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 题型7：证明组合恒等式 【例7.1.】 （多选）“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（   ） A． B． C． D． 【例7.2.】 在中，把称为三项式的系数. (1)当时，写出三项式的系数的值； (2)类比的二项式展开式（杨辉三角）的规律，当时，写出三项式的（杨辉三角）数字表，并求出时的； (3)求（用组合数表示）. 【例7.3.】 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中与都是正整数，且． (1)证明：，； (2)化简：； (3)证明：当时，. 【例7.4.】 证明： 题型8：二项式定理与数列求和 【例8.1.】 （多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【例8.2.】 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【例8.3.】 设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 【例8.4.】 已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【例8.5.】 若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列 (1)求数列的通项公式； (2)现固定的值且，求； (3)设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达） 【例8.6.】 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 题型9：杨辉三角 【例9.1.】 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 【例9.2.】 （多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【例9.3.】 (多选)我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 【例9.4.】 （多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（   ） A． B． C．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个 D．第5行到第10行的所有数字之和为2024 【例9.5.】 (多选)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【例9.6.】 （多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 【例9.7.】 （多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $