第七讲 二项式定理四大题型讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七讲 二项式定理四大题型九个角度归纳总结 题型一 求指定项 角度1：求常数项 例1：（1）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． （2）的展开式中常数项为__________． （3）的展开式中的常数项为______. （4）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 角度2：求含某式的项 例2：（1）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 （2）的展开式中含的项为____. 角度3：求已知展开式中某项（系数） 例3：(1)若，则（    ） A． B． C．12 D．192 （2）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 角度4：求二项式系数最大的项 例4：若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________. 角度5：求系数最大的项 例5：(1)在的二项展开式中，系数最大的项是______． (2)在二项式的展开式中，求展开式中系数绝对值最大的项. 题型二 系数和问题 例6：（1）已知 展开式共有11项. (i)求 的值； (ii)求 的值； (iii)求 的值. (iv)求的值. 题型三 二项式定理的应用 角度1:整除与余数问题 例7：（1）19．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 （4）被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 角度2：近似值计算 例8：（1）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 （2）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 题型四 二项式定理与其他知识学科内综合 例9：（1）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 课后练习 1．在的展开式中常数项等于_______. 2．在的展开式中的系数为___________. 3．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 4．若，则__________． 5．的二项展开式中，系数最大的项是第____________项． 6．已知．求： (1)； (2)； (3)． 7．除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 8．如果今天是星期三，那么天后是（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 9．若，则的值被8除的余数为____________． 10．计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 11．设数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)解关于n的不等式：. 1.16 2.6 3.180 4. 5.12和13 6.(1)，(2)，(3) 7.B 8.C 9.1 10.C 11.(1)；(2). 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 二项式定理四大题型九个角度归纳总结 题型一 求指定项 角度1：求常数项 例1：（1）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. （2）的展开式中常数项为__________． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. （3）的展开式中的常数项为______. 【详解】因为， 二项式的展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故的展开式中的常数项为. （4）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 角度2：求含某式的项 例2：（1）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. （2）的展开式中含的项为____. 【详解】方法一:因为， 二项式展开式的通项为， 二项式展开式的通项为， 所以多项式展开式的通项为， 令，得，且， 所以或或或或. ①当时，的展开式中含的项为； ②当时，的展开式中含的项为， ③当时，的展开式中含的项为； ④当时，的展开式中含的项为； ⑤当时，的展开式中含的项为. 综上，得的展开式中含的项为. 方法二：可看成6个相乘， 的展开式中含的项有以下三种情况： ①个多项式取，个多项式取乘积得到，即； ②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； ③个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； 综上所述，的展开式中含的项为. 角度3：求已知展开式中某项（系数） 例3：(1)若，则（    ） A． B． C．12 D．192 【详解】换元设，则，， 令，则的系数为． （2）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 角度4：求二项式系数最大的项 例4：若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________. 【详解】由题意，所以展开式第项为， 令，得，故常数项为. 故答案为：7. 角度5：求系数最大的项 例5：(1)在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. (2)在二项式的展开式中，求展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】设第项系数绝对值最大，则 ，解得，又，. . 即展开式中系数绝对值最大的项是. 题型二 系数和问题 例6：（1）已知 展开式共有11项. (i)求 的值； (ii)求 的值； (iii)求 的值. (iv)求的值. 【答案】(1)0，(2)，(3)0，(4)20 【详解】（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此. （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数，等价于令代入原式： 计算得，因此结果为. （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. （4）对两边分别求导数，左边，右边， 代入，得到. 题型三 二项式定理的应用 角度1:整除与余数问题 例7：（1）19．除以5的余数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二项式展开式计算余数. 【详解】 因为， 所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为， 所以除以5的余数与 除以5的余数相同，即余数为2. （4）被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 展开得， 展开式中前项均含因子，能被整除，仅最后一项， 因此除以的余数为1， 因为被除余，所以，， 所以，所以可以为3. （3）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得除以7的余数，进而推算出对应的选项 【详解】， 因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，， 所以除以7的余数为， 因为今天是星期三，所以再过天，是星期日. 角度2：近似值计算 例8：（1）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. （2）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 题型四 二项式定理与其他知识学科内综合 例9：（1）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式定理，将展开式逆用，可得答案； （2）利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）由，则. （2）， . 课后练习 1．在的展开式中常数项等于_______. 【答案】16 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 2．在的展开式中的系数为___________. 【答案】6 【详解】， 展开式中含的项为 故它的展开式中的系数为6， 故答案为：6 3．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】180 【详解】的展开式中的通项公式 ， 而 分别令，， 解得，或． ∴的展开式中的常数项． 故答案为：180． 4．若，则__________． 【答案】 【详解】令 ，则，为的系数，其中展开式中的系数为，展开式中的系数为，则. 5．的二项展开式中，系数最大的项是第____________项． 【答案】12和13 【分析】写出二项展开式的通项公式和对应系数，根据条件列不等式可得结果. 【详解】的二项展开式的通项公式为，系数为， 由得，， ∴系数最大的项是第12和13项. 故答案为：12和13. 6．已知．求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）因为， 所以令，得，即， 令，得， 所以. （2）因为的二项式展开通项为， 所以，， 故， 令，得，即， 又因为， 所以. （3）令， 则，且， 令，则，且， 所以. 7．除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 【答案】B 【分析】利用二项式定理将展开即可求解. 【详解】 因为是1000的倍数， 且也是1000的倍数， 所以除以1000的余数为1. 8．如果今天是星期三，那么天后是（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出除以7所得余数即可得. 【详解】， 上式除最后一项外都是7的整数倍， 又，此式除最后一项外都是7的整数倍， 所以除以7余数为1，从而除以7余数为1，因此天后是星期四. 9．若，则的值被8除的余数为____________． 【答案】1 【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案． 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被除余1． 10．计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 11．设数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)解关于n的不等式：. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在数列中，，当时，，解得， 当时，，则， 因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， 因此原不等式化为，而函数在上单调递增，又，则， 所以原不等式的解为. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $