第六章 专题微课 计数原理与杨辉三角性质的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

专题微课　计数原理与杨辉三角性质的综合应用 题型（一）　解排列组合问题的常用方法 [例1]　6名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学3名，女同学2名. （1）（捆绑法与插空法）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种? （2）（特殊元素与特殊位置优先原则或正难则反法）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种? （3）（隔板法）现有14个相同的口罩全部发给这5名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种? 解：（1）先把除两位女生和老师这3人外的3人排好，有种排法， 由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法， 最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的3人之间及两端的4个空隙中，有种排法，故排法共有=144（种）. （2）法一　甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的4个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的4个中任选一个有种，其余人全排列，有种不同排法，共有+··=504（种）. 法二　6名师生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，共-2+=504（种）. （3）法一　14个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的9个口罩排成一排有8个间隙，插入4块板子分成5份，每一种分法所得5份给到5个人即可，所以不同的发放方法有=70种. 法二　先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4个相同的口罩分给5位同学，有五类分法： ①四个口罩分给1人，有=5种分法； ②四个口罩分成2，2两份分给2人，有=10种分法； ③四个口罩分成3，1两份分给2人，有=20种分法； ④四个口罩分成2，1，1三份分给3人，有=30种分法； ⑤四个口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有=5种分法； 则共有5+10+20+30+5=70种分法. 　　|思|维|建|模| 解决排列组合应用题的常用方法 （1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后； （3）先取后排，间接排除；（4）集团捆绑，间隔插空； （5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序. 　　[针对训练] 1.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有 （　　） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 解析：选B　此人从A到B，路程最短的走法应走2纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有=10种. 2.[多选]将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是 （　　） A.共有24种放法 B.若每个盒子都有小球，则有24种放法 C.若恰好有一个空盒，则有144种放法 D.若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 解析：选BC　对于A，每个小球有4种放法，所以共有44=256种放法，故A错误. 对于B，若每个盒子都有小球，则有=24种放法，故B正确. 对于C，先从4个小球中任选2个，放入其中1个盒子中，有=24种放法，再在剩下的3个盒子中任选2个，放入剩下的2个小球，有=6种放法，所以共有24×6=144种放法，故C正确. 对于D，先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有=4种放法，再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有4×2=8种放法，故D错误.故选BC. 3.从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为　　　　　.  解析：分为以下几步：（1）选人：先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加.有甲参加时，选法有=4（种）；无甲参加时，选法有=1（种）.（2）安排科目：有甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有=12（种）；无甲参加时，排法有=24（种）.由分步乘法计数原理，不同的参赛方案种数为4×12+1×24=72. 答案：72 题型（二）　排列组合与古典概型相结合 [例2]　（1）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选B　6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列，则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种，又由甲、乙、丙三人的全排列有种，所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种，故所求概率为=. （2）将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有=15种，其中2个黄球不相邻的有=10种，所以所求事件的概率为=.故选C. 　　[针对训练] 4.（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P==，故选D. 5.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，样本点总数n==120，数字3在五位数中位于1和5之间的样本点个数m=·=40，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为==.故选D. 6.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，求甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率. 解：因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，每个同学可以自由选择，所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案.当分配方案为2，2，1时，共有=18种不同的选择方案；当分配方案为3，1，1时，共有=12种不同的选择方案.所以满足要求的不同选择种数为18+12=30.所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为=. 题型（三）　二项式系数与杨辉三角性质相结合　　　 [例3]　（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和.下列结论正确的是 （　　） A.第9行从左到右第7个数是84 B.当n=12时，从第1行起，每一行第2列的数字之和为78 C.第n行的所有数字之和为2n-1 D.记第n行的第i个数为ai，则2i-1ai=3n+1 解析：选AB　对于A，第9行从左到右第7个数是=84，故A正确. 对于B，当n=12时，从第1行起，每一行第2列的数字之和为1+2+…+12==78，故B正确. 对于C，第n行的所有数字之和为2n，故C错误. 对于D，易知ai=，所以2i-1ai=20a1+21a2+22a3+…+2nan+1=20+21+22+…+2n=（1+2）n=3n，故D错误.故选AB. 　　|思|维|建|模| 　　结合所学过的二项式定理的知识，在杨辉三角中横看、斜看、局部看、整体看，发现了一些规律. ①第n行的和为2n，即+++…+=2n. ②第n行所有数字拼在一起为11n（第4行数字为1，4，6，4，1，拼在一起为14 641=114）. ③自腰上的某个1开始平行于腰上的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数（曲棍球定理）+++…+=. ④从第3条斜线中数字的和起，其后各斜线中数字的和是前两条斜线中数字和之和（斐波那契）. 记从第n行的1开始相加，得到的数为F（n），则 F（n）=+++… F（n+1）=+++… F（n+2）=+++… 所以F（n+2）=F（n+1）+F（n）. ⑤+=. 　　[针对训练] 7.杨辉是我国南宋杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画有一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），称为“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”.若用A（m，n）表示三角形数阵中的第m行第n个数，m，n∈N*，则A（100，3）= （　　） A.5 050 B.4 851 C.4 950 D.5 000 解析：选B　由二项展开式中各二项式系数可知，第m行第n个数应为，所以第100行第3个数为=4 851，即A（100，3）=4 851.故选B. 8.[多选]如图的构造思路源于杨辉三角，该图由若干行数字组成，每一行最左与最右的数字均为2，其余的数字都等于其“肩上”的数字之积.记第i行从左往右第j个数为ai，j（i，j∈N*，j≤i），则 （　　） A.a8，2=128 B. ai，2=245 C.第9行的奇数项之积等于偶数项之积 D.存在j，使得log2a63，j∶log2a63，j+1∶log2a63，j+2=3∶4∶5 解析：选ACD　对于A，a8，2表示第8行从左往右第2个数，其指数为=7，所以a8，2=27=128，故A正确. 对于B， ai，2=2i-1=210-2≠245，故B错误. 对于C，第9行的奇数项的指数之和为++++=27，偶数项的指数之和为+++=27，所以第9行的奇数项之积为=2128，偶数项之积为=2128，所以第9行的奇数项之积等于偶数项之积，故C正确. 对于D，假设存在满足题意的j，则=且=（因为a63，j的指数为，所以log2a63，j=），即=且=，化简，得=且=，解得j=27，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $