精品解析：山东省济南市天桥区泺口实验学校2025—2026学年七年级第二学期数学期中考试试题

2025-2026学年第二学期七年级期中测试数学试题 注意事项： 本试题满分为150分，考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置． 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 近年来，中国在芯片制造领域取得了显著的突破，其中华为麒麟芯片的0.000000005米工艺制程更是成为国产芯片制造的骄傲.数字0.000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 竹篮打水 C. 水中捞月 D. 水涨船高 4. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 5. 如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列说法正确的是（ ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 8. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 12. 在中，，则__________． 13. 如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是________． 14. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是____． 15. 如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知：如图，直线与直线分别相交于点E，F，射线平分交于点G，．求证：． 19. 如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 21. 如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ （2）若，，求出绿化面积． 22. 如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加粗画图需要的格点）． （1）在图①中画直线，使； （2）在图②中画直线，使，垂足为； （3）在（2）的条件下，图中共有 条线段的长能表示点到直线的距离．（线段是指能用图中字母表示的线段） 24. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为__________________． （2）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； （3）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） （4）如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 25. 在中，，，直线经过点，于，于． 【发现问题】： 当直线绕点旋转到图1的位置时，易证； （1）当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？ （2）如图3，在锐角中，．分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．则线段和线段长度之和等于______． 【问题探究】： （3）如图4，和均为等腰直角三角形，试比较和的面积的大小，写出理由． 【结论应用】： （4）以四边形的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图5，连接、、、．若四边形的面积为，则图中阴影部分四个三角形的面积和为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期中测试数学试题 注意事项： 本试题满分为150分，考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置． 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 近年来，中国在芯片制造领域取得了显著的突破，其中华为麒麟芯片的0.000000005米工艺制程更是成为国产芯片制造的骄傲.数字0.000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数决定，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键；根据绝对值小于1的科学记数法的表示方法判断即可． 【详解】解： 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法和加法运算，需根据运算法则逐一判断，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 竹篮打水 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【详解】一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 对选项逐一判断： A 、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，符合随机事件定义． B、 竹篮打水一定不会成功，是不可能事件． C 、水中捞月一定不可能发生，是不可能事件． D、 水涨船高一定发生，是必然事件． 4. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 5. 如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：满足边角边的判定定理，能证明，故A不符合题意； 对于选项B：属于边边角的情况，不能证明，故B符合题意； 对应选项C：满足角角边的判定定理，能证明，故C不符合题意； 对应选项D：满足角边角的判定定理，能证明，故D不符合题意． 6. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 7. 如图，下列说法正确的是（ ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 8. 将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角尺的应用，平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 先作图将顶点标注字母，延长交于点，由三角尺的度数可证明，则．根据长方形的性质，，可推断出，作差计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．根据三角形中线的性质分别计算、，即得答案． 【详解】∵点是的中点， ∴是三角形中线， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点，同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分面积． 故选：B． 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 12. 在中，，则__________． 【答案】##100度 【解析】 【详解】解：． 13. 如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的倍且符号不限．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值是或． 故答案为：或． 14. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，延长交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，，由此等量代换即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时， ， ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴ ． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再合并即可； （2）根据多项式乘法法则计算即可； （3）变形后根据平方差公式求解即可； 【小问1详解】 解： ； ． 【小问2详解】 解： ； ． 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 已知：如图，直线与直线分别相交于点E，F，射线平分交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明． 【详解】解：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由可得，进而可证明，因此． 【详解】略 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 【答案】（1）袋中红球的个数有30个． （2）从袋中摸出一个球是白球的概率 （3）需要把40个黄球改为红球. 【解析】 【分析】此题考查的是概率问题，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式即可求出结论； （2）设白球有x个，则黄球有个，列出方程即可求出x，再根据概率公式即可求出结论； （3）设需要把个黄球改为红球，则，再解方程即可. 【小问1详解】 解：根据题意得：（个）． 答：袋中红球的个数有30个． 【小问2详解】 解：设白球有x个，则黄球有个， 根据题意得， 解得． 则从袋中摸出一个球是白球的概率． 【小问3详解】 解：设需要把个黄球改为红球，则 ， 解得：； 答：需要把40个黄球改为红球. 21. 如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ （2）若，，求出绿化面积． 【答案】（1）平方米 （2）1700平方米 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算， （1）根据矩形和正方形的面积公式列式计算即可得到结论； （2）把，代入（1）的结果计算即可得到结论． 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 绿化的面积是： （平方米）， 答：绿化的面积是平方米； 【小问2详解】 当，时， 原式 （平方米）， 答：绿化面积为1700平方米． 22. 如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 【答案】对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质等；由平行线的判定方法得，根据平行线的性质得，再由内错角相等，两直线平行判定，即可得证． 【详解】证明：（对顶角相等），（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为上的格点，在给定的网格中，仅借助直尺按下列要求作图（请加粗画图需要的格点）． （1）在图①中画直线，使； （2）在图②中画直线，使，垂足为； （3）在（2）的条件下，图中共有 条线段的长能表示点到直线的距离．（线段是指能用图中字母表示的线段） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了格点作图、平行线的判定、垂直的定义，点到直线的距离概念，按要求作图是解题的关键． （1）找到格点，使得，则有，即可得到； （2）找到格点，连接交于点F，即可得到． （3）根据点到直线的距离概念，即可得出结论 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求： 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求： 【小问3详解】 解：图中共有3条线段的长能表示点到直线的距离，分别为：, 故答案为：3 24. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为__________________． （2）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张； （3）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数） （4）如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值． 【答案】（1） （2）5，46，9 （3） （4）B类卡片的长b与宽a的比值为4 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式，完全平方公式，整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）计算，求出前的系数，即为类卡片的数量； （4）可得大长方形的长为，宽为，继而得到面积，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，则空白面积占大长方形面积的，而空白面积为，即可建立等式，逆用完全平方公式化简即可． 【小问1详解】 解：由． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9； 【小问3详解】 解：长方形面积：， B类卡片面积为， 所以，需要张， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由题意得，大长方形的面积为， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴空白部分的面积为：， 整理得：， ∴， ∴ ∴， ∴B类卡片的长b与宽a的比值为4． 25. 在中，，，直线经过点，于，于． 【发现问题】： 当直线绕点旋转到图1的位置时，易证； （1）当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？ （2）如图3，在锐角中，．分别以、为直角顶点，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，再分别过点、作边所在直线的垂线，垂足为，．则线段和线段长度之和等于______． 【问题探究】： （3）如图4，和均为等腰直角三角形，试比较和的面积的大小，写出理由． 【结论应用】： （4）以四边形的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图5，连接、、、．若四边形的面积为，则图中阴影部分四个三角形的面积和为______． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由同角的余角相等可得，从而证明，则，，因此； （2）作于点，仿照（1）的步骤可证明和，则，，因此； （3）延长至点，使得，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，则，容易证明，则，由三角形中线的性质可得，因此； （4）连接、、、，由正方形的性质容易判断、、、都是等腰直角三角形，结合（3）的结论可知，，，则，同理，，求和即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接、、、， ∵四边形、四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴、、、都是等腰直角三角形， 由（3）可知，，， ∴， 同理，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $