精品解析：湖南省怀化市九县十校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025年下学期“新课标·新中考”调研监测试题 九年级数学 满分：120分 考试用时：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分．） 1. 关于反比例函数下列说法不正确是 ( ) A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称 C. 函数图象分别位于第一、三象限 D. 当时，随的增大而增大 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A. B. C. D. 3. 抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 4. 把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制出频数分布表： 次数 频数 1 2 4 14 17 13 4 下列说法错误的是（ ） A. 组距是20 B. 该班有55名学生 C. 组数是6 D. 60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的 7. 定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （ ） A 或4 B. C. D. 或1 8. 如图，两条直线m，n被三条平行线（）所截，若，过点A作的垂线，交于点G连接交于点H，若，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分．） 11. 当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为________． 12. 若是方程的一个根，则____． 13. 如图，矩形中，交于点F，，则______． 14. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______． 15. 如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为________． 16. 如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 17. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为_______． 18. 抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是______． 三、解答题（8道题，共66分．） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）当方程有实数根时，求m取值范围； （2）设方程的两个实根分别是，，且满足，求m的值． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，已知的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求一次函数的表达式； （3）连接，，求的面积． 22. 如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． （1）猜想：图1中的值为________； （2）探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析． 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 73 n 56 乙 m 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 分， 分， （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 24. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 26. 综合探究： （1）如图1，在中，，为斜边上的高．求证：； （2）如图2，在中，．用尺规在边上找一点，使得，不写作法，保留作图痕迹，并说明你作图的正确性； （3）在（2）条件下，若，连接，将绕点逆时针旋转度角（）至，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，．当、、三点共线时，设此时直线交与点，请你根据要求在备用图中补充图形，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期“新课标·新中考”调研监测试题 九年级数学 满分：120分 考试用时：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分．） 1. 关于反比例函数下列说法不正确的是 ( ) A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称 C. 函数图象分别位于第一、三象限 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据反比例函数性质，，图象在第二、四象限，关于原点对称，且在每个象限内随增大而增大，依次对各选项进行判断． 【详解】C3选项A: 当时，，则图象经过点，故A正确，不符合题意； 选项B: 反比例函数图象均关于原点对称，故B正确，不符合题意； 选项C: ，图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故C不正确，符合题意； 选项D: ，当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意； 故选C． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 3. 抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根的判别式等知识；抛物线与x轴有一个公共点则判别式为零，且交于负半轴则切点横坐标为负． 【详解】解：∵抛物线与x轴有一个公共点， ∴判别式， ∴，即． 又∵交于负半轴，即切点横坐标， ∴， ∴． 故选：A． 4. 把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割定义，较长部分与全长之比为，先求较长部分，再求较短部分即可． 详解】解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为 ， 较短线段的长为． 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或根据位似图形的概念得到，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与是以O为位似中心的位似图形， ， ∵，， 与的相似比为， 点B的坐标为， 点D的坐标是， 故选：C． 6. 某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制出频数分布表： 次数 频数 1 2 4 14 17 13 4 下列说法错误的是（ ） A. 组距是20 B. 该班有55名学生 C. 组数是6 D. 60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表，掌握组数，组距，频数的概念，是解题的关键．根据频数分布表，直接可得组数和组距，可判断A、C，把所有频数相加，可判断B，用的频数总人数，即可判断D． 【详解】解：组距为每组上限与下限之差，如，，…，均为20，故 A正确，不符合题意； 总频数，故 B正确，不符合题意； 根据表格可知：组数有7个，故C错误，符合题意； 范围内频数，总频数55， ， 即60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的，故 D正确，不符合题意． 故选：C． 7. 定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （ ） A. 或4 B. C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 8. 如图，两条直线m，n被三条平行线（）所截，若，过点A作的垂线，交于点G连接交于点H，若，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行线分线段成比例定理求出，然后证明，过点作于点，再由，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点． 9. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明． 首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用菱形的周长求出，最后根据矩形的性质计算出矩形的周长即可． 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 ， ， ， ， ， ， ， 菱形周长为， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 即每个矩形的周长为． 故选：B． 10. 如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到线段，连结，，作于，通过证明，，及求最小值即可，设，则，可求出，利用勾股定理可写出关于x的二次函数，利用二次函数性质求最值，进而可求出最小值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，作于， ， ∵，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴设，则，． ， ， 当时，有最小值为48， 故的最小值为，即长度的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，利用函数求最值，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分．） 11. 当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线对称轴是关键． 由抛物线（b为常数）经过点求出抛物线的对称轴为直线，根据对称轴公式求出，得到二次函数解析式为，再把代入二次函数解析式即可得到顶点的纵坐标． 【详解】解：∵抛物线（b为常数）经过点． ∴抛物线的对称轴为直线，则，解得， ∴抛物线为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为： 12. 若是方程的一个根，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程 ， 可得：， 即， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，矩形中，交于点F，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，证明，得到，从而，即，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴． 故答案：． 14. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 15. 如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质解题即可． 【详解】解：在与中， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与对应角、的平分线， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 17. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据折叠的性质，易证，结合对应边成比例线段，可得，令，可得出，，，结合，可解出的值，然后求出的长． 【详解】解：∵折叠的性质， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∵， 得， 解得， ∴， 故答案为：． 18. 抛物线（、、为常数，）开口向下且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、函数值、顶点坐标），二次函数与一元二次方程，结合抛物线与轴的交点分析对称轴、函数值的符号是解题的关键． 由抛物线开口向下且过点和（其中），可得，对称轴在轴负半轴，进而得，①通过在两交点之间，结合开口向下的抛物线交点间函数值为正，得；②利用化简，结合对称轴得；③代入化简式子，结合、、，得；④将方程转化为抛物线与直线的交点问题，结合顶点纵坐标公式与的不等号变换，得． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线过点和， ∴对称轴， ∵， ∴， ∴，即对称轴在负半轴， 由和对称轴位置，可得， 对于①，为时的函数值， ∵， ∴， ∴在交点与之间， ∵开口向下的抛物线，在两个交点之间的区域，函数值大于 ∴当时，即； 故①正确； 对于②，∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为，，对称轴为， ∴， ∵， ∴不等式两边乘得， ∴，即； 故②错误； 对于③，∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确； 对于④，方程有两个不相等的实数根，即有两个不等实根， ∵抛物线（、、为常数，）过点，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴顶点纵坐标大于时，方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴； 故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（8道题，共66分．） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的部分，然后化除法为乘法进行化简，然后将m值求出代入计算． 【详解】解： = = = ∵， ∴原式==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值．这道求分式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把分式化简，然后再代入求值． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）当方程有实数根时，求m的取值范围； （2）设方程的两个实根分别是，，且满足，求m的值． 【答案】（1）的取值范围为 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数关系得到，由得到，再解方程，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值． 小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 即m的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据根与系数关系得，， ， ∴， 解得：，， ， 的值为． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，已知的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求一次函数的表达式； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的综合问题，考查了反比例函数中的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、数形结合是解题的关键． （1）根据反比例函数中的几何意义，得出，结合，可解出的值，得出反比例函数的表达式； （2）求出点、点的坐标，即可通过待定系数法得出一次函数表达式； （3）求出一次函数与轴的坐标，将面积进行拆分，再利用公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵且， 解得，反比例函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， ∴， 将代入得， ∴， 设一次函数为，代入、， 得，解得， ∴一次函数表达式为． 【小问3详解】 解：令，解得， ∴一次函数与轴交于， ∴． 22. 如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． （1）猜想：图1中的值为________； （2）探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断值是否保持不变？并说明理由． 【答案】（1） （2）的值保持不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，结合点E在上，点G在上，点F在上，可得，即得； （2）的值保持不变．证明即可求证． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∵点E在上，点G在上， ∴， ∵, ∴， ∴点A、F、C三点共线，点F在上， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：的值保持不变．理由： 四边形与四边形是正方形， ，， ∴， 即， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析． 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 7.3 n 56 乙 m 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 分， 分， （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 【答案】（1），9， （2）（万人） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数的计算和根据方差判断稳定性，用样本估计总体及数据的分析与比较，能根据中位数、众数、平均数对题目进行分析是解题的关键． （1）根据条形统计图的信息求出乙款软件中的信息处理速度得分的平均数，甲款软件中的信息处理速度得分众数，最后观察信息识别准确度得分折线统计图，甲款软件得分相对更集中在平均数附近，乙款软件得分相对更分散，即可得出答案； （2）先从信息识别准确度得分折线统计图中数出抽取的名甲软件使用者中打分超过7分的人数，再计算打分超过7分的人数占抽取人数的比例，最后用某市使用甲款软件的总人数乘以这个比例，即可估计出对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； 【小问1详解】 解：乙款软件中的信息处理速度得分平均数为， ∴分， 由条形统计图可知，甲款软件中的信息处理速度得分众数为9， ∴分， 由折线统计图可知，甲款软件的信息识别准确度得分波动程度更小，则， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：（万人） 即对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为2.5万． 24. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用两组对边分别平行AE∥BC，CE∥AD，证四边形ADCE是平行四边形．利用直角三角形斜边中线性质AD=BD=CD．可证四边形ADCE是菱形． （2）过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．在Rt△ABC中，由30°直角三角形性质可求 BC，利用勾股定理可求AB．进而可求AD，由四边形ADCE是菱形与AE//BC，可求∠EAH∠ABC30°．在Rt△AEH中，由三角函数EH=1，AH． HB ． 在Rt△BEH中，BE． 【详解】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， ∴AD=BD=CD． ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H． 在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2， ∴BC，AB． ∴ADBC2， ∵四边形ADCE是菱形， ∴AEAD2， ∵AE//BC， ∴∠EAH∠ABC30°． 在Rt△AEH中，EH， AH． ∴HBAH＋AB． 在Rt△BEH中， BE． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，30°角直角三角形性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，通过引辅助线构造直角三角形，用勾股定理解决问题是关键． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）线段EF的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式． （1）利用待定系数求函数解析式即可； （2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为． ∵抛物线经过点，则， 解得． ∴抛物线的函数解析式为 【小问2详解】 当时， 设直线的解析式为，把代入， 得 解得： ∴直线的解析式为 设 ， 则 ， 当时， ， ∴当时，有最大值2． 当时，， 当时， 有最大值 26. 综合探究： （1）如图1，在中，，为斜边上的高．求证：； （2）如图2，在中，．用尺规在边上找一点，使得，不写作法，保留作图痕迹，并说明你作图的正确性； （3）在（2）的条件下，若，连接，将绕点逆时针旋转度角（）至，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，．当、、三点共线时，设此时直线交与点，请你根据要求在备用图中补充图形，并求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，勾股定理，作一个角等于已知角，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，然后证明，得到，即可得证； （2）作，可证明，根据相似三角形对应边成比例，即可得证； （3）当、、三点共线时，交于点，作，，先证明，再证明，最后结合勾股定理和面积法求得答案即可． 【详解】（1）证明：为边上的高，即， ， ， ， ， ， ，即． （2）解：如图所示，作，点就是所求； 理由如下：由作图可知， ， ， ，即，故作图正确． （3）解：如图所示，当、、三点共线时，交于点，作，， ， ， ， ， ，， ，， 由旋转可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 不妨设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $