精品解析：湖南省怀化市2025年中考三模数学试题

2025年中考适应性试卷数学（四） 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. -25相反数是( ) A. B. C. -25 D. 25 2. 下列说法正确的是（ ） A. “长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B. 投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C. “从一副完整扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D. “某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 3. 篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 6. 某学校篮球队10名队员的身高如下（单位：cm）：192，190，189，192，185，187，188，185，192，190.这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 192，186 B. 190，189.5 C. 192，189.5 D. 192，190 7. 近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（ ） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为50cm，底面圆的半径为25cm，则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 10. 已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 当时，； B. 当时，； C. 当时，； D. 当时，； 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______. 12. 关于的分式方程的解是，那么的值是_______. 13. 如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为_____. 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______. 15. “三高四新”战略是习近平总书记为推动湖南省经济高质量发展而搫画的重要战略.为了解某社区居民对这一重要战略的知晓情况，从该社区30000名成年居民中随机抽取了2000名居民进行调查.结果显示，有1900名居民知晓.由此，估计该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有______名. 16. 现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出______根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：. 18. 解不等式组：. 19. 如图，在中，是边上的中线，，，，. （1）求的长； （2）求的值. 20. 杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称：DeepSeek）在人工智能兴起的时代大背景下异军突起，引起全球关注.该公司致力于深度探索人工智能技术的无限可能，其开发的模型在多个基准测试中表现出色，甚至在某些领域超越了全球领先的人工智能公司.为了顺应时代发展，迎接人工智能时代的到来，某高校开设了四门人工智能相关课程（A：机器视觉；B：人脸识别；C：智能控制；D：自动规划）.为了解该高校学生对各课程的喜好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图. 请根据统计图回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在平时的智能控制课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀.现决定从这四人中任选两人参加全国机器人智能控制大赛，求恰好同时选中丙、丁两人的概率（用画树状图或列表的方法解答）. 21. 如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. （1）求证：； （2）若，，求的长. 22. 长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员的交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个型头盔和3个型头盔需要315元，购进3个型头盔和4个型头盔需要350元． （1）求，两种型号的头盔单价分别为多少元； （2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进型头盔多少个？ 23. 如图，在中，为对角线，垂直平分，与，分别交于点，. （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积. 24. 如图1，是的直径，点为圆上一动点（不与点，重合），过点的切线交的延长线于点，过点作于点. （1）证明：； （2）令. ①求的最大值； ②若，求的值. （3）如图2，点为上一点（，分别位于直径异侧），，若，求的值. 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，关于的两条不同的抛物线与，若它们都经过轴上的不同两点，，则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线与互为“共截距抛物线”，且经过点，求的函数解析式； （2）若抛物线“共截距抛物线”总不经过点，请求出符合条件的点坐标； （3）设抛物线与它的“共截距抛物线”的图象顶点分别为点，，若抛物线与抛物线的形状相同，且以，，，为顶点的四边形有一个内角为120°，求该四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考适应性试卷数学（四） 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. -25的相反数是( ) A. B. C. -25 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可. 【详解】-25与25只有符号不同， 所以-25的相反数是25， 故选D. 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B. 投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C. “从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D. “某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小，根据事件的分类，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； 、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意； 、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意； 、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意； 故选：． 3. 篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据主视图的定义即可得到答案． 【详解】解：一块篆刻印章的材料，其主视图为： ， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】A. ，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D. ，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 6. 某学校篮球队10名队员的身高如下（单位：cm）：192，190，189，192，185，187，188，185，192，190.这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 192，186 B. 190，189.5 C. 192，189.5 D. 192，190 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据定义进行解答即可． 【详解】解：将数据重新排列为： 185，185，187，188，189，190，190， 192，192，192. ∴众数为192，中位数为， 故选C． 7. 近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意可得打八折后新能源汽车的价格为元，故再优惠元后，新能源汽车的售价为元． 【详解】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元， 再优惠元后，新能源汽车的售价为元 故选：C． 8. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质．根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品.若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为50cm，底面圆的半径为25cm，则该圆锥形传统手工艺术品的侧面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积， 根据圆锥侧面积等于，再代入数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 10. 已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 当时，； B. 当时，； C. 当时，； D. 当时，； 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性比较函数值的大小是关键． 根据反比例函数解析式得到，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，当时，，当时，， 已知，两点在反比例函数的图象上， 当时，，则，故A选项正确，符合题意； 当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意； 当时，，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解集即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案：． 12. 关于分式方程的解是，那么的值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为_____. 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，首先根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”可得，再在中，利用勾股定理列式计算，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，设该圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得 ∴该圆的半径为，， 故答案为：13． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，求出解集即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 15. “三高四新”战略是习近平总书记为推动湖南省经济高质量发展而搫画的重要战略.为了解某社区居民对这一重要战略的知晓情况，从该社区30000名成年居民中随机抽取了2000名居民进行调查.结果显示，有1900名居民知晓.由此，估计该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有______名. 【答案】28500 【解析】 【分析】本题主要考查了样本估计总体的思想， 用总人数乘以知晓的百分比，可得答案． 【详解】解：（名）． 所以该社区全体成年居民中知晓湖南省“三高四新”重要战略的居民有28500名． 故答案为：28500． 16. 现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出______根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，根，摸出第二双，需要根，摸出第三双，需要根，以此类推，摸出第双，需要（根），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，（根）， 摸出第二双，需要（根），摸出第三双，需要（根）， ； 以此类推，摸出第双，需要（根）， ∴闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出筷子中至少有双， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值．依次根据零指数幂的运算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 19. 如图，在中，是边上的中线，，，，. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识． （1）根据勾股定理求出，由得到，即可得到的长； （2）由是边上的中线得到，则，根据勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称：DeepSeek）在人工智能兴起的时代大背景下异军突起，引起全球关注.该公司致力于深度探索人工智能技术的无限可能，其开发的模型在多个基准测试中表现出色，甚至在某些领域超越了全球领先的人工智能公司.为了顺应时代发展，迎接人工智能时代的到来，某高校开设了四门人工智能相关课程（A：机器视觉；B：人脸识别；C：智能控制；D：自动规划）.为了解该高校学生对各课程的喜好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图. 请根据统计图回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在平时的智能控制课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀.现决定从这四人中任选两人参加全国机器人智能控制大赛，求恰好同时选中丙、丁两人的概率（用画树状图或列表的方法解答）. 【答案】（1）200 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合问题，列表格（画树状图）求概率， 对于（1），先根据扇形统计图求出喜欢A类课程的百分比，再结合喜欢A类课程的人数，可得抽取的总人数； 对于（2），用总人数减去其它三类的人数，可得喜欢C类课程的人数，再补全统计图即可； 对于（3），列出表格得出所以可能出现的结果，再确定符合题意的结果，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵喜欢A类课程所对应的圆心角为， ∴喜欢A类课程的学生数占抽取总数的， ∴被调查的学生共有（人）； 故答案为：200； 【小问2详解】 解：喜欢B类课程的学生数为． 补全统计图如下： 【小问3详解】 解： 第二次 第一次 甲 乙 丙 丁 甲 （乙甲） （丙甲） （丁甲） 乙 （甲乙） （丙乙） （丁乙） 丙 （甲丙） （乙丙） （丁丙） 丁 （甲丁） （乙丁） （丙丁） 一共有12种可能出现的结果，符合条件的有2种， 所以恰好同时选丙，丁两人的概率是． 21. 如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. （1）求证：； （2）若，，求的长. 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法. （1）根据即可证明； （2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解. 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ， . 22. 长沙交警正在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，旨在提升摩托车、电动自行车骑乘人员和机动车驾乘人员交通安全防护水平．某超市计划购进一批头盔用于销售．已知购进4个型头盔和3个型头盔需要315元，购进3个型头盔和4个型头盔需要350元． （1）求，两种型号的头盔单价分别为多少元； （2）若该商场准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过4400元，则最多可购进型头盔多少个？ 【答案】（1）购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元 （2）最多可购进B型头盔40个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； 【小问1详解】 解：设购进1个型头盔需要元，购进1个型头盔需要元． 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个型头盔需要30元，购进1个型头盔需要65元； 【小问2详解】 解：设购进型头盔个，则购进型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， ∴的最大值为40， 答：最多可购进B型头盔40个． 23. 如图，在中，为对角线，垂直平分，与，分别交于点，. （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，求菱形的面积，正切， 对于（1），根据平行四边形得性质及线段垂直平分线的性质证明，可知四边形是平行四边形，进而得出答案； 对于（2），根据菱形的性质可知，再根据正切求出，然后根据可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，是的直径，点为圆上一动点（不与点，重合），过点的切线交的延长线于点，过点作于点. （1）证明：； （2）令. ①求的最大值； ②若，求的值. （3）如图2，点为上一点（，分别位于直径异侧），，若，求的值. 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据是的切线，是的直径，得出，，进而证明，即可得证； （2）①根据，可得，得出，设，，则，证明得出，进而根据，即可求解； ②根据，，得出，结合①可得，设，则，解方程得出的值，即可求解． （3）证明得出，设，则，根据得出，设，，进而同（2）可得，得出，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 ∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， 【小问2详解】 解；①∵， ∵ ∴，即， 设，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴，即的最大值为； ②∵， ∴ ∵ ∴ 由①可得，则 ∴ ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ 【小问3详解】 解：如图，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∵， ∴ ∴ ∴ 设，，同（2）可得 ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，关于的两条不同的抛物线与，若它们都经过轴上的不同两点，，则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线与互为“共截距抛物线”，且经过点，求的函数解析式； （2）若抛物线的“共截距抛物线”总不经过点，请求出符合条件的点坐标； （3）设抛物线与它的“共截距抛物线”的图象顶点分别为点，，若抛物线与抛物线的形状相同，且以，，，为顶点的四边形有一个内角为120°，求该四边形的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）求出抛物线与x轴的两个交点的坐标为，则可设的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的两个交点的坐标为，则抛物线与x轴的两个交点的坐标为，根据抛物线最多与x轴只有两个交点，则当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意；抛物线经过点和点，则当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意，据此求解即可； （3）可求出抛物线的解析式为，则， ，即两条抛物线的对称轴重合，由对称性可得，可证明四边形是菱形；据此分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为， ∵抛物线与互为“共截距抛物线”， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为， 可设的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为， ∵抛物线与互为“共截距抛物线”， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标为， ∵抛物线最多与x轴只有两个交点， ∴当在x轴上，且不与点和点重合时，一定满足题意， 当时，或， 当时，，则此时点P的坐标为，不符合题意； 当时，，则此时点P的坐标为，符合题意； ∵抛物线经过点和点， ∴当点P的横坐标为或3时，且不与点和点重合时，一定满足题意， 当时，，则，此时点P的坐标为，符合题意； 当时，，则，此时点P的坐标为，不符合题意； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵抛物线的“共截距抛物线”为抛物线，且抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线是两条不相同的抛物线， ∴，即抛物线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，，即， ∴两条抛物线的对称轴重合， 由对称性可得， 如图所示，连接交于T，则，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 解方程得， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ， ∴； 如图所示，当时，则， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴或， ∴， ∴； 综上所述，以，，，为顶点的四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质与判定，解直角三角形等等，解（2）的关键在于确定什么条件下抛物线不经过点P，解（3）的关键在于证明以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$