3.3　导数与函数的极值、最值 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，依据课标要求构建“概念辨析-极值求解-最值应用”知识体系，通过考点梳理（如极值点判断方法）、方法指导（如求极值步骤）、真题训练（分角度例题及A级至C级练习），帮助学生系统突破分类讨论等难点。 资料以数学抽象、逻辑推理、数学运算为核心素养导向，创新设计“图象分析-分类讨论-实际建模”教学活动，如通过导函数图象判断极值点培养逻辑推理，结合生活优化问题（圆柱形蓄水池体积最值）强化数学应用。分层练习配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

3．3　导数与函数的极值、最值 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． ◎考点考法：高考命题以考查函数的极值、最值的概念，求函数的极值、最值为重点内容，常常需要对参数分类讨论，是每年的必考内容，三种题型都可能出现，题目难度较大． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个． 答案　A 2．连续函数f(x)在[a，b]上有最大值是有极大值的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为函数的最值是整体概念，而函数的极值是局部概念，这两者之间没有必然关系，所以连续函数f(x)在[a，b]上有最大值是有极大值的既不充分也不必要条件，故选D. 答案　D 3．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．1为f(x)的极大值点 B．1为f(x)的极小值点 C．－1为f(x)的极大值点 D．－1为f(x)的极小值点 解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0，所以－1为f(x)的极小值点． 答案　D 4．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B. 答案　B 5．已知函数f(x)＝，则f(x)的极大值为________． 解析　函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，可得x＝e，列表如下， x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(x)的极大值为f(e)＝. 答案　 考点一　利用导数求解函数极值问题　多维探究　发散思维 角度1　根据函数图象判断极值 (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上单调递增 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在上单调递增，在上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 [解析]　由题图知，当x∈[－2，－1]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x) 在[－2，－1] 上单调递减，A项错误；又当x∈时，f′(x)>0恒成立，即f(x) 在上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，B项正确；当x∈时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在上单调递减，x＝3不是f(x)的极值点，C项正确，D项错误．故选BC. [答案]　BC 由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度2　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝aex. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x2－4x的极值． [解析]　(1)由题得f′(x)＝aex(x－2)， 若a>0，由f′(x)<0，得x<2；由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2，＋∞). 若a<0，由f′(x)<0，得x>2；由f′(x)>0，得x<2，所以f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2). (2)当a＝－1时，g(x)＝f(x)＋x2－4x＝－ex(x－3)＋x2－4x， g′(x)＝－ex(x－2)＋2x－4＝－(x－2) (ex－2). 由g′(x)＝0，得x＝2或x＝ln 2. 当x 变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表： x ln 2 (ln 2，2) 2 (2，＋∞) g′(x) － 0 ＋ 0 － g(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以g(x)极小值＝g(ln 2)＝(ln 2)2－6ln 2＋6，g(x)极大值＝g(2)＝e2－4. 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)检查在方程的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 角度3　已知极值(点)求参数 (2025·八省联考)已知函数f(x)＝a ln x＋－x. (1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程； (2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． [解析]　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝ln x－－x，则f′(x)＝＋－1， 设切点为(x0，f(x0))，则f′(x0)＝2，则＋－1＝2，则3x－x0－2＝0，则x0＝1或x0＝－(舍)，又f(1)＝－3，故切线方程为y＝2(x－1)－3， 即y＝2x－5. (2)由f′(x)＝－－1，又f′(1)＝0， 则a－b－1＝0，则a＝b＋1， 则f′(x)＝－－1＝. ①若b>1，令f′(x)>0，则1<x<b；令f′(x)<0，则x>b或0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，(1，b)上单调递增，(b，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极小值，符合题意； ②若b＝1，则f′(x)＝－≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极小值； ③若0<b<1，令f′(x)>0，则b<x<1；令f′(x)<0，则0<x<b或x>1，所以f(x)在(0，b)上单调递减，(b，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值，与题意不符； ④若b≤0，令f′(x)>0，则0<x<1；令f′(x)<0，则x>1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值，与题意不符； 综上可得，b的取值范围为(1，＋∞). 1．已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．已知极值点的个数求参数范围 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，可转化为y＝f′(x)在(a，b)内有变号零点，若y＝f′(x)易求其零点x0，则a<x0<b；若y＝f′(x)不易求零点，则转化为函数f′(x)在(a，b)内有变号零点问题，利用函数与方程思想求解． 1．若函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值，则实数a的取值范围是________． 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)， ∴f′(x)＝＋x－a， ∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值， ∴y＝f′(x)有变号零点． 令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x. 设g(x)＝＋x，则g(x)在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2， ∴a＞2，即实数a的取值范围是(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解析　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 则当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减 故f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)f′(x)＝－a＝(x＞0). 当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a＞0时，若x∈，则f′(x)＞0， 若x∈，则f′(x)＜0， 故函数f(x)在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点； 当a＞0时，函数f(x)有一个极大值点，即x＝. 考点二　利用导数求函数的最值　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是________，最小值是________； (2)若函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为________． [解析]　(1)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上有最大值，则即－2≤a＜1. [答案]　(1)π　0　(2)[－2，1) 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 (1)若所给的问题中不含有参数，则只需求f′(x)，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的问题中含有参数，则需求f′(x)，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1．函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 解析　f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得x＞3，令f′(x)＜0，解得2≤x＜3，故f(x)在[2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(3)＝. 答案　C 2．已知函数f(x)＝x2－ln x在区间(其中a＞0)上存在最小值，则实数a的取值范围为________． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f(x)在区间(其中 a＞0)上存在最小值，所以解得＜a＜1. 答案　 考点三　生活中的优化问题　重难考点　师生共研 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为R米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． [解析]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). 由题意得r＞0，又由h＞0可得r＜5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)因为V(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2). 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5米，h＝8米时，该蓄水池的体积最大． 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 [提醒]　在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解． 高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t). (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益(单位：元)Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？ 解析　(1)当2≤t＜10时，减少的人数与(10－t)2成正比，设比例系数为k， 所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t＜10， 当t＝5时，P(5)＝950， 即1200－k(10－5)2＝950， 解得k＝10， 所以P(t)＝ (2)由题意可得 Q(t)＝ 所以＝ 令H(t)＝，当2≤t＜10时，H′(t)＝－4t＋＝， 令H′(t)＝0，得t＝8. 当2≤t＜8时，H′(t)＞0， 当8＜t＜10时，H′(t)＜0， 所以H(t)的最大值为H(8)＝316. 当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋＜0， 所以H(t)的最大值为H(10)＝295.2， 因为295.2＜316，所以当t＝8时，单位时间的净收益最大，为316元． 综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间的净收益最大，为316元． A级　基础过关 1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，当x＝1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0. 答案　A 2．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝(　　) A．－4 B． C．0 D．2 解析　f′(x)＝，当－＜x＜时，f′(x)＞0；当x＜－或x＞时，f′(x)＜0.故f(x)＝的极大值点与极小值点分别为，－，则a＝，b＝－，所以a＋b＝0. 答案　C 3．当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B. 答案　B 4．若函数f(x)＝6a ln x＋x2－(a＋6)x(x＞0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，6)∪(6，＋∞) B．(0，6)∪(6，＋∞) C．{6} D．(0，＋∞) 解析　f′(x)＝＋x－(a＋6)＝(x＞0)，因为函数f(x)有2个极值点，所以f′(x)＝0有2个不同的正实数根，所以a＞0且a≠6，即实数a的取值范围是(0，6)∪(6，＋∞).故选B. 答案　B 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝x＋(x∈R)的最小值为1 B．f(x)＝(x＞0)的最小值为1 C．f(x)＝x－ln x(x＞0)的最小值为1 D．f(x)＝xe(x＞0)的最小值为1 解析　f(x)＝x＋(x∈R)，f′(x)＝1－＝，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(0)＝1，A正确；f(x)＝(x＞0)，f′(x)＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，B错误；f(x)＝x－ln x(x＞0)，f′(x)＝1－＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝1，C正确；f(x)＝xe(x＞0)，f′(x)＝e＋xe·＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，D错误；故选AC. 答案　AC 6．已知x＝0是f(x)＝(x－a)ex＋1的极值点，则a＝________． 解析　因为f(x)＝(x－a)ex＋1， 所以f′(x)＝(x－a＋1)ex， 因为x＝0是函数f(x)的极值点， 则f′(0)＝0，得1－a＝0，解得a＝1， 当a＝1时，f′(x)＝xex， 当x＜0时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减， 当x＞0时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增， 所以x＝0是函数f(x)的极值点，故a＝1. 答案　1 7．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为________． 解析　函数f(x)＝(x＋a)ex的定义域为R，f′(x)＝(x＋a＋1)ex.所以当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为f(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a-1＝－e2，解得a＝－3. 答案　－3 8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶． 解析　设全程运输成本为y元，由题意，得 y＝＝240，v＞0， y′＝240. 令y′＝0，得v＝80. 当v＞80时，y′＞0；当0＜v＜80时，y′＜0. 所以函数y＝在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增， 所以当v＝80时，全程运输成本最小． 答案　80 9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解析　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.经检验，a＝0，b＝－3符合题意． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x， 则g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)， 所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2. 即函数g(x)的极值点只可能是1或－2， 当x＜－2时，g′(x)＜0， 当－2＜x＜1时，g′(x)＞0， 当x＞1时，g′(x)＞0， 所以－2是g(x)的极值点，1不是g(x)的极值点． 综上所述，g(x)的极值点为－2. B级　能力提升 10．(多选)已知函数f(x)＝x ln x－aex＋b有两个极值点，且f(1)＝－1，则(　　) A．ae＋b＝－1 B．ab＝e2a－a C．0＜a＜ D．－≤ab＜0 解析　由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)， 因为f(1)＝－1，所以－ae＋b＝－1，A错误； 则b＝ae－1，所以ab＝ea2－a，B错误； 由函数f(x)有两个极值点， 可知f′(x)＝1＋ln x－aex＝0， 即a＝有两个实数根． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 令g′(x)＞0得0＜x＜1，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0得x＞1，此时g(x)单调递减， 所以g(x)在x＝1处取得极大值， 即极大值为g(1)＝， 又x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，g(x)→0， 可得g(x)的图象如图所示， 欲使y＝a与y＝g(x)图象有两个交点，只需0＜a＜，C正确； 因为ab＝ea2－a，当a∈时，由二次函数的性质，得－≤ab＜0，D正确． 答案　CD 11．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞). ①当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x， 所以f′(x)＝2－＝， 当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0＜x≤时， f(x)＝1－2x－2ln x在上单调递减， 所以f(x)min＝f＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1. 综上，f(x)min＝1. 答案　1 12．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－ax2－4ax＋a. (1)当a＝1时，求f(x)的极大值； (2)若函数f(x)的极小值大于零，求a的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋(x＋1)ex－2ax－4a＝(x＋2)(ex－2a). 当a＝1时，f′(x)＝(x＋2)(ex－2)， 则函数f(x)在(－∞，－2)和(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，ln 2)上单调递减， 所以f(x)极大值＝f(－2)＝5－e-2. (2)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x＋2)(ex－2a)， ①当a≤0时，函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)极小值＝f(－2)＝－e-2＋5a<0， 所以a≤0不合题意． ②当a>0时， 令f′(x)＝0解得x＝－2或x＝ln (2a)， ⅰ.当－2<ln (2a)，即a>时， 函数f(x)在(－∞，－2)和(ln (2a)，＋∞)上单调递增，在(－2，ln (2a))上单调递减． 则f(x)极小值＝f(ln 2a)＝－a[ln (2a)]2－2a ln (2a)＋3a>0， 解得－3<ln (2a)<1， 结合－2<ln (2a)，有－2<ln (2a)<1， 解得<a<. ⅱ.当－2＝ln (2a)时，f′(x)≥0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，没有极值． ⅲ.当－2>ln (2a)，即0<a<时， 函数f(x)在(－∞，ln (2a))和(－2，＋∞)上单调递增， 在(ln (2a)，－2)上单调递减． 则f(x)极小值＝f(－2)＝－e-2＋5a>0， 解得a>， 结合0<a<，所以<a<. 综上所述，a的取值范围是∪. C级　拓广探索 13．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝(x＋2)(x2＋x＋m)，若函数f(x)有一极大值点为－2，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，＋∞) B．(－4，－2] C．(－∞，－2] D．(－∞，－2) 解析　由题意f′(x)＝(x＋2)(x2＋x＋m)，令g(x)＝x2＋x＋m， 若g(x)≥0恒成立，易知当x∈(－∞，－2)时，f′(x)≤0，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)≥0， 所以－2是f(x)的极小值点，不合题意，故g(x)有两个不同零点． 设g(x)的两个零点分别为x1，x2(x1<x2)，则f′(x)＝(x－x1)(x＋2)(x－x2)， 结合三次函数的图象与性质知x1<－2<x2， 在(－∞，x1)，(－2，x2)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(x1，－2)，(x2，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，－2是f(x)的极大值点，符合题意， 此时需g(－2)＝2＋m<0，得m<－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2).故选D. 答案　D 14．若函数g(x)＝在区间[t，＋∞)上存在极值，则实数t的最大值为________． 解析　函数g(x)＝的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝＝. 令f(x)＝x＋1－x ln x，f′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x) 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝2>0， 又因为当x∈(0，1)时，ln x<0，－x ln x>0， 则f(x)＝x＋1－x ln x>0， f(3)＝4－3ln 3＝ln e4－ln 27>0， f(4)＝5－4ln 4＝ln e5－ln 256<ln 243－ln 256<0， 所以存在唯一的x0∈，使得f＝0， 所以当x∈时，f(x)>0，当x∈时，f(x)<0， 所以函数g(x) 在上单调递增，在上单调递减． 所以要使函数g(x)＝在区间[t，＋∞)上存在极值， 则实数t的最大值为3. 答案　3 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3　导数与函数的极值、最值 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． ◎考点考法：高考命题以考查函数的极值、最值的概念，求函数的极值、最值为重点内容，常常需要对参数分类讨论，是每年的必考内容，三种题型都可能出现，题目难度较大． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．连续函数f(x)在[a，b]上有最大值是有极大值的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．1为f(x)的极大值点 B．1为f(x)的极小值点 C．－1为f(x)的极大值点 D．－1为f(x)的极小值点 4．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 5．已知函数f(x)＝，则f(x)的极大值为________． 考点一　利用导数求解函数极值问题　多维探究　发散思维 角度1　根据函数图象判断极值 (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上单调递增 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在上单调递增，在上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度2　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝aex. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x2－4x的极值． 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)检查在方程的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 角度3　已知极值(点)求参数 已知函数f(x)＝a ln x＋－x. (1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程； (2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． 1．已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．已知极值点的个数求参数范围 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，可转化为y＝f′(x)在(a，b)内有变号零点，若y＝f′(x)易求其零点x0，则a<x0<b；若y＝f′(x)不易求零点，则转化为函数f′(x)在(a，b)内有变号零点问题，利用函数与方程思想求解． 1．若函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值，则实数a的取值范围是________． 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 考点二　利用导数求函数的最值　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是________，最小值是________； (2)若函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为________． 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 (1)若所给的问题中不含有参数，则只需求f′(x)，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的问题中含有参数，则需求f′(x)，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1．函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 2．已知函数f(x)＝x2－ln x在区间(其中a＞0)上存在最小值，则实数a的取值范围为________． 考点三　生活中的优化问题　重难考点　师生共研 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为R米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 [提醒]　在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解． 高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t). (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益(单位：元)Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？ A级　基础过关 1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝(　　) A．－4 B． C．0 D．2 3．当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 4．若函数f(x)＝6a ln x＋x2－(a＋6)x(x＞0)有2个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，6)∪(6，＋∞) B．(0，6)∪(6，＋∞) C．{6} D．(0，＋∞) 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝x＋(x∈R)的最小值为1 B．f(x)＝(x＞0)的最小值为1 C．f(x)＝x－ln x(x＞0)的最小值为1 D．f(x)＝xe(x＞0)的最小值为1 6．已知x＝0是f(x)＝(x－a)ex＋1的极值点，则a＝________． 7．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为________． 8．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶． 9．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． B级　能力提升 10．(多选)已知函数f(x)＝x ln x－aex＋b有两个极值点，且f(1)＝－1，则(　　) A．ae＋b＝－1 B．ab＝e2a－a C．0＜a＜ D．－≤ab＜0 11．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 12．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－ax2－4ax＋a. (1)当a＝1时，求f(x)的极大值； (2)若函数f(x)的极小值大于零，求a的取值范围． C级　拓广探索 13．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝(x＋2)(x2＋x＋m)，若函数f(x)有一极大值点为－2，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，＋∞) B．(－4，－2] C．(－∞，－2] D．(－∞，－2) 14．若函数g(x)＝在区间[t，＋∞)上存在极值，则实数t的最大值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $