导数与函数的极值、最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，依据考试要求构建知识体系，从极值的必要充分条件到最值的求解步骤，通过表格梳理条件对比、思考问题辨析易错点，结合基础自测、命题点分类讲解及课时作业，形成考点梳理、方法指导、真题训练的系统复习流程。 讲义突出数学思维与模型观念培养，如通过极值点左右导数符号对比表格发展推理能力，设置含参函数极值点个数讨论等例题训练数学表达。分层作业设计配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

导数与函数的极值、最值 【考试要求】 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法. 【必备知识】 1.函数的极值 条件 f’(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧_____，右侧______. 在点x＝x0附近的左侧_______，右侧_______. 图象 极值 f(x0)为极____值 f(x0)为极___值 极值点 x0为极____值点 x0为极____值点 思考1：极大值一定大于极小值吗？ 思考2：若(x0)=0 ,则 x0一定是极值点吗? 注意点：(1)极值点不是点!! ! (2)f ′(x0)＝0是x0为f (x)的极值点的必要不充分条件!!! 2.函数的最值 (1) 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2) 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)上的_____； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中____的一个是最大值，______的一个是最小值． 【常用结论】 1. 若函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 2. 若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3. 若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 基础自测　 1. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的( ) A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值. B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点. C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点. D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减. 2. 已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex(e为自然对数的底数)，则函数f(x)的极小值为(　　) A． B．e C．e2 D．1 3. 已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝　　　　． 命题点1 求已知函数的极值、最值 例1. 函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的极小值、极大值分别为(　　) A． －， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 例2. 函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 命题点2 求含参函数的极值、最值 例3. 已知函数f (x)＝－ln x(a∈R)． (1)当时，求f (x)的极值. (2)讨论f(x)的极值点个数. (3) 若的最小值不小于0，求的取值范围. (4)求f (x)在上的最大值g(a)． 训练1：已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 命题点3　已知极值(点)求参数 例4. (1)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为_______. (2)若函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，2) C．[0，2) D．(0，2) 课时作业 函数的极值与最值 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．f(x)有极大值f (－2) B．f(x)有极小值f (－2) C．f(x)有极大值f (1) D．f(x)有极小值f (1) 2.当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 3.设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 4.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝3x，且f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为(　　) A．1－ln 2 B．2(1－ln 2) C.(2－ln 2) D.(1－ln 2) 5.（多选）对于函数f(x)＝x3－3x，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增 C．f(x)在x＝－1处取得极大值2 D．f(x)的值域是[－2,2] 6.（多选）若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ） A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 7.若x＝1是函数y＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋3a－3)x的极小值点，则实数a的值为　　　　． 8.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件. 9.若函数f(x)＝ex－ax2－a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝________. 10.已知函数f(x)＝excos x－x.求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 11.已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 课时作业48答案 A 2.B 3.D 4.D 5.ABC 6.BCD 7. 2 8. 3 6. 函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即， 10.因为f(x)＝，所，设 当x∈时，，所以h(x)在区间上单调递减， 所以对任意x∈有 所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为，最小值为f＝－. 11.函数，， 当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值， ，令，得， 当时，，当时，， 函数的增区间为，减区间为， ，， 令，，在上单调递减， （1），等价于， 的取值范围是． 10．(多选题)设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝，则下列结论正确的是(　　) A．xf(x)在(1，＋∞)上单调递增 B．xf(x)在(1，＋∞)上单调递减 C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值 D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值 AD　解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，可得xf′(x)＋f(x)＝ln x，x＞0，所以[xf(x)]′＝．令g(x)＝xf(x)，x＞0，则g′(x)＝，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，所以函数g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极小值g(1)＝f(1)＝．故选AD. 11．(多选题)(2024·漳州模拟)已知函数f(x)＝(x2－3)ex，现给出下列结论，其中正确的是(　　) A．函数f(x)有极小值，但无最小值 B．函数f(x)有极大值，但无最大值 C．若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b＞6e-3 D．若方程f(x)＝b恰有三个不同的实数根，则0＜b＜6e-3 BD　解析：由题意得f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex ＝0，解得x＝1或x＝－3，则当x＜－3或x＞1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上单调递增；当－3＜x＜1时，f′(x)＜0，即函数f(x)在(－3，1)上单调递减．所以函数f(x)在x＝－3处取得极大值f(－3)＝6e-3，在x＝1处取得极小值f(1)＝－2e.又x趋向于－∞时，f(x)趋向于0；x→＋∞时，f(x)趋向于＋∞.作出函数f(x)＝(x2－3)·ex的大致图象如图所示． 因此f(x)有极小值f(1)，也有最小值f(1)，有极大值f(－3)，但无最大值．若方程f(x)＝b恰有一个实数根，则b＞6e-3或b＝－2e；若方程f(x)＝b恰有三个不同的实数根，则0＜b＜6e-3.故选BD. 学案答案 例1：【答案】D 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 例2【详解】函数的定义域为， 当时，， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 因为函数在上都单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以当时， 所以函数的最小值为. 训练1：【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）由函数，则其定义域为， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，当时，无最小值； 则当时，在单调递减，在单调递增， 则， 由题意可得：，由，则，解得. 例3(1)极大值 ， （3) (4) 例4（1）【详解】， 由题意得，即，解得或6， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故函数在处有极小值，满足要求， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故函数在处有极大值，不合要求， 故常数的值为2. 例4（2）【详解】∵， ∴， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的正根， 故，解得. 故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $