专题08分式与分式方程期末复习讲义(26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题08分式与分式方程期未复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握分式的概念， 能准确 1.具备判断分式字母取值 1基础题型：稳稳拿下选择、 区分整式与分式，掌握分式 范围的能力，能快速解决分 填空，吃透分式取值范围、 有意义、无意义、值为0的 式有无意义类题型。 性质判断、简单运算题型， 判定条件。 2.能灵活利用分式基本性 减少低级失误。 2.熟记分式的基本性质，熟 质进行约分和通分，提升代 2.计算题型：熟练攻克分式 练掌握分式的约分、通分的 数式变形能力。 化简、混合运算、化简求值， 原理与操作方法。 3.能熟练完成分式混合运 做到步骤规范、答案准确， 3.掌握分式加、减、乘、除、 算、分式化简求值，规范书 杜绝计算丢分。 乘方的运算法则，明确混合 写解题步骤。 3.解方程题型：掌握解分式 运算的运算顺序。 4.能够精准求解分式方 方程标准格式，牢记必考步 4.了解最简分式的定义，掌 程，并能独立分析增根、无 骤必须验根，会区分方程有 握分式化简的基本要求。 解两类易混淆题型。 解、增根、无解。 5.理解分式方程的定义，掌 5.能从实际应用题中提取 4.大题题型：熟练掌握分式 握分式方程的解题步骤，明 等量关系，列出分式方程解方程应用题，能准确找等量 白验根的必要性及增根产 决工程、行程、销售类应用 关系，规避设元、列式、忘 生的原因。 题。 检验等扣分点。 6.掌握分式方程解决实际问 6.培养整体代入、分类讨论 5.攻克高频易错点：分母不 题的基本模型与解题流 的数学思想，灵活解决分式 为0、符号错误、通分错误、 程。 综合题型。 忘记验根、混淆增根与无解。 ☆ 题型梳理 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减汞除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 试卷第1页，共3页 题型21.列份式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际利问题 ☆ 知识梳理 ■■=■意■京=意=意 知识点01：分式相关概念 1.分式定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子鲁叫做分式。 A叫做分子，B叫做分母； 区分关键：分母含字母是分式，分母不含字母是整式。 2.分式的取值条件（选择、填空高频考点） 情况 满足条件 解题要点 分式有意义 分母B≠0 只限制分母，与分子无关 分式无意义 分母B=0 令分母等于0求解 分子A=0且分母B≠ 分式的值为0 两步缺一不可，必须检验分母 0 3.分式的分类补充 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，计算最终结果要求化为最简分式。 有理式：整式和分式统称为有理式。 知识点02：分式的基本性质 1.性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式：鲁=能，鲁=能(A、B、C为整式，C≠0) 2.符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： -a e 试卷第1页，共3页 3.两大应用：约分&通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 把分子分母的公因式约 1.分子、分母因式分解2.找出公因式分式基本 约分 去， 化为最简分式 3.约去公因式 性质 把几个异分母分式化为同 1.确定最简公分母2.分子分母同乘 分式基本 通分 分母分式 对应整式 性质 补充：最简公分母确定方法 (1)系数：取各分母系数的最小公倍数： (2)字母/因式：取所有出现的字母（或多项式因式）； (3)指数：相同字母取最高次幂 知识点03：分式的四则运算与乘方 1.运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 (b≠0，d≠0) ÷音=号·=是b≠0.c≠0d 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ≠0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=ban(b≠0，n为正整数》 同分母加减 分母不变，分子相加减 是士= (c≠0) ad+bc ā=bd (b≠0，d≠0) 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 2.混合运算顺序 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减： (2)有括号先算括号内： (3)全程优先因式分解，能约分先约分，简化计算； (④)最终结果必须化为最简分式或整式。 试卷第1页，共3页 3.常考题型 分式化简、化简求值（整体代入思想为核心考法）。 知识点04：分式方程 1.定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分 式方程分母含未知数。 2.解分式方程标准步骤 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 得到整式方程的解 检验 整式方程的解是 否 整式方程的解 整式方程的解不是 是否使最简公 分式方程的解 分式方程的解 分母为零 3.增根与无解（难点、填空/解答压轴） 概念 含义 产生原因 整式方程的根，但不是原分式方程去分母时，人为扩大未知数取值范 增根 的根 围，根使原分母为0 分式方程两种情况：①有增根；②转化后 结合参数题型常考 无解 的整式方程本身无解 4.分式方程解应用题 解题步骤 审题意→设未知数→找等量关系→列分式方程→解方程→双重检验 (检验方程+检验实际意义)→作答。 5.常见等量关系模板 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量；甲夏季十乙效事=合作效率 试卷第1页，共3页 行程问题： =时间：顺水/逆水速度差异列方程 路程 销售问题： 总价 单所=数量 知识点05：.本章高频易错点 易错类型 错误表现 正确做法 分式值为0 只令分子为0，忽略分母不为0分子=0且分母≠0，双重判断 判断 符号出错 分子、分母变号规则混用 牢记：三处符号，改两处值不变 通分/约分不因式分解直接计算，找错公分 运算前先对分子分母因式分解 失误 母/公因式 运算顺序混 先乘方、再乘除、最后加减，有 加减乘除、乘方顺序颠倒 乱 括号先算括号 解分式方程 必须代入最简公分母检验，步骤 解完美式方程直接写答案 漏验根 不能省 混淆增根与 认为有增根就等同于无解（忽略 分类讨论，区分两种无解情形 无解 整式方程无解》 应用题漏检 既要验方程，也要结合生活实际 只解方程，不验证实际意义 验 判断取值 ☆ 题型精析 年带票=第常带”得部带称年 题型01.分式的销判断 1.下列各式中，属于分式的是() A月 B.3 C. D.x+y x+1 π 2.在1、3y、3 2x4πxy 中分式的个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.下列各式：3，a+b a, 72 +2,(m3,，1， mx-1’ 8x中，分式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试卷第1页，共3页 题型02.分式规律探究 4发一定规列尚致：号治8号测第个黄为( A.2n n2 2n B. D.n2 n2 (n-1)2 C.m+1 (n+1)2 5.已知4，=-1(x0且x本-1)，4， 1 1 1 1-4,1-4 1-an- ,则a2026的值 为 6烈聚一列数：8引台，按你发理的起排计算这列藏约第8个数为() A.36 49 37 B. 50 C64 63 D.4 5 7.计算： 12×22+3,22×32+532×42+7 20202×20212+4041 1Px2+22×32+ 32×42 20202×20212 题型03.按要求构造分式 8。请构造一个问题情境，说出分式100的意义 9.某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐 人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆() A.m+1辆 c.m+1辆 n n D.(日辆 10.如图，运动场两端的半圆形跑道外径为R,内径为r,中间为直跑道，整个跑道总面积 为S,试用含S,R,r的式子表示直跑道的长a. 题型04.分式的求值 则的值为() 11.若0=4 a 4.3 B.3 C.4 1 D.4 者子测的值为 12.若=1 x+y 试卷第1页，共3页 13.已知a-上=1，则+1的值为《). a a-a A.1 B.2 C.3 D.4 14.已知2x+y-5=0,求代数 4(x-2列+6y的值. 4x2-y2 题型05.分式有无意义与值为委综合 15.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -2 -1 0 y 无意义 A. x+2 B.x+2 x-1 x+1 c周 n阁 16.已知分式x+n (m,n为常数)满足表格中的信息，则ab的积是() 2x-m x的取值 -4 4 a 12 分式的 无意 1 0 b 值 义 3 A.-m-3n B.6 C.5 D.2 17.当x 时， 1 分式2x+3有意义：当x 时，分式-没有意义. 4x+1 18. 若代数式-刘的值为0，则满足要求的所有x的值为 x-1 19. 已知分式2x+a 满足表格中的信息，其中a,b,c均为常数. x-b x的取值 -1 分式2+“的值 无意义 0 J x-b (I)原分式中b的值是】 (2)求出a,c的值. 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 20.当代数式-3的值为正时，x的取值范围是() 2x-5 5 A.x B.x≥3 D.x>3 -2 C.r>5 试卷第1页，共3页 L若二表示一个整数，则整数x可取的值的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 22.若分式的值大于0，则x满足的条件是 23.定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式 为和谐分式.例如：+！-1+2=x-+2=1+2， x-1x-1x-1'x-1 x一·则是“和谐分式”，若分 x-1 式2+1）x+1 ÷ 的值为整数，则整数x的值为一· 137 24.若a+ I16,其中a,b,c是不为零的自然数，则a+b+c=( b+ 题型07.分式变形的渊判断与条件 25,下列分式从左到右的变形正确的是() A.2b+1 B.bbd C a-b=-1 3 9b3 aa+l 2a 2ac b-a D. a a 26.已知号-a≠61，则g+的值为() 32 a-b 1 A:5 B.2 C.3 D.5 27.若四条均不相等线段的长度分别为m,n,e,f,且满足mn=ef,则下列各式不正 确的是（) A.m :n=e:f B.m f=e :n C. f=n D. mtee m-f e-n f+nn 28.若=9(a+b≠0，c+d≠0)，则下列等式不一定成立的是() A.atb=ctd B.a-b=c-d C.a=c D.a+m。c+m b d b d a+b d+c b+m d+m 题型08.分式值变化判断 29.把分式，中的，y都节大3倍，那么分式的值《) A.扩大3倍 B.不变 C.缩小 D.缩小3倍 0,分式。-则后 31.分式-x+y中字母x,y的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变 +x 的是() 试卷第1页，共3页 ①② -x+y 个↑ ③④ A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 题型09.约分与最简分式 32.下列分式中是最简分式的是() A:+1 2x B会 C.x-1 x2-1 D 33.下列分式是最简分式的是() A.I-m B.-y x-y C.2+y 62 m-1 3xy D.31m 34.约分：-4x+4 3x2-12 x-2)x2-5x-6 35.把分式 (x+1)x2-5x+6】 化为最简分式为 36.判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式. ①r-1 ②x+1 ③2-2y+y2 x2-1 ④x2-36 x2+1 x2-xy 2x+12 题型10.分式乘除运算 37.计算： ①2.a a26 (2)a2 a ÷ a2-6a+9a-3 38.计算： 3y÷6 10x5r 39.计算： ①arg2 by2bx: v.a b22bx 试卷第1页，共3页 题型11.分式乘方及混合运算 40.计算： 别 1.计第：362 42.计算： 器 1 (2)a-42a-4 43.计算： (②a+4ab+462 3b2 a-b 0-6a-6 题型12.分式加减 44.计算： x2-1 +x+3 x2+2x+1x+1 45.计算： (0)2 -x+y; x+y (2)+2 x2-2x x-4x2-4r+4 (3)m-1+2m-62m+2 m2-9m+3 46.计算： (①-c+b+c aa ()c ③)1+1 x+1-x (4) t-1. 47.定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： 试卷第1页，共3页 非到-3，则分式名与为阶分式 x+11+x1+x ①)填空：分式10x与215互为阶分式， 3+2x3+2x ②已知分式2x+3与4互为4阶分式，求分式4， 2x+3 3)已知分式B=2x+1 -2、C 产+2x-8'且B与5C互为2阶分式.求代数式M(用含x M 的式子表示)· 题型13.通分与最简公分母 48.分式，1与30的最简公分母是 2a+2ba+b 49.把、-1 2 3a+6’a2+2a+1’a2+3a+2 日一通分后，各分式的分子之和为 50,分式一二。的限简公分每是 ，通分为 51.通分： (1)x+y, 2y2 x-y -5b2a (②3f'4c'56c 题型14.分式加减混合运算 3 a2-1 52.化简： a+2(a+2)2 53.计算题： +5-2斗-2x- 2ab b2 2)b2+6-a202 54.计算： .a2-a; (2)x+2 x-1 x2-2xx2-4x+41 55.阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式 试卷第1页，共3页 为真分式.例如，分式L。,2是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这 x+2'x3-5x 样的分式为假分式.例如，分式，兰是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一 x-1’x-1 个真分式的和例如，+1-x-+2-1+2 x-1x-1 x-1 (①)下列式子中，属于真分式的是（填序号）； @@号，0号@2 ②将假分式2一化为一个整式与一个真分式的和 ③)已知整数x使分式2+5x-20的值为整数，则满足条件的整数x= x-3 题型15.分式加减的实际应用 56.某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元.那么同样用500元钱 购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？ 57.谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次 购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同. 我每次买20元 我每次买2kg 的大米 大米 刘奶奶张奶奶 (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元kg,第二次大米的价格为5元kg: 两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为m元kg,第二次购买大米的价格为元/kg,且m≠n,则 两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 58.【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b ;若a-b=0,则a=b. 【学以致用】 (1)若a≠1，比较a与2a-1的大小，并说明理由： 试卷第1页，共3页 1 2)若x为全体实数，比较2十2x+3与224x+15 的大小 2m-4 m m-1 甲 m-2 乙 【拓展延伸】 (3)如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为m-)米， (2m-4)米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，(m-2)米，其中m>2.两块试验田 的小麦都收获了500千克. ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 题型16.分式加减柔除混合运算 1 59.化简： 1）.a-4 a+3a2-92a-6 60.计算： a2+a-a-1 a3+a2 -a-1≤0 a-1 'a2-2a+1 -1,其中a是不等式组 的整数解. 3(a+1)≤a+7 61.按要求完成下列计算： 0第：1-7列- (2)化简： a+1 a2-6a+9 62.小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： 2 a+1 a2-2a+1a-1 )小亮假设被遮住的式子是，一，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求」 值(a取值需使原式有意义)； 2a (②若这道题的答案是。一，则祓遮住的式子应是什么？ 题型17.分式化简与最值 63.化简求值：m2-9 m+3m+3'其中m=5. 试卷第1页，共3页 a+b 64.已知a-b-4=0且a+b≠0，求代数式202+ab-ba+2b的值. 65.先化简，再求值： 66.已知a,b为非负实数，a+b-2Wab=(Va+(°-2a万=(a-万≥0， a+b≥2√ab,当且仅当“a=b”时，等号成立. 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用. 例：已知x>0,求代数式x+4最小值. 解：令a=b=4,则由a+b≥2Vab,得x+4≥2 4 =4. 当且仅当x=4,即x=2时，代数式取到最小值，最小值为4， 根据以上材料解答下列问题： )已知x>0,则当x=时，代数式x+?取到最小值，最小值为 (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为200m的长方形的生物园，其中生物园的一面AD 靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边AB的长为x米，当这个矩形 生物园的宽AB为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ 墙 A D 生物园 B (同已知>0，则自变量取何值时，代数式？一2x+4取到最大价？最大位为多少： 6先化商，再案：2-训4小-4+引卧+红》兰，关种 题型18.解分式方程 68.解方程： 2+1= x-3x+3 69.解分式方程： 试卷第1页，共3页 01+3=-x x-2 2-x 4+x+2=-1. ②)g-11-x 70.解方程，3+2=1- 4-x x-4 〔10 3 =-5 2x+y x-2y 71.解方程组 15 2 =-1 2x+y x-2y 题型19.由分式方程解的情况求值 72.方程r-)-1=,1有塔根，则a的值是 x-2 2-x 及已知关于x的分式方程之 一的解是非负数，则n的取值范围是() 2- A.n≥-9且n≠-3 B.n2-9 C.n≤-9且n≠-12 D.n≤-9 74.已知关于x的分式方程2x-a-L=3. x-11-x (1)当a=1时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求a的值， 75.已知关于x的分式方程2m,=-m+2. x-33-x (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是_； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围. 题型20.分式方程无解问题 6.已知关于x的方程2+1=+口无解，则实数a的值等于 x+1'x-1x2-1 77.若关于x的分式方程 6=x+3k 1x-可无解，则k的值为() A.-3 B.-3或-5 C.1或-3 D.1或-5 78.完成下列题目 ()a为何值时，关于x的分式方程x+1_2a-3 的解为x=0. x+2a+5 ②当m为何值时，关于x的方程2，+m3,有塔根 x-2x2-4x+2 题型21.列分式方程 试卷第1页，共3页 79.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把 份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时 间比规定时间少3天.己知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则 可列方程为 80.小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000 元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x,根据题意，为 求解x,以下列出的方程中正确的是() A.10000(1+x)2=5110+5250; B.100001+x+10000(1+2x=5110+5250; 5110+5250 C. (1+2x2 =10000: 51105250 D. =10000 1+x(1+x2 81.随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许 多便利.厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器 人的1.5倍.若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟， 求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 题型22.分式方程行程问题 82.A市与甲、乙两地的距离分别为400km和350km,从A市开往甲地列车的速度比从A 市开往乙地列车的速度快15km/h,结果从A市到甲、乙两地所需时间相同.求从A市开往 甲、乙两地列车的速度。 83.甲、乙两地的铁路里程为650km,从甲地乘“G”字头列车A和“D”字头列车B都可直达 乙地.已知列车A的平均速度为列车B的2倍，且列车A的行驶时间比列车B少2.5h.求 列车B的平均速度 84.贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号” 和“花江号”，在100m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号” 的速度快1m/s,当“天眼号到达终点时，“花江号”离终点还差10m. (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10m,那么“天眼号”从原 试卷第1页，共3页 起点向后退10m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时 出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由. 题型23.分式方程工程问题 85.某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每 天各自的采茶量均恒定，己知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的1.5倍.合作社计划让 两队各自独立采茶3000千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采 茶多少千克？ 86.某公司计划购买A、B两种型号的AI机器人搬运材料.已知A型AI机器人比B型AI机 器人每小时多搬运30kg材料，A型AI机器人搬运900kg所用时间与B型AI机器人搬运 600kg所用时间相等， (1)求A、B两种型号的AI机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购A、B两种型号的A机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须 购买，它们同时工作1小时恰好搬运720kg材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能 的方案。 87.为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工 程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务.计划现由甲工程队单独施工6个月后， 剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比 乙工程队每月的计划的施工量多200米， (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工 任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务 的总施工费用是420万元，己知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费 用是乙工程队每月施工费用的氵倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 题型24.分式方程经济问题 88.随着人们节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行 车商家带来商机.某自行车行经营的一种自行车去年销售总额为80000元.预计今年该种自 行车的销售单价比去年降低200元，销售数量是去年的2倍，销售总额能达到128000元.求 去年该种自行车的销售单价， 89.某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地.现计划购买甲、乙两种劳动工 试卷第1页，共3页 具.己知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用 500元购买乙种工具的数量相等 (1)求甲、乙两种工具的单价， (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍。 求购买这批劳动工具所需的最低费用， 90.某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A,B两种型号的钢笔 作为奖品.己知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且 A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍. (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：16x 480-175+25,乙：480=1.6×175 y-25 ①甲所列方程中的x表示 ,乙所列方程中的y表示 ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答： (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢 笔多少支？ 题型25.分式方程和差倍分问题 91.全球已进入数字化时代！互联网是Wb.22D),数字空间是Web.3(3D).已知人们目前 能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有A设备和B设备两种，其中B设备的单价是A设备 ,用39万元购买A设备比用28万元购买B设各能够多购买3件.求4，B两种穿 单价的14 戴设备的单价分别是多少万元 92.第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.本届全运会吉祥物A型号“喜洋 洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少 28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A, B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 93.2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机 试卷第1页，共3页 器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点.己知一台 小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千 克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时. ()求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (②)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于 920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要 多少台小番茄采摘机器人？ 题型26.其他实际问题 94.京藏高速某高速收费站，人工收费通道和ETC通道同时开放.已知ETC通道每小时通 过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，ETC通道比人工收费通道少用3 小时，求人工收费通道和ETC通道每小时分别通过多少辆车. 95.将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕.一种方法是原 图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图 示例)· 马年大吉 马年大吉 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片， 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片.裁剪后的面 积S,=x(x-4)平方厘米： 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片.扩展后的面积 S2=(x+6)x平方厘米。 己知方案二比方案一的面积多出S=S2-S,平方厘米.以下是计算面积差S的解答过程： 解：S=(x+6)x-x(x-4) =x2+6x-（x2-4x..第一步 =x2+6x-x2-4x..第二步 试卷第1页，共3页 =2X第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (②)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等）， 求原正方形图片边长的值 96.某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18 辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备 ()已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下， 用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车.求每辆大 容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆.本次 研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍.请计算租车的单日最低 总费用 试卷第1页，共3页 专题08分式与分式方程期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的判定条件。 2.熟记分式的基本性质，熟练掌握分式的约分、通分的原理与操作方法。 3.掌握分式加、减、乘、除、乘方的运算法则，明确混合运算的运算顺序。 4.了解最简分式的定义，掌握分式化简的基本要求。 5.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解题步骤，明白验根的必要性及增根产生的原因。 6.掌握分式方程解决实际问题的基本模型与解题流程。 1.具备判断分式字母取值范围的能力，能快速解决分式有无意义类题型。 2.能灵活利用分式基本性质进行约分和通分，提升代数式变形能力。 3.能熟练完成分式混合运算、分式化简求值，规范书写解题步骤。 4.能够精准求解分式方程，并能独立分析增根、无解两类易混淆题型。 5.能从实际应用题中提取等量关系，列出分式方程解决工程、行程、销售类应用题。 6.培养整体代入、分类讨论的数学思想，灵活解决分式综合题型。 1.基础题型：稳稳拿下选择、填空，吃透分式取值范围、性质判断、简单运算题型，减少低级失误。 2.计算题型：熟练攻克分式化简、混合运算、化简求值，做到步骤规范、答案准确，杜绝计算丢分。 3.解方程题型：掌握解分式方程标准格式，牢记必考步骤必须验根，会区分方程有解、增根、无解。 4.大题题型：熟练掌握分式方程应用题，能准确找等量关系，规避设元、列式、忘检验等扣分点。 5.攻克高频易错点：分母不为 0、符号错误、通分错误、忘记验根、混淆增根与无解。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.解分式方程 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 知识点01:分式相关概念 1. 分式定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 A叫做分子，B叫做分母； 区分关键：分母含字母是分式，分母不含字母是整式。 2. 分式的取值条件（选择、填空高频考点） 情况 满足条件 解题要点 分式有意义 分母 B 0 只限制分母，与分子无关 分式无意义 分母 B = 0 令分母等于 0 求解 分式的值为 0 分子 A=0且 分母 B 0 两步缺一不可，必须检验分母 3. 分式的分类补充 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，计算最终结果要求化为最简分式。 有理式：整式和分式统称为有理式。 知识点02:分式的基本性质 1. 性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： 3. 两大应用：约分 & 通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 补充：最简公分母确定方法 (1)系数：取各分母系数的最小公倍数； (2)字母 / 因式：取所有出现的字母（或多项式因式）； (3)指数：相同字母取最高次幂。 知识点03:分式的四则运算与乘方 1. 运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 （b0,d0） 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ==(b.c d0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=bnan（b0，n为正整数） 同分母加减 分母不变，分子相加减 ±（c0） 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 ±=（b0,d0） 2. 混合运算顺序 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)有括号先算括号内； (3)全程优先因式分解，能约分先约分，简化计算； (4)最终结果必须化为最简分式或整式。 3. 常考题型 分式化简、化简求值（整体代入思想为核心考法）。 知识点04:分式方程 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 2. 解分式方程标准步骤 3. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4. 分式方程解应用题 解题步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 双重检验（检验方程 + 检验实际意义）→ 作答。 5.常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点05:.本章高频易错点 易错类型 错误表现 正确做法 分式值为 0 判断 只令分子为 0，忽略分母不为 0 分子 = 0 且 分母≠0，双重判断 符号出错 分子、分母变号规则混用 牢记：三处符号，改两处值不变 通分 / 约分失误 不因式分解直接计算，找错公分母 / 公因式 运算前先对分子分母因式分解 运算顺序混乱 加减乘除、乘方顺序颠倒 先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号 解分式方程漏验根 解完美式方程直接写答案 必须代入最简公分母检验，步骤不能省 混淆增根与无解 认为有增根就等同于无解（忽略整式方程无解） 分类讨论，区分两种无解情形 应用题漏检验 只解方程，不验证实际意义 既要验方程，也要结合生活实际判断取值 题型01.分式的判断 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2．在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，判断分式的核心是看分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：在，分式有、，共2个． 3．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 题型02.分式规律探究 4．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 5．已知（且），，，…，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 6．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 7．计算：． 【答案】 【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的化简，实数的运算，找到规律是解题的关键；由题意得各项规律，并化简得，由此即可计算出结果． 【详解】解：因为， 所以原式 ． 题型03.按要求构造分式 8．请构造一个问题情境，说出分式的意义________． 【答案】小明用100元购买了a个苹果，那么每个苹果的价格是元（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的意义，分式表示100除以a，在实际问题中常表示单位量，如单价或速度等，这里选择价格情境以体现分式的意义． 【详解】解：构造的问题情境中，100元是总价，a是购买苹果的数量，因此分式表示每个苹果的价格，即单价．因此分式的意义可以表示为小明用100元购买了a个苹果，那么每个苹果的价格是元． 故答案为：小明用100元购买了a个苹果，那么每个苹果的价格是元．（答案不唯一） 9．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 10．如图，运动场两端的半圆形跑道外径为R，内径为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，试用含S，R，r的式子表示直跑道的长a． 【答案】 【分析】求出跑道圆环的面积即可求出两个直跑道的面积，再利用矩形面积公式即可求出答案． 【详解】解：跑道圆环的面积是， ∴两个直跑道的面积是， ． 【点睛】本题考查了列代数式和矩形、圆的面积的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力． 题型04.分式的求值 11．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据已知比例关系表示出a和b，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 12．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，，据此求出，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：C． 14．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 题型05.分式有无意义与值为零综合 15．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 16．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的积是（） x的取值 4 a 12 分式的值 无意义 0 b A． B．6 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等，利用分式无意义时分母为零求出，分式值为零时分子为零求出，再根据分式值求和，最后计算． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴，即． ∴分式为． ∵当时，分式值为， ∴． 交叉相乘得，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴． ∴． 故选：C． 17．当x__________时，分式有意义；当x__________时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 18．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 19．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分式的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 20．当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 根据题意列出，即可求出x的取值范围． 【详解】解：当代数式的值为正时，， 不等式组解集为：， 故选：D． 21．若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由表示一个整数且为整数，则或，进而求出的值． 【详解】解：表示一个整数且是整数， 或． 当，则或2． 当，则或． 综上，整数的取值有、0、2、3，共4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 22．若分式的值大于0，则x满足的条件是_____． 【答案】 【分析】根据分子分母同号，则分式大于0，据此列不等即可解答． 【详解】解：分式的值大于0，分子分母同号， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，根据分子分母同号列出不等式是解题关键． 23．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值． 首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， ∵为整数， ∴为整数， 要使的值为整数，则为分子1的约数， ∴或， 解得或 ， 当 时原分式分母为零，无意义， ∴舍去， 当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数， 验证：当 时，，为整数，满足题意， ∴整数的值为． 故答案为：． 24．若，其中a，b，c是不为零的自然数，则( )． 【答案】10 【分析】本题考查了求式子的值，将原等式化为，，即可求解． 【详解】解：， ， a，b，c是不为零的自然数， ， ， 整理得：， ∴，即， ， ，， ， 故答案为：． 题型07.分式变形的判断与条件 25．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 26．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 27．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 题型08.分式值变化判断 29．把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍 【答案】B 【详解】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为 ∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变． 30．分式，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键． 根据分式的性质，可把原式化为，整理可得，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 31．分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 题型09.约分与最简分式 32．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 33．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 34．约分： ______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 35．把分式化为最简分式为________． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 36．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 题型10.分式乘除运算 37．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 38．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型11.分式乘方及混合运算 40．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，分式的乘法运算，幂的运算法则，掌握各类运算法则是解题关键． 分别对两个分式进行乘方运算，再将结果相乘并化简，最终得到化简后的结果． 【详解】解：原式 ． 41．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先乘方，将除法变为乘法约分计算即可； （2）先通分，再计算即可． 【详解】（1）解：原式=     =． （2）解：原式= =     =． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 题型12.分式加减 44．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，先因式分解后约分，再计算和差，最后再化简即可． 【详解】解：根据分式有意义的性质得到，， ． 45．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 47．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.通分与最简公分母 48．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【详解】解：， 分式与的最简公分母是． 49．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 50．分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 51．通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 题型14.分式加减混合运算 52．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 53．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的定义、立方根的定义、绝对值的性质，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解． （1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简． （2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果． 【详解】（1）解： （2） ． 55．阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 题型15.分式加减的实际应用 56．某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元．那么同样用500元钱购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，通过计算原来和现在用500元能购买的盒数之差，得到多买的盒数．利用分式的通分和化简求解． 【详解】解：原来每盒售价p元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买（盒） 答：现在可比原来多买盒． 57．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 58．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 题型16.分式加减乘除混合运算 59．化简：． 【答案】 【分析】先通分括号内，再把除法化为乘法，然后运算化简，即可作答． 【详解】解： ． 60．计算：，其中a是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】先对原式进行分式化简，再解不等式组得到a的整数解，根据分式有意义的条件确定a的有效取值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 对于 解第一个不等式得 解第二个不等式得 因此不等式组的解集为，整数解为 分式有意义要求分母不为0， 因此，，， 即，， 因此仅能取 将代入化简后的式子得 ． 61．按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算绝对值、括号内的、负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先通分算括号内的减法，再算分式的除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 62．小亮在作业本上看到一个化简题，但不小心被墨水遮住了原式的一部分： (1)小亮假设被遮住的式子是，请代入原式，先化简，再选取一个你喜欢的值代入求值（取值需使原式有意义）； (2)若这道题的答案是，则被遮住的式子应是什么？ 【答案】(1)，当时，原式（答案不唯一） (2) 【分析】（1）由题意得，然后按分式的运算顺序化简，再选取一个使原分式有意义的a的值代入化简后的式子进行计算即可解答； （2）由题意得，然后按分式的运算顺序计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵，， ∴，， ∴选取，原式； （2）解：由题意得： ， ． 题型17.分式化简与最值 63．化简求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 64．已知且，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先把分式化简，可得：原式，根据，可得：，把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 65．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式，再根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则求出的值，代入化简结果计算即可得到最终值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 66．已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为6，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得代数式解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原代数式变形为，由取最小值，即可确定取何值时， 取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40， ∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 67．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、分式的混合运算以及代数式求值．解题的关键是对原式进行化简，化简时需分别对整式部分和分式部分进行运算，整式部分运用多项式乘法法则，分式部分先对括号内的式子进行通分，再将除法转化成乘法进行约分． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 题型18.解分式方程 68．解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母得， 展开并整理得， ，即 解得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为 ． 69．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得： 把代入分母，得， 因此是增根，原分式方程无解． （2）解： 去分母得， 解得 当时，最简公分母， 故原方程的解为． 70．解方程． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程；根据分式方程的解法：去分母，解整式方程，检验三步解题即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得： 化简得： 解得： 经检验，是原分式方程的增根，所以原方程无解． 71．解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程组，设，则原方程组化为，解出，进而求出，再求出结论即可． 【详解】解：设，则原方程组化为： ， 解得：， ， ， 解得：． 题型19.由分式方程解的情况求值 72．方程有增根，则的值是________． 【答案】0 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根的值，再代入整式方程计算即可得到的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得： ， 整理得 ， 原分式方程有增根， ， 解得， 把代入得： 解得． 73．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 74．已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的解以及分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是分母为零的根，注意检查即可． （1）将代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验是否是增根； （2）因为方程有增根，所以，去分母、去括号、移项、合并同类项得，即，即，得． 【详解】（1）解：（1）当时，原方程化为， 去分母得：， 化简得： 解这个整式方程，得， 检验：把代入得：， 所以，是原方程的解； （2）原方程去分母，得， 移项合并同类项，得， 因为该方程有增根， 所以增根为， 所以， 所以． 75．已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【详解】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 题型20.分式方程无解问题 76．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 77．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 78．完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 题型21.列分式方程 79．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 80．小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】理财产品的收益率x为年化收益率，返还金额为未来值，需折现为现值后与本金相等． 本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现， ∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元， ∴ ， 故选：D． 81．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 题型22.分式方程行程问题 82．A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【答案】 从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为 【分析】本题利用“时间=路程÷速度”的关系，设出开往甲地的列车速度，再表示出开往乙地的速度，根据两地所需时间相等列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解: 设从A市开往甲地的列车速度为km/h，则从A市开往乙地的列车速度为， 根据题意得， ， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ， 答：从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为． 83．甲、乙两地的铁路里程为，从甲地乘“”字头列车和“”字头列车都可直达乙地．已知列车的平均速度为列车的2倍，且列车的行驶时间比列车少．求列车的平均速度． 【答案】 【分析】设列车B的平均速度为，则列车A的平均速度为，利用“时间路程速度”，结合A车行驶时间比B车少的等量关系列方程，求解检验后即可得到B车的平均速度； 【详解】解：设列车B的平均速度为，则列车A的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：列车B的平均速度为． 84．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 题型23.分式方程工程问题 85．某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【答案】千克 【分析】设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得． 【详解】解：设乙队每天采茶千克，则， 方程两边同乘以，得， 化简得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：乙队每天采茶千克． 86．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 87．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】(1)甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 (2)50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米， 由题意得，， 解得， ， 则甲工程队计划每月施工280米，乙工程队计划每月施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 题型24.分式方程经济问题 88．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车去年销售总额为80000元．预计今年该种自行车的销售单价比去年降低200元，销售数量是去年的2倍，销售总额能达到128000元．求去年该种自行车的销售单价． 【答案】1000元 【分析】设去年该自行车的销售单价为x元，根据“销售数量是去年的2倍”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设去年该自行车的销售单价为x元． 根据题意，得． 解得，． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：去年该自行车的销售单价为1000元． 89．某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 【答案】(1) 甲种工具的单价是元，乙种工具的单价是元 (2) 购买这批劳动工具所需的最低费用是元 【分析】 （1）设甲种工具的单价为元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设购买甲种工具件，总费用为元，列出总费用关于的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的限制条件列不等式求出的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用. 【详解】（1） 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是元，依题意得 ，解得； 经检验：是原分式方程的解； 当时，； 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元； （2）解：设购买甲种工具件，则购买乙种工具件，所需总费用为元，依题意得 ，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）； 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元. 90．某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍． (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． ①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______． ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答； (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？ 【答案】(1)①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析； (2)最多可购进A型钢笔93支． 【分析】（1）①根据题意判断即可； ②任选其一，根据解分式方程的步骤求解即可； （2）设购进A型钢笔支，则购进B型钢笔支，根据题意列不等式求出的取值范围，可知最多可购进A型钢笔的数量． 【详解】（1）解：①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量 ②选甲同学的方法． ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． 选乙同学的方法．． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元），（元）． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． （2）解：设购进A型钢笔m支，则购进B型钢笔支． 根据题意，得． 解得． ∵m为正整数， ∴m最大为93． 答：最多可购进A型钢笔93支． 题型25.分式方程和差倍分问题 91．全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元． 【答案】A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设设备的单价是万元，则设备的单价是万元，根据用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件建立分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设设备的单价是万元，则设备的单价是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根． （万元）， 所以，A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元． 92．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 93．2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． (1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 【答案】(1)20千克 (2)3台 【分析】（1）设熟练采摘工人每小时采摘量为未知数，根据采摘600千克的时间差列分式方程求解即可； （2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，根据4小时总采摘量不低于920千克列一元一次不等式，结合数量为正整数求出最小值即可． 【详解】（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄； （2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名， 由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克）， 根据题意列不等式得 ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为3． 答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人． 题型26.其他实际问题 94．京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 95．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 96．某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备． (1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？ (2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用． 【答案】(1)每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 (2)最低费用为48000元 【分析】（1）可设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，根据等量关系：租用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车，列出方程组求解即可； （2）设租设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去） 经检验，是原方程的解且符合题意， 则每辆大容量巴士载客量为： 答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人 （2）解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则： 解得： 又有： 随的增大而减小， 当时， （元） 答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $