专题01三角形内角和定理期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解三角形内角和定理推导原理，熟练掌握平行线辅助线法等主流证明思路。 2.熟记定理、推论及外角两大性质，区分定理、推论、逆命题的适用条件。 3.吃透直角三角形两锐角互余、三角形按角分类等衍生知识点，理清知识关联。 1.灵活运用定理、外角性质，完成单一图形、组合图形的角度计算。 2.能结合角平分线、高线、平行线等知识进行几何逻辑推理，构建解题思路。 3.规范几何语言，严谨书写证明过程，掌握辅助线添加技巧。 4.学会拆解复杂几何图形，综合运用多个知识点分析问题。 1.选择、填空题型：快速口算角度，规避概念易错点，保证答题速度与正确率。 2.基础解答题：精准套用定理，步骤完整、格式规范，拿满基础分值。 3.压轴综合题：能结合全等、特殊三角形等考点联立解题，突破难题得分点。 4.辨析易混题型，区分内角、外角相关题型解法，减少审题与解题失误。 题型01.三角形内角和定理的证明 题型02与平行线有关的内角和问题 题型03.与角平分线有关的内角和问题 题型04.三角形内角和定理的应用 题型05.三角形折叠中的角度问题 题型06.三角形的外角定义及性质. 题型07.多边形的概念及分类 题型08.正多边形概念辨析 题型09.多边形截角后的边数问题 题型10.多边形的周长 题型11.多边形对角线的条数问题 题型12.对角线分成三角形个数问题 题型13.多边形内角和问题 题型14.正多边形的内角问题 题型15.多(少)算一个角问题 题型16.多边形截角后的内角和问题. 题型17.正多边形的外角问题 题型19.多边形外角和的实际应用 题型19..多边形内角和与外角和综合 题型20.平面镶嵌 知识点01:基础概念 1. 三角形内角 三角形内部相邻两边组成的角，一个三角形共有3 个内角。 2. 三角形外角 定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角。 数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 知识点02.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点03:多边形的有关概念 1.多边形定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按照组成线段的条数,分为：三角形.四边形.五边形……n边形n3，n为正整数）。 2.多边形各组成部分（课本标配名词） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3.正多边形 定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 4.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 凹多边形：存在至少一条边，使多边形分布在直线两侧，本章节不作考查。 知识点04:多边形内角和与外角和 n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 知识点05:平面镶嵌 1.平面镶嵌定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌，也简称密铺。 2.核心条件（密铺本质） 拼接点（公共顶点）处，所有图形内角相加的和恰好等于 360 3.关键：围绕同一个顶点，各内角和 = 360，这是判断能否密铺的唯一依据。 题型01.三角形内角和定理的证明 1．如图，在四边形中，，点是上一点，且满足，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据平行线的性质可得，即，推出，再根据三角形的内角和定理可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ，即， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 2．如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 【答案】50 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，，垂足为F．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】推导出，，得到，继而证明∴，则，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为． 题型02与平行线有关的内角和问题 5．如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 6．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边a与b是否平行，甲、乙两位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于两人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙都可行 B．只有甲可行 C．只有乙可行 D．甲、乙都不可行 【答案】B 【分析】根据折叠的性质，平行线的判定定理分别对两位同学的方案判断即可． 【详解】解：甲：如图， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 故甲可行； 乙：如图， 利用三角形内角和定理得，， 由折叠性质得，， 则， 故乙不可行． 7．如图，经过的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合平行线的性质，利用“”证明即可； （2）利用三角形内角和为求出，再结合（1）的结论即可作答． 【详解】（1）证明：点为的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），， ． ， ． 8．如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据平行线的性质，可得，再结合三角形内角和以及三角形外角和，以及平分，由等量代换即可得到数量关系； （3）根据已知条件可得，由此可得，再由角的比例关系设，根据三角形内角和为求解x的值，由此可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴． 题型03.与角平分线有关的内角和问题. 9．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，利用平行线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求解 【详解】解：平分， 设与交于点， ∴． 10．如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 【答案】 【分析】连接、延长至H，设，．利用得同旁内角互补，结合内角和，推导出；再在中用内角和定理，联立消去，最终求得． 【详解】解：连接，延长至H，如图， ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴， ∵； ， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 在中，， 又∵；， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】解题核心是构造辅助线连接并延长，通过设元法表示角平分线分出的角，利用平行线性质和三角形内角和建立方程，通过联立消元消去未知角，直接得到与的数量关系． 12．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 题型04.三角形内角和定理的应用 13．如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 【答案】 【分析】由题意可得，设，则，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的“分割线”， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 14．如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理求出然后利用平行线的性质求出，则利用三角形内角和定理即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 15．如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先确定已知的等边条件，再由是角平分线得到一组等角，结合公共边，用全等判定定理证明三角形全等； （2）先利用三角形内角和为，计算出的度数；再根据角平分线的性质，求出的度数，最后在中，再次使用三角形内角和公式计算的度数． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∵ 平分， ∴， 在中， ∴ ． 16．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 题型05.三角形折叠中的角度问题 17．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 18．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．（1）如图1，已知在中，，沿着剪去后变成四边形，求的值； （2）如图2，把沿着折成如图2所示的形状，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，解题的关键是灵活运用三角形外角与内角的关系． （1）利用三角形外角的性质，将和分别用与三角形内角表示，再结合三角形内角和为计算的值； （2）通过连接，利用三角形外角的性质，将和用与相关的角表示，进而得出它们的关系． 【详解】解：（1）∵， ； （2），理由如下： 连接，由翻折可知：， ． 题型06.三角形的外角定义及性质. 20．如图，已知，，，则___________度． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 21．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 22．如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 题型07.多边形的概念及分类 24．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的判断，根据四边形的定义解答即可．即由四条线段首位顺次相接，就组成了四边形． 【详解】解：图B是四边形，符合题意． 故选：B． 25．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 26．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 题型08.正多边形概念辨析 27．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 28．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 29．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 题型09.多边形截角后的边数问题 30．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 31．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 32．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： . 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 题型10.多边形的周长 33．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 34．中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形，结合正八边形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，同理，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 如图，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形， ∴， ∵正八边形的边长为20， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理， ∴， ∴制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为． 35．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解：， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 题型11.多边形对角线的条数问题 36．一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发所做的对角线的条数为（   ） A．8条 B．9条 C．10条 D．11条 【答案】B 【分析】先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：设此多边形的边数为n，由题意得： ， 解得， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：（条）， 故选：B． 【点睛】此题考查了多边形的内角公式，关键是掌握多边形的内角和公式． 37．已知一个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的对角线的条数是（） A．54 B．12 C．10 D．56 【答案】A 【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 这个多边形的对角线的条数 故选：A． 【点睛】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决． 38．一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 【答案】 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 39．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【答案】边数为18，内角和为，对角线条数为135 【分析】先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数． 【详解】解：多边形每个内角为， 每个外角为 任意多边形的外角和为， 多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得内角和为， 十八边形对角线条数为， 答：这个多边形的边数为18，内角和为，对角线共135条． 题型12.对角线分成三角形个数问题 40．从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是______． 【答案】5 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为5． 41．如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，将n边形分为个三角形．据此求解即可． 【详解】解：设该多边形为边形， ∵从一个顶点可以作条对角线， ∴， ∴， ∵这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为， ∴三角形个数为． 42．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 43．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 题型13.多边形内角和问题 44．如图，在四边形中，延长至点，则图中的度数为______． 【答案】/80度 【分析】根据多边形内角和求出，进而可知的度数． 【详解】解： ， ∴． 45．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 46．如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据五边形内角和求出的度数，再利用角平分线性质求出的度数，最后在中求解． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴的度数是． 47．如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 题型14.正多边形的内角问题 48．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】/150度 【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 49．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 【答案】/96度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意得，正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ． 50．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【详解】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 51．（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 【答案】（1）①；②证明见解析（2）选择①，证明见解析 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理． （1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求， ②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行； （2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行． 【详解】解：（1）①∵是正六边形， 如图中，连接交于点， ， ∴，，都是等边三角形， ， 故答案为：； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）证明：选择条件①， ， 又∵， ， ． 题型15.多(少)算一个角问题 52．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是 °． (2)小明求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)30 (2)小明求的是12边形的内角和 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式求出其内角和． 【详解】（1）解：12边形的内角和为， 而13边形的内角和为， 由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”， 所以这个“多加的锐角是， 所以答案为：30； （2）设这个多边形n为边形，由题意得：， 解得：； 答：小明求的是12边形的内角和； 53．小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 【答案】(1)120度 (2)12边 【分析】（1）根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多算进去的内角度数：； （2）右（1）可知，多算进去的内角为， ∴这个多边形的内角和为：， ，解得：， ∴这个多边形边数为12． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角和公式． 54．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形的内角和, 此多边形的对角线条数为条 【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可，根据多边形的对角线的条数为，即可求解． 【详解】（1）解：多边形内角和公式为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角”， 这个“多加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形为边形， ， ， 小明求的是边形的内角和； ∴该多边形的对角线的条数为（条） 【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，多边形的对角线的条数问题，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． 题型16.多边形截角后的内角和问题. 55．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得共有5条对角线的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则， 解得：（负值已舍去）． ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为4或5或6． 原多边形不可能是七边形 故选：D． 56．如图，一张内角和为的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为__________． 【答案】13 【分析】根据多边形内角和公式，可得原多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】解：设原多边形是n边形，由多边形内角和公式得： （n-2）180°=1800°， 解得n=12， 新多边形是12+1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了剪纸问题，多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 57．把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（    ） A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 【答案】D 【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时． 【详解】解：设这个多边形原来的边数为n， ①当剪掉一个角后多一个角时，此时有条边， ， 解得：， ②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边， ， 解得：， ③当剪掉一个角后少一个角时，此时有条边， ， 解得：， 综上：这个多边形原来的边数为8或9或10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，以及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ． 58．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数． 【答案】12或13或14 【分析】首先设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程180°×（n﹣2）＝1980°，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案． 【详解】解：设新的多边形的边数为n， ∵新的多边形的内角和是1980°， ∴180°×（n﹣2）＝1980°， 解得：n＝13， ∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14， ∴原多边形的边数可能是：12或13或14． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，分类讨论是解题的关键． 题型17.正多边形的外角问题 59．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【答案】 8 【分析】任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为， 已知该多边形每一个外角都是，因此边数． 60．如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 【答案】8 【分析】根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：延长和交于点，如图， 由题意，得，， ∴， ∴正多边形的边数为． 61．如图，小亮从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点照这样走下去，小亮第一次回到出发点时所走的路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以10米即可得解． 【详解】解：小亮每次都是沿直线前进米后向左转， 他走过的图形是正多边形， 边数， 他第一次回到出发点时，一共走了（米）． 故选：D． 62．一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，求这个正多边形的内角和． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和及内角和等知识点，设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得x的值，再利用外角和的性质即可得出正多边形的边数，进而即可得解，关键是计算出外角的度数，进而得到边数是解决此题的关键． 【详解】设这个正多边的外角为，由题意得： ， 解得：， ∴， ∴正多边形的边数为， ∴正多边形的内角和为． 题型19.多边形外角和的实际应用 63．中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌，它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】/60度 【分析】根据正n边形的外角求解即可． 【详解】解：∵是正六边形的外角， ∴． 64．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 【答案】24 【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解． 【详解】解：第一次回到出发点A时， 走的图形是正多边形，且每个外角为， ， 解得， 共走路程为（米）． 65．若一个三角形的三个外角度数之比为，则最大内角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角和定理，设三个外角的度数分别为，，，根据三角形外角和定理进一步求出，即可得出最小的外角，进而可求出最大内角度数． 【详解】解：设三个外角的度数分别为，，， 根据三角形外角和定理，可知， 解得， 所以最小的外角为， 故最大的内角为． 故选C． 66．一个多边形的内角和与外角和的比是，求它是几边形？ 【答案】九边形 【分析】本题由题意得出等量关系即多边形的内角和与外角和的比是，列出方程解出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则有， 解得：． 这个多边形的边数为9， 故它是九边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是根据是已知等量关系列出方程从而解决问题． 题型19..多边形内角和与外角和综合 67．一个多边形的内角和与外角和的和是，求它的边数． 【答案】 【分析】多边形外角和为，多边形的内角和与外角和的和是，可以求出多边形内角和为，再根据多边形内角和公式求出多边形的边数． 【详解】解：多边形外角和为，多边形的内角和与外角和的和是， 多边形内角和为， 设多边形的边数为， 则有， 解得：． 68．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的每一个外角为 (2)这个多边形的内角和为 【详解】（1）解：设这个多边形的每一个外角的度数为x，由题意得： ， 解得：， 答：这个多边形的每一个外角为； （2）解：，， 答：这个多边形的内角和为． 69．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ，， ， ； （3）解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 题型20.平面镶嵌 70．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 【答案】2 【分析】根据平面镶嵌的性质，同一顶点处各内角的和为，先分别求出正方形与正八边形的每个内角的度数，再列一元一次方程求解即可． 【详解】解：首先，正方形的每个内角为， 根据多边形内角和公式，可得正八边形每个内角的度数为：， 由平面镶嵌的条件，同一顶点处内角和为，列方程得：， 解得． 71．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用周角定义求出正多边形内角，进而求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形， ∴每个内角度数， ∴每个外角度数， ∵多边形的外角和为， ∴边数为：， 故这种正多边形是正六边形． 72．项目主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 项目准备：（1）正边形内角和度数； （2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于（周角）． 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 项目任务：（1）初步探究：单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为____①____， ，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为____②____， ，因此正五边形不能单独镶嵌． （2）实战应用：两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为___________③___________；第二步：建立镶嵌方程． 设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得：，符合条件的正整数解为． 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①___________；②___________； (2)③___________；④___________；⑤___________．⑥___________． 【答案】(1)； (2)；；； 【分析】（1）根据正多边形的内角公式进行计算即可； （2）先根据正多边形的内角公式求出正六边形的内角，再代入拼接处的方程，化简后，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：等边三角形每个内角为，. 正五边形每个内角为； （2）解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， ∴符合条件的正整数解为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解三角形内角和定理推导原理，熟练掌握平行线辅助线法等主流证明思路。 2.熟记定理、推论及外角两大性质，区分定理、推论、逆命题的适用条件。 3.吃透直角三角形两锐角互余、三角形按角分类等衍生知识点，理清知识关联。 1.灵活运用定理、外角性质，完成单一图形、组合图形的角度计算。 2.能结合角平分线、高线、平行线等知识进行几何逻辑推理，构建解题思路。 3.规范几何语言，严谨书写证明过程，掌握辅助线添加技巧。 4.学会拆解复杂几何图形，综合运用多个知识点分析问题。 1.选择、填空题型：快速口算角度，规避概念易错点，保证答题速度与正确率。 2.基础解答题：精准套用定理，步骤完整、格式规范，拿满基础分值。 3.压轴综合题：能结合全等、特殊三角形等考点联立解题，突破难题得分点。 4.辨析易混题型，区分内角、外角相关题型解法，减少审题与解题失误。 题型01.三角形内角和定理的证明 题型02与平行线有关的内角和问题 题型03.与角平分线有关的内角和问题 题型04.三角形内角和定理的应用 题型05.三角形折叠中的角度问题 题型06.三角形的外角定义及性质. 题型07.多边形的概念及分类 题型08.正多边形概念辨析 题型09.多边形截角后的边数问题 题型10.多边形的周长 题型11.多边形对角线的条数问题 题型12.对角线分成三角形个数问题 题型13.多边形内角和问题 题型14.正多边形的内角问题 题型15.多(少)算一个角问题 题型16.多边形截角后的内角和问题. 题型17.正多边形的外角问题 题型19.多边形外角和的实际应用 题型19..多边形内角和与外角和综合 题型20.平面镶嵌 知识点01:基础概念 1. 三角形内角 三角形内部相邻两边组成的角，一个三角形共有3 个内角。 2. 三角形外角 定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角。 数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 知识点02.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点03:多边形的有关概念 1.多边形定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按照组成线段的条数,分为：三角形.四边形.五边形……n边形n3，n为正整数）。 2.多边形各组成部分（课本标配名词） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3.正多边形 定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 4.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 凹多边形：存在至少一条边，使多边形分布在直线两侧，本章节不作考查。 知识点04:多边形内角和与外角和 n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 知识点05:平面镶嵌 1.平面镶嵌定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌，也简称密铺。 2.核心条件（密铺本质） 拼接点（公共顶点）处，所有图形内角相加的和恰好等于 360 3.关键：围绕同一个顶点，各内角和 = 360，这是判断能否密铺的唯一依据。 题型01.三角形内角和定理的证明 1．如图，在四边形中，，点是上一点，且满足，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，且，，则的面积是___________． 3．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，，垂足为F．若，求证：． 4．在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 题型02与平行线有关的内角和问题 5．如图，直线，则的度数是_______． 6．在综合实践课上，老师要求验证纸条两边a与b是否平行，甲、乙两位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于两人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙都可行 B．只有甲可行 C．只有乙可行 D．甲、乙都不可行 7．如图，经过的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 8．如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 题型03.与角平分线有关的内角和问题. 9．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 10．如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 12．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 题型04.三角形内角和定理的应用 13．如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 14．如图，将含角的直角三角板和长方形直尺按如图的方式摆放在同一平面内，其中，，三角板的边，与直尺一条边的两个交点分别为点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． 16．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 题型05.三角形折叠中的角度问题 17．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则_____°． 18．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 19．（1）如图1，已知在中，，沿着剪去后变成四边形，求的值； （2）如图2，把沿着折成如图2所示的形状，猜想与的关系，并说明理由． 题型06.三角形的外角定义及性质. 20．如图，已知，，，则___________度． 21．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 23．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 题型07.多边形的概念及分类 24．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 25．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 26．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08.正多边形概念辨析 27．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 28．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 29．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 题型09.多边形截角后的边数问题 30．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 31．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 32．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 题型10.多边形的周长 33．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 34．中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（     ） A． B． C． D． 35．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 题型11.多边形对角线的条数问题 36．一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发所做的对角线的条数为（   ） A．8条 B．9条 C．10条 D．11条 37．已知一个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的对角线的条数是（） A．54 B．12 C．10 D．56 38．一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 39．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 题型12.对角线分成三角形个数问题 40．从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是______． 41．如果从多边形的一个顶点可以画出a条对角线，那么这a条对角线把该多边形分成的三角形的个数为（   ） A．a B． C． D． 42．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 43．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 题型13.多边形内角和问题 44．如图，在四边形中，延长至点，则图中的度数为______． 45．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 46．如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 47．如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 题型14.正多边形的内角问题 48．如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 49．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 50．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 51．（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 题型15.多(少)算一个角问题 52．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是 °． (2)小明求的是几边形的内角和？ 53．小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 54．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 题型16.多边形截角后的内角和问题. 55．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 56．如图，一张内角和为的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为__________． 57．把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（    ） A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 58．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数． 题型17.正多边形的外角问题 59．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 60．如图，一个正多边形被撕掉了一块，若边、所在直线互相垂直，则原正多边形的边数为_________． 61．如图，小亮从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点照这样走下去，小亮第一次回到出发点时所走的路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 62．一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，求这个正多边形的内角和． 题型19.多边形外角和的实际应用 63．中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌，它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 64．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 65．若一个三角形的三个外角度数之比为，则最大内角度数为（   ） A． B． C． D． 66．一个多边形的内角和与外角和的比是，求它是几边形？ 题型19..多边形内角和与外角和综合 67．一个多边形的内角和与外角和的和是，求它的边数． 68．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 69．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 题型20.平面镶嵌 70．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 71．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 72．项目主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 项目准备：（1）正边形内角和度数； （2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于（周角）． 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 项目任务：（1）初步探究：单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为____①____， ，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为____②____， ，因此正五边形不能单独镶嵌． （2）实战应用：两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为___________③___________；第二步：建立镶嵌方程． 设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得：，符合条件的正整数解为． 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①___________；②___________； (2)③___________；④___________；⑤___________．⑥___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $