精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2026届高三考前模拟预测数学试题

平罗中学2025-2026学年度第五次模拟考试试题 高三数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】复数z满足, 故， 故. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法化简集合，结合集合交集的运算即可求解. 【详解】由，得，故，所以. 故选：C. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 5. 设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，将所求自变量转化到已知解析式的区间内计算即可. 【详解】由是偶函数，得：， 由周期为，得：， 易知，代入已知解析式： 因此. 6. 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 【答案】B 【解析】 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 7. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 10. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为1 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有5个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据奇偶性判断对称即可；B选项，根据积化和差公式化简式子，计算最值；C选项，根据判断周期；D选项，利用函数等于0解方程判断零点个数即可． 【详解】A选项，因为， 故为偶函数，图象关于y轴对称，A正确； B选项， ， 令，则；则， 当时，取最大值，此时的最大值为，B错误； C选项，因为， 故是以为一个周期的周期函数，C正确； D选项，令 ，则或，， 由，可得或；由，可得或或或， 解得：，，，，综上在上有4个零点，D错误． 11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，记直线的斜率为，则 C. 面积的最小值为 2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可求出，即可判断A；根据弦长公式即可判断B；根据结合韦达定理即可判断C；根据弦长公式得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】由题意知抛物线的焦点为且直线斜率不为0， 故可设直线AB的方程为，，， 由得，显然， 所以，，，， 所以，故A错误； 设直线的倾斜角为，当为锐角时， 由抛物线的定义可知， 故，同理可得， 由得，从而， 同理当为钝角时，，故B正确； ， 当时，面积的最小值为 2，故C正确； 由于，， 所以， 当且仅当，时， 的最小值为 ，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 设向量满足，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据导数的几何意义求出切线方程，然后求出和坐标轴的交点，最后利用几何法求圆的方程. 【详解】将曲线化为，求导得，在点的切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理为. 切线与坐标轴的交点为、，围成的三角形三个顶点为、、，  中，直角三角形的外接圆直径为斜边. 斜边的中点为，即圆心，，半径， 因此外接圆的标准方程为：（或展开为）. 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 【答案】90 【解析】 【分析】假设有，可得共有5种组合，有4种选择，分、，、讨论，可得答案. 【详解】假设，那么对于 ， 可化简为， 所以，即， 若可以取，对应的就是， 所以共有5种组合，对于每一组，有4种选择， 当确定后，考虑它们的排列顺序， 如果，有三种排列， 如果，同理也有三种排列， 如果，那么有种排列， 如果，那么有种排列， 可得每个组合共有种排列， 所以的5种组合共有种. 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）讨论直线的斜率是否存在的情况，并与椭圆联立方程，结合韦达定理求出，再求出原点到直线AB的距离，从而求得的面积． 【小问1详解】 由题意： 又 联立 ∴椭圆的方程是：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在时，令， 联立，得：， ， ，解得， 经检验： 符合题意， 原点到直线AB的距离， . 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式 （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证. 【小问1详解】 因为，， 当时，，又，所以或，又，则. 当时，因①；所以②， ①②：，化简：， 由，，故， 所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则. 【小问2详解】 由，得， 所以， 又，所以，得证. 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面． （2）求多面体的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）依次求出和即可求解多面体的体积； （3）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题意可知，所以由平面得平面， 因为平面，平面，所以， 所以由可知四边形是边长为2的正方形， 所以， 又，所以， 所以多面体的体积为； 【小问3详解】 由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 足球赛事“宁超”是宁夏回族自治区于2026年推出的区级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示． 场次x 1 2 3 4 5 6 球迷人数y/千 15 17 23 23 29 31 （1）求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位． （2）某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张．甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率． 附：，，.，. 【答案】（1） ； （2）（或）． 【解析】 【分析】(1)利用经验回归方程公式代入计算即可； (2)根据独立事件概率计算公式以及互斥事件概率计算公式，根据4道题的分布情况计算概率即可． 【小问1详解】 由可得：； 因为；，； 则 ， ； 经验回归方程： ； 【小问2详解】 设（）表示答对个历史问题， 则； 设（）表示答对个陶瓷制作工艺问题， 则； 因为每个问题答对与否互不影响，故与相互独立； 则甲赢得门票的概率 因为与互斥， 故； 因为，； 且，； 代入可得：． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【小问1详解】 由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第五次模拟考试试题 高三数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A. 45.8 B. 140.8 C. 176 D. 183.2 7. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面 D. 圆锥的侧面积为 10. 关于函数，以下结论正确的有（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为1 C. 是以为一个周期的周期函数 D. 在上有5个零点 11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，记直线的斜率为，则 C. 面积的最小值为 2 D. 的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 设向量满足，，且，则______． 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种. 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式 （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面． （2）求多面体的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 足球赛事“宁超”是宁夏回族自治区于2026年推出的区级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示． 场次x 1 2 3 4 5 6 球迷人数y/千 15 17 23 23 29 31 （1）求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位． （2）某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张．甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率． 附：，，.，. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $