3.2 导数与函数的单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖课标要求的导数与单调性关系理解、单调区间求解及参数范围问题，按基础概念、不含参/含参函数单调性、单调性应用（比较大小、解不等式、求参数）逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以分层练习（A级基础、B级能力、C级拓广）和多维探究为特色，采用分类讨论（含参单调性）、构造函数（比较大小）等策略，如在单调性应用中引导学生构造辅助函数分析不等关系，培养逻辑推理与数学运算素养，确保有限时间内高效突破考点，为学生提升应考能力、教师把控复习节奏提供有力支撑。

3．2　导数与函数的单调性 课标要求 考情分析 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ◎考点考法：高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主，求函数的单调区间，或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围，这将是以后高考的重点考查内容． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．“在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)” 是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒为零． 1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上，f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上，f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上，f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上，f(x)单调递增 2．函数f(x)＝x＋sin x在R上是(　　) A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 3．已知函数f(x)＝－4ln x＋x2＋5，则函数f(x)的单调递减区间是________． 4．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为________(用“＜”连接). 5．若y＝x＋(a＞0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 考点一　不含参函数的单调性　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝x－ln x2的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0，2) D．(－∞，0)和(2，＋∞) 2．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　　) A． B．(－∞，1)， C． D．(0，1)， 3．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 4．若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递减区间为________． 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 考点二　含参数的函数的单调性　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x. (1)若a＝1，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论f(x)的单调性． (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝(a＋1)x2－1，a∈R. (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当h(x)＝2f(x)－g(x)时，讨论h(x)的单调性． 考点三　函数单调性的应用　多维探究　发散思维 角度1　比较大小或解不等式 (1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)＞0的解集是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，π) D．(－π，0) 利用导数比较大小或解不等式 (1)比较函数值大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较． (2)利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式． (3)与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式． 角度2　根据函数单调性求参数(一题多变) 若函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围为________． (变条件)本例中，若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则a的取值范围为________________． 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式． (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题． (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 1．已知函数f(x)＝cos x－x，则f，f(π)，f的大小关系为(　　) A．f＞f(π)＞f B．f＞f＞f(π) C．f＞f＞f(π) D．f＞f(π)＞f 2．若函数f(x)＝sin 2x－4x－m sin x在[0，2π]上单调递减，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1] A级　基础过关 1．函数f(x)＝x ln x＋1的单调递减区间是(　　) A． B． C． D．(e，＋∞) 2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 3．若函数f(x)＝x3＋x2＋ax－1在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥ B．a≤ C．a＞ D．a＜ 4．设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(5－3x)＜0的x的取值范围为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3) C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3) 6．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________． 7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝x2＋a ln x(x＞0). (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． B级　能力提升 10．已知a＝，b＝e－，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 11．(多选)已知函数f(x)＝ex＋e－x－2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，＋∞)上不单调 B．函数y＝f′(x)是奇函数，且在(－∞，＋∞)上不单调递增 C．函数y＝f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，且f(m)≥0 12．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围． C级　拓广探索 13．(多选)若函数g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 14．已知函数f(x)＝. (1)若a＞0，求f(x)的单调区间； (2)若对∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2都有＜2恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．2　导数与函数的单调性 课标要求 考情分析 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ◎考点考法：高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主，求函数的单调区间，或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围，这将是以后高考的重点考查内容． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．“在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)” 是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒为零． 1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上，f(x)单调递增 B．在区间(1，3)上，f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上，f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上，f(x)单调递增 解析　在区间(4，5)上，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)在区间(4，5)上单调递增． 答案　C 2．函数f(x)＝x＋sin x在R上是(　　) A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 解析　f(x)＝x＋sin x，则f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，所以函数f(x) 是奇函数，f′(x)＝1＋cos x≥0，所以f(x) 在R上是增函数．故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝－4ln x＋x2＋5，则函数f(x)的单调递减区间是________． 解析　由题知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数f(x)＝－4ln x＋x2＋5，得f′(x)＝－＋x＝，令f′(x)<0得0<x<2，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，2). 答案　(0，2) 4．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为________(用“＜”连接). 解析　因为f(x)＝x sin x，当x∈时，f′(x)＝sin x＋x cos x＞0，所以函数f(x)在上单调递增，又因为0＜＜1＜＜，所以f＜f(1)＜f. 答案　f＜f(1)＜f 5．若y＝x＋(a＞0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 解析　由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a.所以y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞).因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a＞0，所以0＜a≤2. 答案　(0，2] 考点一　不含参函数的单调性　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝x－ln x2的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0，2) D．(－∞，0)和(2，＋∞) 解析　由题知f(x)＝x－ln x2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，解得x>2或x<0，故f(x)＝x－ln x2的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞).故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　　) A． B．(－∞，1)， C． D．(0，1)， 解析　由题图可知，先减后增的曲线为f′(x)的图象，先增后减再增的曲线为f(x)的图象，当0<x<1或x>4时，f′(x)<f(x)，即g′(x)＝<0，则函数g(x)＝的单调递减区间为(0，1)，(4，＋∞).故选D. 答案　D 3．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 解析　由题意知f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， f′(x)＝＝，令f′(x)<0，可得2x2－3x<0，可得0<x<，又x≠1，则0<x<1或1<x<，所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，. 答案　(0，1)， 4．若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递减区间为________． 解析　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝，令φ(x)＝－ln x－1，x∈(0，＋∞)，则φ′(x)＝－－<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x) 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞). 答案　(1，＋∞) 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 考点二　含参数的函数的单调性　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x. (1)若a＝1，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论f(x)的单调性． [解析]　(1)当a＝1时，f′(x)＝， f′(x0)＝1，解得x0＝1. 又因为f(1)＝－， 所以切线方程为y＋＝x－1，即y＝x－. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. 当a≤0时，得f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令g(x)＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4. (ⅰ)当Δ≤0即0<a≤2时， f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (ⅱ)当Δ>0即a>2时，f′(x)＝. 由f′(x)>0得， 0<x<或x>， 由f′(x)<0得，<x<， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减． 综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减． (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝(a＋1)x2－1，a∈R. (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当h(x)＝2f(x)－g(x)时，讨论h(x)的单调性． 解析　(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝2时，f(x)＝ln x－2x，f′(x)＝－2＝， 所以切线斜率为f′(1)＝－1， 又f(1)＝ln 1－2＝－2， 所以切线方程为y＋2＝－(x－1)， 即x＋y＋1＝0. (2)h(x)＝2f(x)－g(x)＝2ln x－(a＋1)x2－2ax＋1， 则h(x)的定义域为(0，＋∞)， h′(x)＝－2(a＋1)x－2a＝－， ①当a≤－1时，有h′(x)>0恒成立，h(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当a>－1时，由h′(x)>0，解得x∈， 由h′(x)<0，解得x∈， 故函数h(x)在上单调递增， 在上单调递减． 综上，当a≤－1时，h(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>－1时，h(x)在上单调递增，在上单调递减． 考点三　函数单调性的应用　多维探究　发散思维 角度1　比较大小或解不等式 (1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)＞0的解集是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，π) D．(－π，0) [解析]　(1)由题意，得f′(x)＝3－2sin x．因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)是增函数．因为＞1，所以3＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f(2)＜f(log27)＜f(3)，即b＜c＜a. (2)对函数f(x)求导得f′(x)＝ex＋e－x＋cos x， 因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f′(x)＞0， 因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增， 又因为f(0)＝e0－e-0＋sin 0＝0，所以f(x)＞0的解集为(0，＋∞). [答案]　(1)D　(2)A 利用导数比较大小或解不等式 (1)比较函数值大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较． (2)利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式． (3)与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式． 角度2　根据函数单调性求参数(一题多变) 若函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围为________． [解析]　因为f(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 则a≥－恒成立． 设g(x)＝－＝－1，x∈[1，4]， 所以a≥g(x)max， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以g(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－，又因为a≠0， 所以a的取值范围是∪(0，＋∞). [答案]　∪(0，＋∞) (变条件)本例中，若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则a的取值范围为________________． 解析　因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则f′(x)＜0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a＞－有解， 又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)， 所以a＞－1，又因为a≠0， 所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞). 答案　(－1，0)∪(0，＋∞) 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式． (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题． (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 1．已知函数f(x)＝cos x－x，则f，f(π)，f的大小关系为(　　) A．f＞f(π)＞f B．f＞f＞f(π) C．f＞f＞f(π) D．f＞f(π)＞f 解析　因为函数f(x)＝cos x－x，所以f′(x)＝－sin x－1≤0，又函数f(x)＝cos x－x不是常函数，所以f(x)＝cos x－x在(－∞，＋∞)上是减函数，因为＜π＜，所以f＞f(π)＞f，故选A． 答案　A 2．若函数f(x)＝sin 2x－4x－m sin x在[0，2π]上单调递减，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1] 解析　依题意得f(x)＝sin 2x－4x－m sin x，所以f′(x)＝2(2cos2x－1)－4－m cosx＝4cos2x－m cosx－6≤0对∀x∈[0，2π]恒成立．设t＝cos x∈[－1，1]，则g(t)＝4t2－mt－6，则g(t)≤0在[－1，1]上恒成立，由二次函数图象得即解得－2≤m≤2.故选B. 答案　B A级　基础过关 1．函数f(x)＝x ln x＋1的单调递减区间是(　　) A． B． C． D．(e，＋∞) 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，所以在区间上f′(x)＜0，f(x)单调递减，故选C. 答案　C 2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析　利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D符合． 答案　D 3．若函数f(x)＝x3＋x2＋ax－1在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥ B．a≤ C．a＞ D．a＜ 解析　由题可知，f′(x)＝3x2＋2x＋a≥0恒成立，故Δ≤0，即4－12a≤0⇒a≥.故选A． 答案　A 4．设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(5－3x)＜0的x的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　因为f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，所以f(－x)＝sin (－x)＋e－x－ex＋x＝－(sin x＋ex－e－x－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又f′(x)＝cos x＋ex＋e－x－1，因为cos x－1≥－2，ex＋e－x＝ex＋≥2，所以f′(x)＝cos x＋ex＋e－x－1＞0，所以f(x)在R上是增函数，所以由f(x)＋f(5－3x)＜0，得f(x)＜－f(5－3x)＝f(3x－5)，因为f(x)在R上是增函数，所以x＜3x－5，解得x＞，所以满足f(x)＋f(5－3x)＜0的x的取值范围为. 答案　C 5．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3) C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3) 解析　由＜0，得m(x－3)f′(x)＜0， 又m＜0，则(x－3)f′(x)＞0， 当x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(2)＞f(3)，f(4)＞f(3)， 所以f(2)＋f(4)＞2f(3). 答案　AD 6．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________． 解析　f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜0时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1). 答案　(－∞，0)　(0，1) 7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 解析　由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f′(x)＜0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞). 答案　∪[2，＋∞) 8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为________． 解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1， 函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间， 则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点， 即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点， 则判别式Δ＝4b2－12>0，解得b>或b<－. 所以实数b的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 9．已知函数f(x)＝x2＋a ln x(x＞0). (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝. 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1). (2)由g(x)＝x2＋a ln x＋(x＞0)， 得g′(x)＝2x＋－. 由题意知，当x≥1时，g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立． 若g′(x)＝2x＋－≥0，则a≥－2x2＝－， 当x≥1时，－≤0，∴a≥0； 若g′(x)＝2x＋－≤0，则a≤－2x2＝－， 当x≥1时，y＝－无最小值， ∴g′(x)≤0不可能恒成立． 综上，实数a的取值范围是[0，＋∞). B级　能力提升 10．已知a＝，b＝e－，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析　设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R， 则f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)<0， f(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，f′(x)>0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)≥f(0)＝0， 即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立， ∵ex≥1＋x， ∴e－>1－＝， ∴b>a， 由以上分析可知当x>0时，有ex-1≥x成立，当且仅当x＝1时等号成立， 即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立， ∴ln <－1＝， ∴a>c，故b>a>c. 答案　B 11．(多选)已知函数f(x)＝ex＋e－x－2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，＋∞)上不单调 B．函数y＝f′(x)是奇函数，且在(－∞，＋∞)上不单调递增 C．函数y＝f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)，且f(m)≥0 解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex－2cos (－x)＝ex＋e－x－2cos x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在(－∞，＋∞)上显然不单调，故A正确； 又f′(x)＝ex－e－x＋2sin x，所以f′(－x)＝e－x－ex－2sin x＝－f′(x)， 所以函数y＝f′(x)是奇函数，因为f″(x)＝ex＋e－x＋2cos x≥2＋2cos x≥0恒成立， 所以y＝f′(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故B错误； 当x∈时，sin x＜0，ex－e－x＜0， 所以f′(x)＝ex－e－x＋2sin x＜0在上恒成立， 所以f(x)在上单调递减，故C错误； 因为函数f(x)为偶函数， 所以对任意m∈R，都有f(|m|)＝f(m)， 当x＞0时，f′(x)＞f′(0)＝1－1＋0＝0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)≥f(0)＝1＋1－2＝0，所以f(m)≥0，故D正确．故选AD. 答案　AD 12．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0). ∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点． 由于g′(0)＝－2，∴ 由g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9. 由g′(3)＞0，即m＞－，∴－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是. C级　拓广探索 13．(多选)若函数g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 解析　要使函数f(x)具有“Z魔力”，则g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，即当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0恒成立，对于A，f(x)＝，g(x)＝ln x在定义域上单调递增，故函数f(x)具有“Z魔力”，故A正确；对于B，f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)ln x，g′(x)＝ln x＋＝1＋ln x－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故B错误；对于C，f(x)＝，g(x)＝，g′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故C错误；对于D，f(x)＝ex，g(x)＝ex ln x，g′(x)＝ex，令h(x)＝ln x＋(x＞0)，h′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(x)极小值＝h(1)＝1＞0，即g′(x)＞0恒成立，g(x)在定义域上单调递增，因此函数f(x)具有“Z魔力”，故D正确．故选AD. 答案　AD 14．已知函数f(x)＝. (1)若a＞0，求f(x)的单调区间； (2)若对∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2都有＜2恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝ ， ∵a＞0，∴当x∈(－∞，0)∪(0，1)时，f′(x)＜0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). (2)∵∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2， 都有＜2恒成立， 即－2＜0恒成立， 即＜0恒成立， 令g(x)＝f(x)－2x，则＜0在x∈[1，3]上恒成立， 即函数g(x)＝f(x)－2x在区间[1，3]上单调递减， 又∵g′(x)＝f′(x)－2＝－2， ∴－2≤0在[1，3]上恒成立， 当x＝1时，不等式可化为－2≤0显然成立； 当x∈(1，3]时，不等式－2≤0可化为a≤， 令h(x)＝， 则h′(x)＝ ＝ ＝＝＜0在区间(1，3]上恒成立， ∴函数h(x)＝在区间(1，3]上单调递减， ∴h(x)min＝h(3)＝＝，∴a≤， 即实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $