3.2 导数与函数的单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

第2节　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 　　 利用导函数图象研究函数单调性 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是　　　　　 （1）已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图象大致形状是（　　） （2）〔多选〕已知函数y＝f'（x）的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（　　） A.在区间（0，a）上，f（x）为定值 B.函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增 C.函数y＝f（x）在区间（c，e）内单调递增 D.函数y＝f（x）在区间（b，d）内单调递减 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.由原函数图象识别导函数图象的依据：若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0. 2.由导函数图象识别原函数图象的依据：若f'（x）＞0，则f（x）单调递增，f'（x）＜0，则f（x）单调递减. 练1 已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） 不含参函数的单调性 （1）若函数f（x）＝－2ln x＋x＋，则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（0，＋∞） B.（0，3） C.（－1，3） D.（3，＋∞） （2）若函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递减区间为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求出导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 2.求函数单调区间的方法 （1）解不等式f'（x）＞0（f'（x）＜0）求单调递增（减）区间； （2）令f'（x）＝0解出方程的实根，再将定义域划分为若干个区间，确定各区间上f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”隔开. 练2 （1）函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的单调递增区间是（　　） A.（0，1） B.（，1） C.（，） D.（，） （2）已知函数f（x）＝x＋2cos x，试判断f（x）在（0，π）上的单调性. 含参函数的单调性 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 解决含参函数单调性问题的注意点 （1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论； （2）注意观察f'（x）的表达式（或其中的某一部分、某个因式等）的取值是否恒为正（或恒为负），这往往是分类讨论的出发点； （3）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 提醒　分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述. 练3 讨论函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1的单调性. 第2节　导数与函数的单调性 （时间：60分钟，满分：87分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的是（　　） A.f（x）在（－3，1）内单调递增 B.f（x）在（1，3）内单调递减 C.f（x）在（2，4）内单调递减 D.f（x）在（3，＋∞）上单调递增 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.函数f（x）＝（x－3）ex的单调递减区间是（　　） A.（－∞，2） B.（0，3） C.（1，4） D.（2，＋∞） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.函数f（x）＝x＋－3ln x的单调递增区间是（　　） A.（－1，4） B.（0，1） C.（4，＋∞） D.（0，4） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x（a＜0），则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（－，0） B.（0，－） C.（－，＋∞） D.（－∞，－） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.（2026·安徽马鞍山模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.〔多选〕若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（　　） A.函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增 B.函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f（x）＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.已知函数f（x）＝则f（x）的单调递减区间为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（10分）已知函数f（x）＝x2－ax＋ln x，讨论f（x）的单调性. 11.函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f'（x），则f（x）·f'（x）＞0的解集为（　　） A.（1，4） B.（1，4）∪（4，6） C.（4，＋∞） D.（1，4）∪（6，＋∞） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝在区间（　　） A.（0，1）内单调递增 B.（1，4）内单调递减 C.（1，）内单调递减 D.（，4）内单调递减 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝　　　　.（答案不唯一） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）已知a为实数，函数f（x）＝ln（＋x）＋ax. （1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数； （2）若a＜0，求函数f（x）的单调递减区间 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节　导数与函数的单调性 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 利用导函数图象研究函数单调性 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内　单调递增　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内　单调递减　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是　常数函数　 （1）已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图象大致形状是（　B　） 解析：（1）从题图上可以看出：二次函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，故f'（x）＞0；f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故f'（x）＜0. （2）〔多选〕已知函数y＝f'（x）的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（　BD　） A.在区间（0，a）上，f（x）为定值 B.函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增 C.函数y＝f（x）在区间（c，e）内单调递增 D.函数y＝f（x）在区间（b，d）内单调递减 解析：（2）由题图知，当0＜x＜a时，f'（x）＞0且为定值；当a＜x＜c时，f'（x）单调递减，且当x∈（a，b）时，f'（x）＞0，当x∈（b，c）时，f'（x）＜0；当c＜x＜e时，f'（x）单调递增，且当x∈（c，d）时，f'（x）＜0，当x∈（d，e）时，f'（x）＞0，所以当0＜x＜a时，f（x）单调递增且为斜率大于0的直线，当a＜x＜b时，f（x）单调递增，当b＜x＜c时，f（x）单调递减，当c＜x＜d时，f（x）单调递减，当d＜x＜e时，f（x）单调递增，其大致图象如图. 规律方法 1.由原函数图象识别导函数图象的依据：若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0. 2.由导函数图象识别原函数图象的依据：若f'（x）＞0，则f（x）单调递增，f'（x）＜0，则f（x）单调递减. 练1 已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） 解析：C　由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C. 不含参函数的单调性 （1）若函数f（x）＝－2ln x＋x＋，则f（x）的单调递增区间为（　D　） A.（0，＋∞） B.（0，3） C.（－1，3） D.（3，＋∞） 解析： 由函数f（x）＝－2ln x＋x＋，可得其定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＋1－＝＝，x＞0，令f'（x）＝0，可得x＝3，当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，3）内单调递减；当x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（3，＋∞）上单调递增. （2）若函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递减区间为　　（1，＋∞）　　. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令φ（x）＝－ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－－＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，∴f（x）的单调递减区间为（1，＋∞）. 规律方法 1.利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求出导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 2.求函数单调区间的方法 （1）解不等式f'（x）＞0（f'（x）＜0）求单调递增（减）区间； （2）令f'（x）＝0解出方程的实根，再将定义域划分为若干个区间，确定各区间上f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”隔开. 练2 （1）函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的单调递增区间是（　　） A.（0，1） B.（，1） C.（，） D.（，） 解析：D　函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的定义域为（，＋∞），且f'（x）＝－2x＋1＝＝，令f'（x）＞0，解得＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（，）. （2）已知函数f（x）＝x＋2cos x，试判断f（x）在（0，π）上的单调性. 解：f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）. 令f'（x）＝0，得x＝或x＝， 当0＜x＜或＜x＜π时，f'（x）＞0， 当＜x＜时，f'（x）＜0， 所以f（x）在（0，）和（，π）上单调递增，在（，）内单调递减. 含参函数的单调性 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（ －∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 规律方法 解决含参函数单调性问题的注意点 （1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论； （2）注意观察f'（x）的表达式（或其中的某一部分、某个因式等）的取值是否恒为正（或恒为负），这往往是分类讨论的出发点； （3）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 提醒　分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述. 练3 讨论函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1的单调性. 解：由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，令f'（x）＝0，Δ＝（－2）2－4×3×a＝4（1－3a）. ①当a≥时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增； ②当a＜时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝， 令f'（x）＞0，得x＜x1或x＞x2；令f'（x）＜0，得x1＜x＜x2， 所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）内单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥时，f（x）在R上单调递增； 当a＜时，f（x）在（－∞，），（，＋∞）上单调递增，在（，）内单调递减. （时间：60分钟，满分：87分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的是（　　） A.f（x）在（－3，1）内单调递增 B.f（x）在（1，3）内单调递减 C.f（x）在（2，4）内单调递减 D.f（x）在（3，＋∞）上单调递增 解析：C　当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减；当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递增，显然C正确，其他选项错误. 2.函数f（x）＝（x－3）ex的单调递减区间是（　　） A.（－∞，2） B.（0，3） C.（1，4） D.（2，＋∞） 解析：A　由已知得，f'（x）＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex，当x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间是（－∞，2），单调递增区间是（2，＋∞）. 3.已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由题意，f'（x）＝3x2＋a，f（x）在R上单调递增，则f'（x）≥0，即a≥－3x2在R上恒成立，故a≥0.所以“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件. 4.函数f（x）＝x＋－3ln x的单调递增区间是（　　） A.（－1，4） 　B.（0，1） C.（4，＋∞） 　D.（0，4） 解析：C　函数的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝1－－＝，令f'（x）＞0，解得x＞4，故函数f（x）＝x＋－3ln x在（4，＋∞）上单调递增，选C. 5.函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x（a＜0），则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（－，0） B.（0，－） C.（－，＋∞） D.（－∞，－） 解析：B　由题意得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.∵a＜0，令f'（x）＝0，解得x＝－，∴当x∈（0，－）时，f'（x）＞0. 6.（2026·安徽马鞍山模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（　　） 解析：C　由图可知函数f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，则当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－1，＋∞）时，f'（x）＞0，且f'（－1）＝0.对于函数y＝xf'（x），当x∈（－∞，－1）时，xf'（x）＞0，当x∈（－1，0）时，xf'（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，xf'（x）＞0，且当x＝－1时，xf'（x）＝0，当x＝0时，xf'（x）＝0，显然选项C符合，故选C. 7.〔多选〕若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（　　） A.函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增 B.函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f（x）＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 解析：BC　A项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f'（x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f'（x）＝cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C. 8.设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是　（－∞，0）和（ ，＋∞）　. 解析：由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （－∞，0） （ 0，） （ ，＋∞） f'（x） － ＋ － f（x） 单调递减 单调递增 单调递减 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）. 9.已知函数f（x）＝则f（x）的单调递减区间为　　（－∞，1）　　. 解析：当x＜0时，f（x）＝－x－2，则f（x）在（－∞，0）上单调递减.当x≥0时，f（x）＝（x－2）ex，则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex，当0≤x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在[0，1）上单调递减.又（0－2）e0＝－0－2，所以f（x）的单调递减区间为（－∞，1）. 10.（10分）已知函数f（x）＝x2－ax＋ln x，讨论f（x）的单调性. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝. 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 当a＞0时，令g（x）＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4. 当Δ≤0，即0＜a≤2时，f'（x）≥0恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 当Δ＞0，即a＞2时， f'（x）＝. 由f'（x）＞0，得0＜x＜或x＞； 由f'（x）＜0，得＜x＜， 所以f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）内单调递减. 综上，当a≤2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）内单调递减. 11.函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f'（x），则f（x）·f'（x）＞0的解集为（　　） A.（1，4） B.（1，4）∪（4，6） C.（4，＋∞） D.（1，4）∪（6，＋∞） 解析：D　由图象可得，当x＜4时，f'（x）＞0，当x＞4时，f'（x）＜0.结合图象可得，当1＜x＜4时，f'（x）＞0，f（x）＞0，即f（x）·f'（x）＞0；当x＞6时，f'（x）＜0，f（x）＜0，即f（x）·f'（x）＞0，所以f（x）·f'（x）＞0的解集为（1，4）∪（6，＋∞）. 12.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝在区间（　　） A.（0，1）内单调递增 B.（1，4）内单调递减 C.（1，）内单调递减 D.（，4）内单调递减 解析：AC　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除B、D；g'（x）＝，由题图易得当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'（x）＝＞0，所以函数g（x）＝在（0，1）内单调递增，故A正确；由题图易得当x∈（1，）时，f（x）＜f'（x），即g'（x）＝＜0，所以函数g（x）＝在（1，）内单调递减，故C正确. 13.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝　x3－4x（答案不唯一）　.（答案不唯一） 解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝x3－4x（答案不唯一）. 14.（15分）已知a为实数，函数f（x）＝ln（＋x）＋ax. （1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数； （2）若a＜0，求函数f（x）的单调递减区间. 解：（1）证明：∵＞＝｜x｜≥－x， ∴＋x＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R. ∴f'（x）＝＋a＝＋a＝＋a＝＋a. 当a≥0时，＋a＞0，∴f'（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上为增函数. （2）当a＜0时，f'（x）＝＋a. f'（x）＜0⇔x2＞. ①当a＜－1时，f'（x）＜0恒成立， ∴f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； ②当a＝－1，x≠0时，f'（x）＜0恒成立， ∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上也单调递减. 又f（x）在x＝0处连续， ∴f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； ③当－1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，），（－，＋∞）. 综上，当a≤－1时，f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； 当－1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，），（－，＋∞） 学科网（北京）股份有限公司 $