精品解析：福建省莆田市秀屿区秀山初级中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试题

莆田市秀山中学2025-2026八年级下学期期中考试 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟练掌握函数的概念．由已知结合函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，检验各选项即可判断． 【详解】解：A、由图像可知，对于x的每一个取值，y有唯一确定的值与之对应，曲线能表示是的函数，不符合题意； B、由图像可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，曲线能表示是的函数，不符合题意； C、由图像可知，对于x的每一个取值，y不符合有唯一确定的值与之对应，曲线不能表示是的函数，符合题意； D、由图像可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，曲线能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三边满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证即可. 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组边长： A选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； B选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； C选项 ， ，即 ，∴ 能构成直角三角形； D选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形. 4. 顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）． A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解． 【详解】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形． ∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形． ∴EF=EH，EF⊥EH， ∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC ∴AC=BD，AC⊥BD， 即四边形ABCD满足对角线相等且垂直， 选项D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 5. 如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示实数、勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据可知点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 又点在原点的左侧， 点表示的数是． 故选：D． 6. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：，  ，  ，   选择“是”的分支进行运算， 输出值为：     ． 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 8. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 长方形的周长是22 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象给出的信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，，，故选项C不合题意； 长方形的周长为，故选项D不合题意； 当时，点在上，，故选项A不合题意； 当时，， 解得， 则点在或上， 当点在上时，，此时； 当点在上时，，此时； ∴或；故选项B符合题意． 10. 如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设，利用正方形和折叠的性质推导角度关系，证明以及是等腰直角三角形，进而得出与的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，  ，  ∵四边形是正方形，  ，， 设，则 ，  沿所在的直线翻折得，  ，，，，  ，，，  ，，  为中点，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，，，  ， 又，  ，  ， 又， 是等腰直角三角形， 设， 则， 在和中，  ，  ，  ，  ，  ． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边长为12，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长为12， ∵斜边上的高是3， ∴这个直角三角形的面积是， 故答案为：18． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键． 13. 对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 14. 如图，在五边形中，，分别平分、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：∵在五边形中，， ∴， 又∵分别平分，， ∴， ∴中，． 故答案为：． 15. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④，其中说法正确的结论有_____（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故选项①正确； ②大正方形的面积是，小正方形的面积是4， ∴4个直角三角形的面积为， ∴，解得：， 故选项②错误； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故选项③正确； ④因为，所以，故此选项不正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识，能灵活运用勾股定理是解题关键． 16. 如图，中，，，点D在上，连接并延长，使，连接，若，，则的长度为______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长到M，使，连接，由三角形中位线定理推出，由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，得到，由，得到，因此，推出，得到，令，由勾股定理得到，求出，得到，因此． 【详解】解：延长到M，使，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质，平行线的性质推出，由勾股定理列出关于x的方程． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；5 （2）是直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 19. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，要证四边形是平行四边形，只需证即可，利用E，F分别是，的中点可以得证． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ． 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． 20. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示. （1）比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0； （2）化简：． 【答案】（1）＞；＞；＜ （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值的化简，利用数轴判断实数的正负性是解题的关键． （1）根据数轴可得，则，，，即可得出答案； （2）根据二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：由数轴得，， ∴，，， 故答案为：＞；＞；＜； 【小问2详解】 解： ． 21. 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为 （2）他应该往回收线 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； 【小问2详解】 解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． 22. 观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… （1）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； （3）利用（2）中的规律计算：． 【答案】（1）（或） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）观察已知等式的规律，代入写出对应的二次根式化简等式； （2）根据规律猜想第个等式，再通过通分、因式分解和二次根式性质证明等式成立； （3）利用（2）的规律将乘积转化为分数相乘的形式，约分化简后得到结果． 【小问1详解】 解：根据题意可知，第个等式是（或）． 【小问2详解】 解：根据题意可知，第个等式为：． 证明：已知为正整数， ∵左边右边， ∴原等式成立． 【小问3详解】 解：原式 ． 23. 如图，正方形，，直线与边，分别交于点，，点在上，且点与点关于直线对称． （1）尺规作图：求作直线；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）若．求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，直线即为所求． （2）连接，，设与交于点，过点作于点．由（1）知，为线段的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质可得，，，再由正方形的性质可得，，．利用勾股定理可得，则．设，则．在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得的长，最后根据，可得的值． 【小问1详解】 解：如图，连接，作线段的垂直平分线，则直线即为所求． 【小问2详解】 连接，，设与交于点，过点作于点． 由（1）知，为线段的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 24. 定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． （1）求证：四边形是“等对边四边形”； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； 【小问2详解】 解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 25. 如图1，在正方形中，点M是对角线上一点，将直角三角的直角顶点放在点M处，使直角边经过点A，另一条直角边与交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点N，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点P时，若正方形边长为4，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，结合，可得，进一步即可求证； （2）由（1）得：，可得，，证明，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形； （3）如图，过点M作于点G，设交于点H，证明，为等腰直角三角形，证明，结合，可得，结合是等腰直角三角形，可得，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图，过点M作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 同理可得：，为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市秀山中学2025-2026八年级下学期期中考试 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 4. 顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）． A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 5. 如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 长方形的周长是22 10. 如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____． 13. 对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 14. 如图，在五边形中，，分别平分、，则________． 15. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④，其中说法正确的结论有_____（填序号）． 16. 如图，中，，，点D在上，连接并延长，使，连接，若，，则的长度为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 19. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示. （1）比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0； （2）化简：． 21. 放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 22. 观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… （1）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； （3）利用（2）中的规律计算：． 23. 如图，正方形，，直线与边，分别交于点，，点在上，且点与点关于直线对称． （1）尺规作图：求作直线；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）若．求的长度． 24. 定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． （1）求证：四边形是“等对边四边形”； （2）若，求的度数． 25. 如图1，在正方形中，点M是对角线上一点，将直角三角的直角顶点放在点M处，使直角边经过点A，另一条直角边与交于点P． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点N，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点P时，若正方形边长为4，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $