精品解析：2026年山东聊城市高唐县二模数学试题

2026学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 本试卷满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 校徽是学校的专属视觉符号，能够将学校的办学宗旨、育人理念、办学特色、校风校训转化为直观的视觉符号，把抽象的校园精神落地为可感知、可铭记的标识．下列学校的校徽中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在全城翘首以盼中，2026年“惠享桃都・悦动全城”消费嘉年华启动仪式，暨肥城吾悦广场开业典礼盛大举行！根据公开信息，泰安肥城吾悦广场开业首日（4月30日）客流突破31万人次．其中数据31万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液，用酚酞试纸（或酚酞试剂）进行检验，则混合后溶液呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（ ） A. 设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B. 设该店有客房间，依题意得方程 C. 设该店有房客人，依题意得方程 D. 设该店有客房间、房客人，则 7. 如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 9. 为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是（ ） A. 当时， B. 点到的最小值为9 C. 点的纵坐标为250 D. 点在该函数图象上 10. 如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，以点为旋转中心将点逆时针旋转后，再沿轴正半轴方向平移2个单位，它的对应点的坐标是____． 13. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 14. 山西运城-泛舟禅师塔，它是中国唯一的圆形唐塔孤例，是盛唐与波斯文化交流的活化石．为了测量泛舟禅师塔的底座，小明想了这样的方法来测量；如图，做一个矩形框，边为软皮筋，将矩形框平放推至塔的底座下，使边紧贴塔底座的圆弧，顶点，抵住塔边，若矩形框的边，，则泛舟禅师塔底座直径大约为_____米．（结果精确到0.1米） 15. 如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 17. 如图，在等腰三角形中，，以点为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，连接交于点，连接． （1）判断的形状并证明； （2）若，，求的长． 18. 如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿直立于地面，即于点，小腿部分是，上身，是演员小腿上踢后与大腿在同一平面的瞬间（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知演员身高，腿． （1）若，．求证：； （2）若演员上身垂直于大腿，大腿的长为，求点，间的距离（保留根号）； （3）当演员头部距离地面的高度是时，求上身倾斜的角度． 19. 学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． （1）求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； （2）若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 20. 在“书香校园”建设背景下，山东某市教体局想了解A学校九年级500名学生周日课外阅读时长情况，从九年级随机抽取部分学生的周日课外阅读时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析得到以下4组数据： ①阅读时长在的人数占调查人数的； ②将调查的九年级学生周日课外阅读时长的数据从小到大排列，其中一部分数据如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…． ③九年级周日课外阅读时长统计表如下： 组别 频数 ④九年级周日课外阅读时长频数分布直方图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查了多少名学生？ （2）填空：_____，_____，抽取的这部分学生周日课外阅读时长的中位数是_____，并补全频数分布直方图； （3）实际调查中，九年级学生周日课外阅读时长通常不得超过分钟，估计学校九年级名学生中，周日课外阅读时长在分钟内（包括分钟）的学生共有多少人． 21. 如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 22. 综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）【观察猜想】 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则，，三点_____同一直线上（填“在”或“不在”），，，之间的数量关系是_____； （2）【积极思考】 若菱形的边长为6，和交于点，求线段的最大值； （3）【类比探究】 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，与交于点．写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． 23. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）当该二次函数图象与轴交于点时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求的值； ③二次函数的图象上有两点，，若，说明． （2）已知点，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 本试卷满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及倒数，熟练掌握数轴上有理数的表示及倒数是解题的关键；由数轴可知点A表示的数是，然后根据倒数可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是， ∴它的倒数是； 故选D． 2. 校徽是学校的专属视觉符号，能够将学校的办学宗旨、育人理念、办学特色、校风校训转化为直观的视觉符号，把抽象的校园精神落地为可感知、可铭记的标识．下列学校的校徽中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，据此即可解答． 【详解】解：A．存在一条直线能让这个图形对折后完全重合，是轴对称图形； B．不存在一条直线能让这个图形对折后完全重合，不是轴对称图形； C．不存在一条直线能让这个图形对折后完全重合，不是轴对称图形； D．不存在一条直线能让这个图形对折后完全重合，不是轴对称图形． 3. 在全城翘首以盼中，2026年“惠享桃都・悦动全城”消费嘉年华启动仪式，暨肥城吾悦广场开业典礼盛大举行！根据公开信息，泰安肥城吾悦广场开业首日（4月30日）客流突破31万人次．其中数据31万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：31万． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用积的乘方、同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式等运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解： A．，故选项 A错误； B．，故选项 B正确； C．与不是同类项，不能合并，故选项C错误； D．，故选项D错误． 5. 某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液，用酚酞试纸（或酚酞试剂）进行检验，则混合后溶液呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定所有等可能情况数以及满足条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵随机选取1个试剂瓶，共有4种等可能的结果， 其中只有溶液遇酚酞变红，满足混合后溶液变红的结果只有1种， ∴所求概率为． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（ ） A. 设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B. 设该店有客房间，依题意得方程 C. 设该店有房客人，依题意得方程 D. 设该店有客房间、房客人，则 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房间、房客人，然后根据题意列方程组并求解即可解答． 【详解】解：设该店有客房间、房客人， A．每间客房住7人时，7人无房住，可得；每间住9人时空出1间房，可得，故A选项方程组错误； B．若设客房x间，总人数不变，可列方程，故B选项正确； C．若设房客y人，房间数量不变，可得，故C选项等式错误； D．解方程组，得，解得，代入得，即，故选项D错误． 7. 如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、、，可证四边形是菱形，根据菱形的性质可以求出、，由图形可知，再根据梯形的面积公式和等边三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 点，是以为直径的半圆的三等分点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 8. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，即可判断A、B；由函数图象即可判断C、D． 【详解】解：由题意得，， 当时，则，故A正确； 当时，，故B正确； 由图象可得，水流速度越大时，水流的力越小，故C错误； 当时， 由函数图象可得，随着的增大而减小， ∴时，，故D正确． 9. 为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是（ ） A. 当时， B. 点到的最小值为9 C. 点的纵坐标为250 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作于点，当，即时，点运动到点的位置，则由题意和图象可得，即，即可判断A选项正确；当点运动到点时，最小，即，此时，从而可得，即可判断B选项正确， 在中，由勾股定理可得，，当时，点运动到点的位置，则，由等腰三角形的性质得出，求出，即可判断D选项错误；当时，点在点的位置，再由勾股定理即可判断C正确． 【详解】解：如图，作于点， 当，即时，点运动到点的位置，则由题意和图象可得，即（负值不符合题意，舍去），故A选项正确，不符合题意； 当点运动到点时，最小，即，此时， ∴（负值不符合题意，舍去），即点到的最小值为9，故B选项正确，不符合题意； 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，， 当时，点运动到点的位置，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故D选项错误，符合题意； 当时，点在点的位置，由勾股定理可得， ∴点的纵坐标为，故C选项正确，不符合题意． 10. 如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，结合三角形内角和定理即可判断①正确；证明点、、、四点共圆，即可判断②正确；利用已知条件，无法证明，即可判断③错误；延长至点，使得，证明，得出，，再证明，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴点、、、四点共圆， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 利用已知条件，无法证明，故③错误； 如图，延长至点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【解析】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答． 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，以点为旋转中心将点逆时针旋转后，再沿轴正半轴方向平移2个单位，它的对应点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．如图：过点作轴于点，过点作轴于点，再证明三角形全等后，结合全等三角形的性质和坐标平移的规律即可求解． 【详解】解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点， 轴于点， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，． ∵点， ∴，． ∵点在第三象限， ∴点的坐标为， ∴再将点沿轴正半轴方向平移2个单位的坐标为． 故答案为：． 13. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】方程有两个实数根说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为零，且根的判别式大于等于零，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴， 解得：且． ∴的取值范围是且． 14. 山西运城-泛舟禅师塔，它是中国唯一的圆形唐塔孤例，是盛唐与波斯文化交流的活化石．为了测量泛舟禅师塔的底座，小明想了这样的方法来测量；如图，做一个矩形框，边为软皮筋，将矩形框平放推至塔的底座下，使边紧贴塔底座的圆弧，顶点，抵住塔边，若矩形框的边，，则泛舟禅师塔底座直径大约为_____米．（结果精确到0.1米） 【答案】5.6 【解析】 【分析】令边紧贴塔底座的圆弧的点为，令圆的圆心为，连接，连接交于点，由题意可得，由矩形的性质可得，，，再证明四边形为矩形，得出 ，由垂径定理可得，设，则 ，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，令边紧贴塔底座的圆弧的点为，令圆的圆心为，连接，连接交于点， 由题意可得， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴，， 设，则 ， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴泛舟禅师塔底座直径大约为米． 15. 如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由直角三角形的性质可得，则．分两类讨论，当点在线段上时，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则，，，因此．由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，，则，由直角三角形的性质可得．根据垂线段最短可得，当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为；当点在线段上时，同样的方法可以计算出的最小值为，比较后得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时，如图，连接，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为； ②当点在线段上时，如图，连接，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为； 综上所述，的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 【答案】（1）7 （2）化简为，值为 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入的值计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 当时， 原式 ． 17. 如图，在等腰三角形中，，以点为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，连接交于点，连接． （1）判断的形状并证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由作图过程可得：是的平分线，是的垂直平分线．利用等腰三角形三线合一的性质可得，再利用垂直平分线的性质可得是的中点，运用直角三角形的性质可得，进而完成解答； （2）在中，解直角三角形可得，即．再利用直角三角形的性质求解即可。 【小问1详解】 解：是等腰三角形，证明如下： 由作图过程可得：是的平分线，是的垂直平分线． 平分，， ． ∵是的垂直平分线． 是的中点， 在中，为斜边的中点， （直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵在中，， ， ， ． ． 18. 如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿直立于地面，即于点，小腿部分是，上身，是演员小腿上踢后与大腿在同一平面的瞬间（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知演员身高，腿． （1）若，．求证：； （2）若演员上身垂直于大腿，大腿的长为，求点，间的距离（保留根号）； （3）当演员头部距离地面的高度是时，求上身倾斜的角度． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，可得，利用平行线的性质即可得结论； （2）连接，可得，利用勾股定理即可求解； （3）作，过点作交延长线于点，可得，利用三角函数的定义及特殊角的三角函数值可得，根据平角的定义即可得出的度数． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵演员身高，腿， ∴， ， ， 为直角三角形， 在中，． 【小问3详解】 解：如图3，作，过点作交延长线于点， ∵点距离地面的高度是 ， ， ， ， 在中，， ． 又，，共线， ， ∴上身倾斜的角度是． 19. 学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． （1）求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； （2）若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 【答案】（1）60元、40元 （2）40个 【解析】 【分析】（1）设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 当时，． 答：，两种型号文创书签的单价分别是60元和40元． 【小问2详解】 解：设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个． 根据题意，得 ， 解得． 答：最多能购买40个A型号的文创书签． 20. 在“书香校园”建设背景下，山东某市教体局想了解A学校九年级500名学生周日课外阅读时长情况，从九年级随机抽取部分学生的周日课外阅读时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析得到以下4组数据： ①阅读时长在的人数占调查人数的； ②将调查的九年级学生周日课外阅读时长的数据从小到大排列，其中一部分数据如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…． ③九年级周日课外阅读时长统计表如下： 组别 频数 ④九年级周日课外阅读时长频数分布直方图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查了多少名学生？ （2）填空：_____，_____，抽取的这部分学生周日课外阅读时长的中位数是_____，并补全频数分布直方图； （3）实际调查中，九年级学生周日课外阅读时长通常不得超过分钟，估计学校九年级名学生中，周日课外阅读时长在分钟内（包括分钟）的学生共有多少人． 【答案】（1）名 （2）；；；画图见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据阅读时长在的人数占调查人数的，人数为人，即可求得总人数； （2）数出范围内的数据的个数求得的值，进而求得的值，即可补全频数分布直方图，根据中位数的定义，求得中位数，即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵阅读时长在的人数占调查人数的，人数为人， ∴总人数为， 答：本次调查了名学生； 【小问2详解】 解：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 在范围内的数据有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，则 ∴， 第，个数据为，，则中位数为， 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计学校九年级名学生中，周日课外阅读时长在分钟内（包括分钟）的学生共有人． 21. 如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，根据平行线的性质可证，又因为点是上一点，可证是的切线； （2）连接，可得，可证，根据平行线的性质可知可证，又因为，可得，根据可得，所以点是的中点，从而可得. 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接， 中，， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ，而， ， ． 22. 综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）【观察猜想】 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则，，三点_____同一直线上（填“在”或“不在”），，，之间的数量关系是_____； （2）【积极思考】 若菱形的边长为6，和交于点，求线段的最大值； （3）【类比探究】 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，与交于点．写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． 【答案】（1）在； （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形得出，，最后证明得出，，即可得出结果； （2）设，则，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （3）由正方形的性质可得， ，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，，，证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ∴，， 是等边三角形． ，． 又在菱形中，， ，，， 为等边三角形， ，． ， ，． ． 又 ， ， ∴三点，，在同一直线上． 【小问2详解】 解：设，则， ，， ， ． 又， ， ， ， ． ，， 线段的最大值为． 【小问3详解】 解：四边形为正方形， ， ． 将绕点顺时针旋转，得到， 是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ． 23. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）当该二次函数图象与轴交于点时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求的值； ③二次函数的图象上有两点，，若，说明． （2）已知点，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①2和27；②；③见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式以及对称性计算即可得出，再利用待定系数法计算即可得出，则二次函数的解析式为，将代入二次函数的解析式计算即可得出的值；②先求出二次函数的顶点坐标为，开口向上，再分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果；③由题意可得：，，表示出，结合，得出，，整体代入所求式子计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，该二次函数的解析式为， 联立可得，再结合 ，求出，再分两种情况：当二次函数经过点时；当二次函数经过点时；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过和两点， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∵该二次函数图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数的解析式可得； ②由①可得：， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为2， ∴当时，最大值在处，为 ，最小值在处，为， ∴ ， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，最大值在处，为 ，最小值在处，为， ∵ ， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，最大值在处，为，最小值在处，为， ∴ ， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 综上所述，； ③由题意可得：，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数的图象经过和两点， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 联立可得：， ∵二次函数的图象与线段只有一个交点， ∴ ， 解得：， 当二次函数经过点时， ， 解得：， 当时，联立， 解得：或， 故当时，二次函数的图象与线段有两个交点； 当二次函数经过点时， ， 解得：， 当时，联立， 解得：或， 故当时，二次函数的图象与线段有一个交点； 综上所述，的取值范围为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $