精品解析：2025年山东省聊城市高唐县中考二模数学试题

2025学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，平方后最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，乘方运算，解题的关键是掌握比较大小的法则．先计算再比较大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 而， ∴平方后最小的数是， 故选：C 2. 六个一样的木块如图所示摆放，下列关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 它的主视图是中心对称图形 B. 它左视图是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 它的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 它的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查小正方体堆砌图形的三视图及轴对称图形和中心对称图形，掌握相关知识是解题关键．先画出该图形的三视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：该图形的主视图如下： ∴它的主视图不是中心对称图形，A不符合题意； 它的主视图既是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意； 左视图如下： ∴它的左视图是轴对称图形，也是中心对称图形，B不符合题意； 俯视图如下， ∴它的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．正确的确定的值即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 图1是猎豹奔跑的瞬间，腹部与后肢平行，图2是其示意图，若量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，如图，过作，而，可得，再进一步的利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，完全平方公式的应用，积的乘方运算，根据以上运算法则逐一计算再判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 6. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是邻补角的性质，多边形的内角和定理的应用，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴； 故选：B． 8. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的积不是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据两个转盘分别落在某个区域的数值，用列表法列出所有可能的情况，再找到两数的积不是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1，1 2，1 3，1 4，1 2 1，2 2，2 3，2 4，2 3 1，3 2，3 3，3 4，3 4 1，4 2，4 3，4 4，4 所有等可能的情况有16种，其中两个数的积的情况不是偶数有4种， ∴这两个数的积不是偶数的概率为． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，为对角线的垂直平分线，交于点，交的延长线于点．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的性质，解直角三角形求得，，进而得，根据角平分线的性质可判断项正确，不符合题意；根据三角函数判断项正确，不符合题意；进而得，，故项正确，不符合题意；根据中点与面积关系判断项错误，符合题意； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，，， ∵为对角线的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∴，故项错误，符合题意； 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形，矩形的性质是解题的关键． 10. 发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ） A. 7 B. 9 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用． 【详解】解：， ， ， ， ， 根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为， ， 的结果的个位数字为， 故答案为：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得， 解得 故答案为： 12. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算分式的减法运算，再把除法化为乘法，约分即可． 详解】解： ； 故答案为： 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据题意，得到，列出不等式进行求解即可，熟练掌握根的判别式与根的情况，进行判断即可． 【详解】解：∵有两个不相等实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板．托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．支撑板长．若，点A到底座的距离是_______ ．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先过点作，过点作的延长线于一点，结合，，得，，然后由，，代入数值进行计算得，，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作的延长线于一点，如图所示： ∴， ∴， 则点A到底座的距离的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 则， ∴， ∵， 则， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点是直线上一动点，连接，以为斜边，作直角三角形，使，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由在点、点运动过程中，；，确定点运动轨迹为直线，由点到直线距离垂线段最短计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点是直线上一动点，且点是主动点、点是从动点， 在点、点运动过程中，；； 点运动轨迹与点的运动轨迹一致，为直线， 当点与点重合时，如图所示： 当点与点重合时，如图所示： 综上所述，点的运动轨迹是直线，找出特殊位置，由两点确定一条直线，如图所示： 过点作轨迹垂线段，如图所示： 由点与直线上动点距离的最小值为过点向直线作垂线后得到的垂线段最短， 连接，以为斜边，作直角三角形，使， 在中，，，则，； 在中，，，则，； ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， 在等腰中，，则， 线段的最小值为线段的长度， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题-瓜豆原理，涉及含直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，掌握动点最值问题-瓜豆原理确定动点轨迹，数形结合是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，一元一次不等式组的解法； （1）先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零次幂，再合并即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得． 解不等式②，， 解得， ∴该不等式组的解集为． 17. 清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】（1）熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤 （2）茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． （1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶2x斤． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤． 【小问2详解】 解：设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶． 根据题意，得． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∵是整数，，且m为整数， ∴当时，y有最小值， 此时． 答：茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 18. 如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点F，先证明四边形是矩形，再根据角平分线性质得出，证明矩形是正方形，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，证明，得出，证明，得出，设，得出．根据勾股定理得出，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：如图1，过点O作于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，平分， ∴， 同理可得， ∴， ∴矩形是正方形， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，延长到点G，使，连接． 由（1）可知四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴． 在中，， ∴， 解得 （舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作出辅助线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的自变量x的取值范围； （3）如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）直接根据图象，进行求解即可； （3）先求出点坐标，平移，求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即为的值． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 由图象可知，当时，直接写出的自变量x的取值范围为：． 【小问3详解】 将代入，得， ∴点C的坐标为． ∵， ∴设直线的表达式为． 将代入，得，解得， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴， ∴． 20. 为了了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级m名学生，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下不完整的统计图． （1）根据以上信息回答下列问题： ①求m的值，并补全条形统计图； ②求抽查学生每周平均课外阅读时间为2小时的扇形圆心角度数． （2）求出这组数据的众数、中位数和平均数． （3）学校提倡九年级学生每人每周课外阅读时间不低于3小时，若该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中达到学校要求标准的学生有多少人？ 【答案】（1）①，图见解析；② （2）众数为3小时，中位数是3小时，平均数小时 （3）估计该校九年级学生中达到学校要求标准的学生有700人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数和用样本估计整体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）①根据扇形统计图中“课外阅读时间为1小时的所在扇形的圆心角的度数为”，求出其占百分比，结合条形统计图中的数据即可求出的值；根据抽取的样本总量减去其它几组的人数得课外阅读3小时的人数，据此补全条形统计图； ②由条形统计图可知课外阅读2小时人数，再结合总人数即可求出课外阅读2小时所占百分比，可求出其圆心角度数； （2）根据中位数，众数和平均数的定义判断即可； （3）用1200乘以样本中每人每周课外阅读时间不低于3小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：①． 阅读时间为3小时的人数为 （人）． 补全条形统计图如图所示． ②圆心角度数为； 【小问2详解】 解：出现次数最多的时间是3小时，所以众数为3小时， 60个数按照从小到大的顺序排列，位于第30个和第31个的数据是3小时，所以中位数是3小时， 平均数 （小时）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校九年级学生中达到学校要求标准的学生有700人． 21. 如图，是的弦，P是圆上一动点，连接，作，交的延长线于点Q，点C为上一点，且满足． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，弦的长等于的半径，当的值最大时，求的长度． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定及与圆相关的线段长度计算，解题关键是利用圆的性质、三角形相似及全等的判定与性质进行推理计算． （1）连接并延长交圆于，连，利用同弧所对圆周角相等得,由直径所对圆周角是直角，得，推出. 结合，等量代换得到，根据切线判定得出为圆的切线． （1）先证是等边三角形，得出，在中求的值。 利用两角相等证，得出与关系，确定为直径时最大并求值。证得，再通过角的关系证，从而得出并计算出长度． 【小问1详解】 证明：如图1，连接并延长，交于点D，连接，则． ∵为的直径． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∵为的直径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图1，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴ 在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当经过圆心O时，取得最大值，为． 如图2，连接，．在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 22. 【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】 （3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 【答案】（1） （2）详见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）延长至点H，使得，连接，证得，，进而再证即可； （3）结论：．证明，在中，，由此可得结论． 【详解】解：（1）延长到E，使得；连接， ∵点为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2： 则， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：延长到G使，连接． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求证：该抛物线的顶点在第一象限． （2）若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． （3）在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式； （1）由抛物线的对称轴是直线，可得，可得，再进一步计算即可得到结论； （2）①把代入即可得到解析式；②由交点的含义可得，可得，进一步计算，再进一步建立不等式解题即可； （3）由离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．结合抛物线上有两点和，且，再建立不等式解题即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴抛物线与x轴有两个交点． 又∵抛物线的对称轴是直线且抛物线开口向下， ∴该抛物线的顶点在第一象限． 【小问2详解】 解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小． ∵抛物线上有两点和，且， ∴， ∴， 解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，平方后最小的数是（ ） A B. C. D. 2. 六个一样的木块如图所示摆放，下列关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 它的主视图是中心对称图形 B. 它的左视图是轴对称图形，但不是中心对称图形 C. 它的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 它的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图1是猎豹奔跑的瞬间，腹部与后肢平行，图2是其示意图，若量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（ ） A. B. C. D. 7. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则（ ） A B. C. D. 8. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的积不是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为对角线的垂直平分线，交于点，交的延长线于点．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ） A. 7 B. 9 C. 3 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则x的取值范围是_________． 12. 化简：_____． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 14. 图1所示的手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，图2是其侧面结构示意图．已知托板．托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．支撑板长．若，点A到底座的距离是_______ ．（结果精确到，参考数据：） 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点是直线上一动点，连接，以为斜边，作直角三角形，使，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 18. 如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． （1）求证：； （2）若，求长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的自变量x的取值范围； （3）如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值． 20. 为了了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级m名学生，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下不完整的统计图． （1）根据以上信息回答下列问题： ①求m的值，并补全条形统计图； ②求抽查的学生每周平均课外阅读时间为2小时的扇形圆心角度数． （2）求出这组数据的众数、中位数和平均数． （3）学校提倡九年级学生每人每周课外阅读时间不低于3小时，若该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中达到学校要求标准的学生有多少人？ 21. 如图，是的弦，P是圆上一动点，连接，作，交的延长线于点Q，点C为上一点，且满足． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，弦的长等于的半径，当的值最大时，求的长度． 22. 【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】 （3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求证：该抛物线顶点在第一象限． （2）若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． （3）在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$