精品解析：2026年山东省济南市槐荫区二模数学试题

2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则从上面观察该几何体得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；③作射线交于点；④分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点；⑤作直线，分别交、于点、．依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. 16 C. 28 D. 32 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 3的算术平方根是___． 12. 如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 13. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为______． 15. 如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 求不等式组的解集，并写出所有的整数解． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 19. 如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂 ，中臂 ，底座 ． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座夹角，上臂与中臂夹角，如图3，计算此时点到地面的距离．（精确到0.1 ，参考数据：，） 20. 如图，内接于，是的直径，点为延长线上的一点，连接，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为___，图①中m的值为___，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数和中位数分别为____和____； （2）求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？ 22. 某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． （1）求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 23. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 24. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 25. 二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）如图1，求二次函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，点为线段下方二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交于，点为线段上一点，满足，过点作轴的平行线交于点，当时，求点的坐标； （3）如图3，点坐标为，点、分别为线段、上的点，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则从上面观察该几何体得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看到的图形判定则可． 【详解】解：从上面看，得到的图形是两行，其中第一行为2个小正方形，第二行是一个小正方形，选项C中的图形比较符合题意． 故选：C． 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方法则及同底数幂除法法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方法则及同底数幂除法法则依次计算判断． 【详解】解：A、不是同类项不能合并，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，掌握不等式的三个基本性质是关键；由数轴得，再利用不等式的三个基本性质判断． 【详解】解：由数轴得， 由不等式的基本性质1得：，， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 6. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、如图： ∵，， ∴，和不互余，故本选项不符合题意； B、， ∴和互余，故本选项符合题意； C、∵， ∴和不互余，故本选项不符合题意； D、∵， ∴和互补，而不互余，故本选项不符合题意． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 8. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先运用列表法确定所有等可能结果数以及两人选择同一门课程的结果数，然后再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设四门课程“绘画”“声乐”“陶艺”“书法”分别记为，，，． 根据题意列表如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 则共有16种等可能结果，其中两人选择同一门课程的结果有种，则两人选择同一门课程的概率为． 9. 如图，在中，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；③作射线交于点；④分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点；⑤作直线，分别交、于点、．依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. 16 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设与交于点O，由作法得：平分，垂直平分，证明，可得，，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点O， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积是． 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 3的算术平方根是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：3的算术平方根是，故答案为． 考点：算术平方根． 12. 如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式，即所求概率等于阴影区域面积与大正方形面积的比值，先根据正方形的性质得出阴影部分的面积与大正方形面积的关系，再计算比值得到结果． 【详解】解：如图，大正方形的对角线相交于点O， ∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为． 13. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，弧长公式计算即可； 【详解】解：因为正六边形的一个外角为：， 故， 因为正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧， 故的长度为：； 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为，     点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转到，连接，过点作交延长线于点，连接，易证 均为等边三角形，推出 ，当 五点共线时， 有最小值，为定值，可得有最小值，最小值为 ，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接，过点作交延长线于点，连接， 则 ，， ∴ 均为等边三角形， ∴， ∴ ， 当 五点共线时， 有最小值， ∵为定值， ∴ 有最小值，即有最小值，最小值为 ， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式． 17. 求不等式组的解集，并写出所有的整数解． 【答案】不等式解集为，整数解为：，0，1． 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， 不等式解集为， ∴整数解为：，0，1． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，，再求得，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂 ，中臂 ，底座 ． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座夹角，上臂与中臂夹角，如图3，计算此时点到地面的距离．（精确到0.1 ，参考数据：，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）点到地面的距离约为1.6 ． 【解析】 【分析】（1）延长交于，求出，过点作，根据进行解答即可； （2）过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，求出，过点作，根据进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于， ∵上臂与水平面平行，底座与水平地面垂直， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ∴四边形是矩形， ， 答：点到地面的距离为； 【小问2详解】 如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 过点作， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴此时点到地面的距离约为1.6 ． 20. 如图，内接于，是的直径，点为延长线上的一点，连接，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据切线的判定即可证明结论； （2）求出，再证明，则，求出，再根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， 即， ， 即 ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 21. 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为___，图①中m的值为___，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数和中位数分别为____和____； （2）求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？ 【答案】（1）40，20，6，6 （2）6.1 （3）125 【解析】 【分析】（1）根据天的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和5天的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，假期参加社区服务的时间是8天的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，6出现了12次，次数最多， 众数是6， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的数据值都是6， 中位数是． 【小问2详解】 观察条形统计图， ， 统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是6.1． 【小问3详解】 在所指取的样本中，假期参加社区服务的时间是8天的学生人数占， 根据样本数据，估计该校八年级500名学生中，假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约占，有． 估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约为125． 22. 某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． （1）求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】（1）型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 （2）有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【解析】 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； 【小问2详解】 解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 23. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，把代入求出点的纵坐标即可； （2）求出直线的函数表达式是，求出，得到 ，设直线与轴交于点，求出，根据 即可求出答案； （3）分四边形为矩形和四边形为矩形两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； 【小问2详解】 设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设点， 、 ， ， ， ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 24. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1）； （2）一致；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【小问1详解】 解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 25. 二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）如图1，求二次函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，点为线段下方二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交于，点为线段上一点，满足，过点作轴的平行线交于点，当时，求点的坐标； （3）如图3，点坐标为，点、分别为线段、上的点，且满足，求的最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再令即可求出点的坐标； （2）证明 ，求出，求出直线的表达式为：，设，得到 ，解方程即可求出答案； （3）以为斜边在轴下方构造等腰直角，证明，，得到 ，过点作 ，且 ，连接、，证明，则当点、、共线时，有最小值为，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线表达式得：， 由得： ， 得， ， 把代入得：． ， 将代入得：， ； 【小问2详解】 解： ∴ 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将、代入得， ， ∴直线的表达式为：， 设， ， ， ， ，， 或； 【小问3详解】 解：如图，以为斜边在轴下方构造等腰直角， ，， ， ， ， ， 过点作 ，且 ，连接、， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， 当点、、共线时，有最小值为， ，， ， ， ， ， 的最小值为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $