精品解析：辽宁抚顺市东洲区2025-2026学年下学期期中限时训练 八年级数学

2025—2026学年下学期期中限时训练 八年级数学 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ） A. 小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B. 小红在图书馆看书用了分钟 C. 超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D. 从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 9. 如图，在长方形中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 3 10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为x，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（ ） A. 72 B. 84 C. 86 D. 96 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：的结果为______． 12. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 13. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点C，D分别是，的中点．若，则该工件内槽宽的长为_______． 14. 如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为5的正方形； （3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形． 18. 如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像． （1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ （2）如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 19. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间 开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为米． ②测得牵线放风筝的手的位置处到地面的距离为米； （备注：点，，，在同一平面内．） 问题解决 （1）如图，根据手中余线长度，计算出段风筝线的长度为米，求风筝离地面的垂直高度（提示：过点作于点） （2）如图，在任务一的基础上，，若要使风筝沿射线方向再上升米，即米，线段的长度不变，手中剩余的风筝线是多少米时，才能成功？并说明理由． 21. 着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形的长； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 22. 在菱形中，，动点在边上，连接，． （1）如图，若，，求的长； （2）如图，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，延长到点，使得，连接．补全图形，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图，若，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的面积． 23. 在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中限时训练 八年级数学 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】由题意得，， ∴， 故选：B． 2. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则可直接进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，正确，故符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选：C． 5. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 6. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 7. 由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ． 故甲树原来的高度是． 故选：C． 8. 如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ） A. 小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B. 小红在图书馆看书用了分钟 C. 超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D. 从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键． 根据图象，可得从家到图书馆，图书馆到超市的距离以及相应的时间，根据路程、速度与时间的关系，可得答案． 【详解】解：由题意得： 小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米，故选项A说法正确，不符合题意； 小红在图书馆看书用了：分钟，故选项B说法正确，不符合题意； 超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是：千米分钟，故选项C说法正确，不符合题意； 从图书馆到超市用了：分钟，图书馆离超市有：千米，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在长方形中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识点，灵活利用矩形的性质、运用勾股定理列方程求解成为解题的关键． 根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解得到DE的长即可． 【详解】解：如图:∵点F在的垂直平分线上， ∴； ∵， ∴， ∴， 设为y，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，即的长为． 故选B． 10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为x，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（ ） A. 72 B. 84 C. 86 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】先分析图象和运动过程，结合点可求出，，再根据勾股定理求出，然后结合当时的运动特点可得，最后根据矩形的面积公式得出答案． 【详解】解：观察函数图象可知当点P运动到点E时，，，， 过点E作于点H， 可知， 解得． 根据勾股定理，得； 当时，点P到达点D，运动停止， ∴， 解得， ∴， 所以矩形的面积是． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：的结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出正八边形内角和，然后再除以8即可得出答案． 【详解】解：∵是一个正八边形， ∴正八边形的每个内角为：， 即． 13. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点C，D分别是，的中点．若，则该工件内槽宽的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，利用三角形中位线定理“斜边中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵点，分别是，的中点，  ∴为的中位线，  ∴，  ∵，  ∴（）． 14. 如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 15. 如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于点，作轴于点，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可. 【详解】解：连接，作轴于点，作轴于点， ∵， ∴， ∴ ， ∵菱形， ∴ ， ， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点的坐标为. 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）化简二次根式，然后按照二次根式的加减运算法则进行计算即可； （2）先运用平方差公式、二次根式的除法法则、积的乘方进行去括号、化简，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的化简和计算；正确化简二次根式是解题的关键． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中，画一个面积为5的正方形； （3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）画一个底为3，高为2的平行四边形即可； （2）画一个边长为的正方形即可； （3）根据定理进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理与网格，熟知相关知识是解题的关键． 18. 如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像． （1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ （2）如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 【答案】（1）通话1分钟，要付电话费元；通话5分钟，要付电话费元 （2）通话4分钟的电话费是元 【解析】 【分析】（1）观察图像，可得答案； （2）把代入关系式，即可解答． 【小问1详解】 解：观察图像，可知当时，；当时，， 通话1分钟，要付电话费元，通话5分钟要付元； 【小问2详解】 解：当时， ， 通话4分钟的电话费是元． 【点睛】本题考查了从图像中获取信息，求因变量的值，仔细观察得到所要的数据是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间 开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为米． ②测得牵线放风筝的手的位置处到地面的距离为米； （备注：点，，，在同一平面内．） 问题解决 （1）如图，根据手中余线长度，计算出段风筝线的长度为米，求风筝离地面的垂直高度（提示：过点作于点） （2）如图，在任务一的基础上，，若要使风筝沿射线方向再上升米，即米，线段的长度不变，手中剩余的风筝线是多少米时，才能成功？并说明理由． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米 （2）剩余线等于或者多于米能成功，见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先证明四边形是矩形，再结合矩形性质，以及勾股定理求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长，再与的长进行比较判断，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， 则米，米，． （米） （米）； 所以，风筝离地面的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：剩余线等于或者多于米能成功． 理由如下： 米， （米）． 在中，（米）， 米， 余线（米）， 剩余线等于或者多于米能成功． 21. 着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形的长； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化，进行化简即可； （2）根据黄金矩形的定义，进行求解即可； （3）求出新的矩形的宽与长的比，即可得出结论. 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长为． 【小问3详解】 证明：由裁剪可知：； 由（2）可知：， ， ， ∴矩形是黄金矩形． 22. 在菱形中，，动点在边上，连接，． （1）如图，若，，求的长； （2）如图，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，延长到点，使得，连接．补全图形，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图，若，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 延长到点，使得，连接， 点是的中点， ． 又∵， ， ． ， ． ， ， ， ． 菱形中，， ，， ， ， ， ． ，， ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）首先得到，然后利用勾股定理求解； （2）延长到点，使得，连接，首先证明，得到，然后证明，得到； （3）过点作于点，在上截取，根据垂线段最短得，当时，最小，此时点与点重合，点与点重合，利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ． ， ， ，（舍去）， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，在上截取 根据垂线段最短得，当时，最小，此时点与点重合，点与点重合， 菱形中，， ，，， ，． ， ∴， 此时，． 菱形的边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ， ． 23. 在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）①见解析；②此函数的对称轴为直线（符合要求的一条性质即可）；③ （2）若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）①列表，描点，连线画出函数图象；②根据图象写出一条性质即可；③直接通过图象即可得出结果； （2）根据平移规则即可得出结果； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：列表得， … … … … 描点连线得，如图即为的图象． ②由图可知：此函数的对称轴为直线；（符合要求的一条性质即可） ③由图可知：当时，的取值范围是； 【小问2详解】 解：若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到． 【小问3详解】 解：当时， 在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∴ ， ∴． 当时， 在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴ ， ∴． 当时， 在对称轴最小值为，与题意不符，舍去． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $