第6讲 函数的概念及其表示讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示，覆盖定义域、解析式、分段函数等核心考点，按“基础概念网络化-题型基础化-考点系统化”架构知识，通过基础知识复习、实战自测、分考点例题剖析与训练、课堂总结等环节，帮助学生构建函数知识体系，突破定义域求解、解析式求法等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学眼光的培养，如抽象函数定义域通过换元法训练抽象能力，分段函数结合方程不等式培养推理意识。设置基础自测、真题改编例题及分层训练，确保高效突破考点，助力学生提升函数问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

备课时间 第（ ）周星期（ ） 授课时间 第（ ）周星期（ ）2.1 函数的概念及其表示 课 题 总第 课时 教学 目标 1.了解构成函数的三要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.理解简单的分段函数,并能简单应用. 课 型 复习课 关键内容 & 内容提要 T 方法&策略 反思&评价 1、 基础知识复习，知识网络化 函数的概念及其表示 2、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　) (5)f(x)＝是一个函数.(　　) (6)若A＝R,B＝{x|x>0},f:x→y＝|x|,其对应是从A到B的函数.(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)× (5)×　(6)× 2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.u＝ C.y＝ D.m＝ 3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y＝的定义域为　　　　. 4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝　　　　.  3、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　求函数的定义域 角度1　求具象函数定义域 例1 (2026·重庆质检)函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[1,4] B.[1,4) C.[1,＋∞) D.[2,4) 训练1 (1)函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) (2)函数f(x)＝＋的定义域为:__________. 角度2　求抽象函数定义域 例2 已知函数f(x－1)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________________ 训练2 (2026·承德调研)函数f(x＋1)的定义域为[－2,2],函数g(x)＝,则g(x)的定义域为　　　　. D.x2-x1>4 考点二　求函数的解析式 例3 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式; (2)已知f＝x2＋,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式; (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x,求f(x)的解析式. 训练3 (多选)下列命题中正确的有(　　) A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞) C.若f＝x3－,则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例4 (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 角度2　分段函数与方程、不等式 例5(1)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1),则m＝_______ (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为　　　　.  训练4 若函数f(x)＝则f(f(8))＝(　　) A．lg 2 B．0 C．lg 3 D．lg 4 训练5 （1）函数f(x)＝若f(0)＋f(a)＝2，则a的值为__________． （2）设函数f(x)＝则满足f<f的x的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 4、 课堂梳理总结，任务条理化 板书设计 2.1 函数的概念及其表示 一、核心概念 1. 函数定义：集合对应观点 2. 三要素：定义域、值域、对应关系 3. 同一函数判定条件 二、定义域求解 分式、根式、复合函数定义域规则 三、函数表示法 解析式法、列表法、图象法 四、常用区间表示 五、典型题型：求定义域、求解析式、函数辨析 反思&评价 本节课复习函数概念与表示方法，学生基本掌握基础定义与常规定义域求法。但求解复合函数定义域时思路混乱，求解析式的各类方法运用不够熟练，也易忽略函数相等的判定细节。后续将针对易错题型专项训练，拆解解题步骤，强化概念辨析，帮助学生理清逻辑，夯实函数入门基础. 参考答案 5、 基础知识复习，知识网络化 函数的概念及其表示 6、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　) (5)f(x)＝是一个函数.(　　) (6)若A＝R,B＝{x|x>0},f:x→y＝|x|,其对应是从A到B的函数.(　　) 【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× (5)×　(6)× 2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.u＝ C.y＝ D.m＝ 【答案】 B 【解析】函数y＝()2,m＝和y＝x的定义域不同,不是同一个函数;函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同,也不是同一个函数. 3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y＝的定义域为　　　　. 【答案】 [－3,0)∪(0,＋∞) 【解析】由 故函数的定义域为[－3,0)∪(0,＋∞). 4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝　　　　.  【答案】 【解析】因为f(－3)＝＝0,所以f(f(－3))＝f(0)＝. 7、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　求函数的定义域 角度1　求具象函数定义域 例1 (2026·重庆质检)函数f(x)＝的定义域是(　　) A.[1,4] B.[1,4) C.[1,＋∞) D.[2,4) 【答案】 B 【解析】由题意知,函数f(x)＝有意义, 需满足解得1≤x<4, 故f(x)＝的定义域为[1,4). 训练1 (1)函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) 【答案】 【解析】 (2)函数f(x)＝＋的定义域为:__________. 【答案】 {x|0＜x＜1} 【解析】要使函数有意义，则必须满足∴0＜x＜1， 故定义域为{x|0＜x＜1}. 角度2　求抽象函数定义域 例2 已知函数f(x－1)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________________ 【答案】 【解析】因为f(x－1)的定义域为(－1，0)，即－1＜x＜0，所以－2＜x－1＜－1，故f(x)的定义域为(－2，－1)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－2＜2x＋1＜－1，解得－＜x＜－1.所以所求函数的定义域为. 训练2 (2026·承德调研)函数f(x＋1)的定义域为[－2,2],函数g(x)＝,则g(x)的定义域为　　　　. 【答案】 ∪(2,4] 【解析】由于f(x＋1)的定义域为[－2,2],故x∈[－2,2],则x＋1∈[－1,3], 因此g(x)＝ 解得<x≤4且x≠2, 故定义域为∪(2,4]. 考点二　求函数的解析式 例3 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式; (2)已知f＝x2＋,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式; (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x,求f(x)的解析式. 【答案】 见解析 【解析】(1)(换元法)　设1－sin x＝t,t∈[0,2], 则sin x＝1－t, ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x, ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2,x∈[0,2]. (2)(配凑法)　∵f＝x2＋＝－2, ∴f(x)＝x2－2,x∈(－∞,－2]∪[2,＋∞). (3)(待定系数法)　∵f(x)是一次函数, 可设f(x)＝ax＋b(a≠0), ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17, ∴ ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法)　∵2f(x)＋f(－x)＝3x,① ∴将x用－x替换, 得2f(－x)＋f(x)＝－3x,② 由①②解得f(x)＝3x. 训练3 (多选)下列命题中正确的有(　　) A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞) C.若f＝x3－,则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x 【答案】 BCD 【解析】对于A,设f(x)＝kx＋b(k≠0), 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b, 因为f(f(x))＝4x＋3, 所以解得 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误; 对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0), 则f(t)＝(log3t)2＋4log3t,t>0, 故函数的定义域为(0,＋∞),B正确; 对于C,f＝x3－＝ ＝,且x－的取值范围是R, 所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确; 对于D,由f(x)＋2f＝3x,用替换x,得f＋2f(x)＝, 联立解得f(x)＝－x,D正确. 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例4 (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 B 【解析】将x＝－1代入, 得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0, 所以f[f(－1)]＝f(0), 将x＝0代入,得到f(0)＝e0＋ln 1＝1. 因此,f[f(－1)]＝f(0)＝1. 角度2　分段函数与方程、不等式 例5(1)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1),则m＝_______ (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为　　　　.  【答案】 (1)C　(2)(－∞,2] 【解析】(1)由题意可知m>0, 当0<m<1时,m＋1>1, 由f(m)＝f(m＋1),得＝3m,得m＝; 当m≥1时,m＋1>1,由f(m)＝f(m＋1), 得3(m－1)＝3m,无解. 综上,m＝. (2)由题意可知,当x≤0时,0<2x≤1, 故f(x)＝1－2x<1,满足题意; 当x>0时,令log3(x＋1)≤1, 即0<x＋1≤3,解得－1<x≤2,所以0<x≤2. 综上,x≤2. 训练4 若函数f(x)＝则f(f(8))＝(　　) A．lg 2 B．0 C．lg 3 D．lg 4 【答案】 A 【解析】由题意知f(8)＝f(－8)－1＝lg[2－(－8)]－1＝0，故f(f(8))＝f(0)＝lg 2.故 训练5 （1）函数f(x)＝若f(0)＋f(a)＝2，则a的值为__________． 【答案】 0或1 【解析】 ∵f(x)＝∴f(0)＝20＝1， 当a>0时，f(a)＝a－ln a； 当a≤0时，f(a)＝2a，∴1＋2a＝2或1＋a－ln a＝2， 解得a＝0或a＝1. （2）设函数f(x)＝则满足f<f的x的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有解得x<0，所以满足f<f的x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $