精品解析：广东龙川第一实验学校2025-2026学年下学期期中考试七年级数学

2025－2026年度龙川第一实验学校期中 七年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛出的篮球不会下落 B. 买一张电影票，座位号是奇数 C. 早晨太阳从东方升起 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为6 2. 下列四个图中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 6. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（ ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A. B. C. D. 7. 小明的作业本上不小心洒上了墨水：□ ，则被墨水遮盖的部分应是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 9. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 10. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 13. 在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 14. 如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 15. 如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是______． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，直线与相交于点，为直线上一点（不与点重合）． （1）用尺规过点作直线，使与 成为同旁内角（不写作法，保留作图痕迹）； （2）当 时，求的度数． 18. 如图，在中，D，E分别为边上的点，连接交于点F．已知，，求的度数． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 （1）从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； （2）在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 21. 如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 23. 综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026年度龙川第一实验学校期中 七年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 抛出的篮球不会下落 B. 买一张电影票，座位号是奇数 C. 早晨太阳从东方升起 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为6 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是一定会发生的事件，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A．抛出的篮球受重力作用一定会下落，“抛出的篮球不会下落”是不可能事件，不符合题意； B．买一张电影票，座位号可能是奇数也可能是偶数，“座位号是奇数”是随机事件，不符合题意； C．早晨太阳一定从东方升起，这是一定会发生的事件，是必然事件，符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，点数可能为1到6中任意一个，“掷出点数为6”是随机事件，不符合题意． 2. 下列四个图中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键，根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可． 【详解】解：A、图形中的与互补，不能判断是否相等，故本选项不符合题意； B、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； C、图形中的与是对顶角，能判断相等，故本选项符合题意； D、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的乘方运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数. 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴. 5. 如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故选C． 6. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（ ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用丑时在流星雨时段内的时长除以流星雨的总时长，得到所求概率． 【详解】解：首先计算流星雨的总时长： ∵流星雨的时段为当日到次日， ∴总时长为小时； 由表格可知，丑时对应的时段为次日 ，全部属于流星雨的观测时段， ∴丑时的时长为小时； 因此流星雨出现在丑时的概率． 7. 小明的作业本上不小心洒上了墨水：□ ，则被墨水遮盖的部分应是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据除法各部分的关系，被除数等于商乘除数，利用单项式乘多项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设被墨水遮盖的多项式为， ∵ ， ∴ ． 8. 如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行， 故选：C． 9. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先将等式左边展开，根据多项式相等对应系数相等，得到和的值，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解： ， 又 ， 对应系数相等，可得，， 由完全平方公式变形得， 代入计算得． 10. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据科学记数法的定义，将数表示为，其中，为整数，将转换为科学记数法，先依次确定和，再按科学记数法表示即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将转换时，，小数点向右移动了位， ∴， ∴． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 13. 在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出最大内角的度数，再根据三角形按角分类的规则判断三角形的形状． 【详解】解：设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， 因此最大角 ， 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形是钝角三角形． 14. 如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先根据法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后，根据项的系数为列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：展开并化简多项式乘积： ， ， ， 乘积化简后项的系数为， ，化简得，解得． 15. 如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是______． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 17. 如图，直线与相交于点，为直线上一点（不与点重合）． （1）用尺规过点作直线，使与 成为同旁内角（不写作法，保留作图痕迹）； （2）当 时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线作法作图，再根据同旁内角的定义确定点和点在同侧； （2）根据平行可得，再结合邻补角求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 18. 如图，在中，D，E分别为边上的点，连接交于点F．已知，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理以及角的数量关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ∴． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ； ∵ ， ∴原式 ． 20. 某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 （1）从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； （2）在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 【答案】（1）①随机，②3 （2）选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性 【解析】 【分析】（1）①结合题中描述即可判断；②由“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，列式求出即可得到值； （2）根据题意，分别求出（筒中没有混入次品羽毛球）、（筒中混入1个次品羽毛球）、（筒中混入2个次品羽毛球），比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由题中描述可知，“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件； ②“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为， ，解得， 则； 【小问2详解】 解：由题意得（筒中没有混入次品羽毛球）， （筒中混入1个次品羽毛球）， （筒中混入2个次品羽毛球）， ， 选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性． 21. 如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用． （1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）40；（3）15 【解析】 【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1，用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2，据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可； （3）先计算S3＝（a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算，属于常见题型，熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键． 23. 综合与实践 如图，已知为钝角，点分别在射线，上，在内部分别过点作射线，在内部过点作射线． 【感知模型】 （1）如图1，若平分，猜想与的数量关系，并说明理由； 【数学思考】（2）如图2，若不是的平分线，直接写出，和之间的数量关系； 【深入探究】 （3）如图3，作的平分线，交于点，过点作的平行线交于点，的平分线交射线于点，点与点不重合．请补全图形，若，则的度数为______°．（用含的式子表示） 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-作角的平分线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．由平行线的性质得，，利用等角的补角相等证明； （2）结论：．利用平行线的判定和性质证明即可； （3）过点E作．证明得，由平分得，由得，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点P作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3中，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $