精品解析：广东省河源市龙川县紫市中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

紫市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中的轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 杨絮，又名大叶杨花絮．据《本草纲目》记载，杨絮具有清热解毒、益肝明目等功效，杨树果实将要成熟时，果实开裂，杨絮四处飞扬，飘在大街上会让人呼吸道不畅，因此，行道树禁止种植杨树，建议种其他树种．据测定，某种杨絮纤维的直径约为，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进而求解． 【详解】∵， 故选B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，正确确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则法则逐项分析即可． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如果三角形的两边长分别为厘米、厘米，那么第三边的长不可能是（ ） A. 厘米； B. 厘米； C. 厘米； D. 厘米． 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形三边关系即可得到答案. 【详解】设第三边长，根据三角形的三边关系，得， 因为厘米不在第三边长的取值范围内，所以不能取. 故选：. 【点睛】此题考查三角形三边关系：三角形任意一边都大于另两边的差，小于另两边的和，由此即可列得关于第三边的不等式解决问题. 5. 三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（ ） A. 由，，，得 B. 由，，，得 C. 由，，，得 D. 由，，，得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 6. 将三角尺按照如图所示的方式摆放，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行，同位角相等得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质和邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7. 朱师傅从家骑单车到学校，当他骑行一段时间后，想到去商店买材料，于是又折回到刚刚经过的商店，购买完材料后朱师傅继续骑行前往学校．以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题．下列说法错误的是（ ） A. 朱师傅家到学校的路程是1600米 B. 朱师傅在商店停留了4分钟 C. 本次上学途中，朱师傅一共行驶了2280米 D. 若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个去学校的途中，朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患 【答案】C 【解析】 【分析】A．根据函数图象的纵坐标，可得答案； B．根据函数图象的横坐标，可得到达商店时间，离开商店时间，根据有理数的减法，可得答案； C．根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； D．根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 【详解】解：A．根据图象可得，朱师傅家到学校的路程是1600米，故本选项不合题意； B．根据题意，朱师傅在商店停留了10−6＝4（分钟）；故本选项不合题意； C．一共行驶的总路程＝960＋（960−320）＋（1600−320）＝960＋640＋1280＝2880（米）；故本选项符合题意； D．由图象可知：0～4分钟时，平均速度＝＝240（米/分）， 4～6分钟时，平均速度＝＝320（米/分）， 10～14分钟时，平均速度＝＝320（米/分）， 所以朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患．故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 8. 如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高的定义，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得： ， 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 【答案】C 【解析】 【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定； B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定； C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定. 【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，所以B选项的结论正确； ∵∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误． 故选C． 【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算. 10. 社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ，  ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ，  ， 点到两小区送奶站距离之和最小．    故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角进行计算即可． 【详解】解：这个角的是90°-25°=65°， 故答案为：65°． 【点睛】此题主要考查了余角，解题的关键是明确两个角互余，和为90°． 12. 已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，若这两个三角形全等，则xy的值为__． 【答案】或9 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可，注意分类讨论． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴或 解得：或， 则或， 故答案为：或9． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 13. 如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则的度数为______ 【答案】##70度 【解析】 【分析】连接，根据，得到，同理得到，结合角平分线即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及角平分线有关计算，解题的关键是作出辅助线． 14. 若代数式是一个完全平方式，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式：，即可． 【详解】∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式：． 15. 如图，，交于点O，于O，连接，，则______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据对顶角相等，得到，由，得到，代入即可求解， 本题考查了，对顶角相等，求一个角的余角，解题的关键是：熟练掌握相关性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）（运用乘法公式计算）． 【答案】（1）-6；（2）1 【解析】 【分析】（1）先算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和平方运算，再算加减法，即可求解； （2）利用平方差公式，即可求解． 【详解】解：（1）原式= =-6； （2）原式= = =1． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握平方差公式以及零指数幂，负整数指数幂的性质是解题的关键． 17. 如图，已知：，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】略 18. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作的垂直平分线分别交于点D和点E，（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，当时，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，连接两个交点，与相交于点D，于相交于点E，即为所求； （2）根据等边对等角可得，再根据垂直平分线的性质得出，则，最后列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，等腰三角形等边对等角． 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】因已知条件给出得是不定方程，所以用 “整体代入法”即可，也可以把已知条件中一个未知量用另一个来表示，使用消元法． 【详解】解：方法一： 化简 将代入上式： 方法二： 由变形得： 将代入 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了整式乘法运算及代数式求值，已知条件为二元不定方程给代入求值设置了障碍，所以解题关键是要用“整体代入法”或“消元法”． 20. 一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ （3）如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】（1）反映了所挂物体的质量与弹簧的长度两个变量之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 （2）弹簧不挂物体时的长度是，随着x增大，y逐渐增大，y与x的关系式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格即可确定两个变量之间的关系； （2）根据表格可知，x每增加，弹簧长度增加，即可求出y与x的关系式； （3）将代入函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可得，上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； 【小问2详解】 解：∵当所挂物体质量时，弹簧长度， ∴弹簧不挂物体时的长度是． 观察表格可知，x每增加，y增加， ∴随着x增大y逐渐增大. 结合弹簧原长可得y与x的关系式为； 【小问3详解】 解：∵，符合挂重要求， 把代入得，，  答：当挂重为时，弹簧的长度是． 21. 如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） （1）上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项） A. a-ab=a（a-b） B.a-2ab+b=（a-b） C. a+ab=a（a+b） D. a-b=（a+b）（a-b） （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b= ②计算： 【答案】（1）D （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可． （2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积． ． 故选D． 【小问2详解】 解：①，3a+b=9， ， ． 故答案为：4． ② ． 【点睛】本题主要考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键． 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，将绕点C逆时针旋转，使线段的对应线段恰好经过点B，得到图2，线段与相交于点D． 初步分析：（1）判断的形状，并说明理由； 深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的沿射线的方向平移得到（点E，F，C分别是点B，D，C的对应点），线段，分别与边相交于点M，N． ①如图3，当点M恰好是线段的中点时，他们发现，请证明这个结论； ②若，当点N恰好是线段的中点时，请直接写出平移的距离． 【答案】 （1）是等边三角形，理由如下： ，， ， 由旋转得：， ， 是等边三角形； （2）①证明：如图，连接， 是等边三角形， ， 由旋转得：， ， ， 由平移得：， ， ， ， ， 点M恰好是线段的中点， ， ， 在和中， ， ()， ； ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，即可求解； （2）①连接，由直角三角形的特征得，由可判定，即可得证；②设，由勾股定理得 ，同理可求出，从而可求出，求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：设， 是的中点， ，， 由①得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 由平移得：， ， 解得：， ， ， ； 故平移的距离为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，作出恰当的辅助线构建三角形全等，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 23. 阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：___________； 依据2：___________． （2）如图3，，则的取值范围是___________； （3）如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），三角形任意两边之和大于第三边 （2） （3） 与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系可得出答案； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，由，，推出，证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 依据1：； 依据2：三角形任意两边之和大于第三边； 故答案为：，三角形任意两边之和大于第三边； 【小问2详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵是边上的中线， ∴ 在和中， ∴（）， ∴ 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中的轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 杨絮，又名大叶杨花絮．据《本草纲目》记载，杨絮具有清热解毒、益肝明目等功效，杨树果实将要成熟时，果实开裂，杨絮四处飞扬，飘在大街上会让人呼吸道不畅，因此，行道树禁止种植杨树，建议种其他树种．据测定，某种杨絮纤维的直径约为，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果三角形的两边长分别为厘米、厘米，那么第三边的长不可能是（ ） A. 厘米； B. 厘米； C. 厘米； D. 厘米． 5. 三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（ ） A. 由，，，得 B. 由，，，得 C. 由，，，得 D. 由，，，得 6. 将三角尺按照如图所示的方式摆放，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 朱师傅从家骑单车到学校，当他骑行一段时间后，想到去商店买材料，于是又折回到刚刚经过的商店，购买完材料后朱师傅继续骑行前往学校．以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题．下列说法错误的是（ ） A. 朱师傅家到学校的路程是1600米 B. 朱师傅在商店停留了4分钟 C. 本次上学途中，朱师傅一共行驶了2280米 D. 若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个去学校的途中，朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患 8. 如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 10. 社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是___________． 12. 已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，若这两个三角形全等，则xy的值为__． 13. 如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则的度数为______ 14. 若代数式是一个完全平方式，则的值为______________． 15. 如图，，交于点O，于O，连接，，则______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）（运用乘法公式计算）． 17. 如图，已知：，，，求证：． 18. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作的垂直平分线分别交于点D和点E，（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，当时，求的度数． 19. 已知，求的值． 20. 一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ （3）如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 21. 如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） （1）上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项） A. a-ab=a（a-b） B.a-2ab+b=（a-b） C. a+ab=a（a+b） D. a-b=（a+b）（a-b） （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b= ②计算： 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，将绕点C逆时针旋转，使线段的对应线段恰好经过点B，得到图2，线段与相交于点D． 初步分析：（1）判断的形状，并说明理由； 深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的沿射线的方向平移得到（点E，F，C分别是点B，D，C的对应点），线段，分别与边相交于点M，N． ①如图3，当点M恰好是线段的中点时，他们发现，请证明这个结论； ②若，当点N恰好是线段的中点时，请直接写出平移的距离． 23. 阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：___________； 依据2：___________． （2）如图3，，则的取值范围是___________； （3）如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $