精品解析：黑龙江大庆市祥阁学校2025—2026学年度下学期 八年级 数学学科期中考试试卷

大庆市祥阁学校 2025−2026学年度下学期八年级 数学学科期中考试试卷 答题时间：120分钟，卷面分值：120分 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A，整理后为，是一元一次方程，不符合要求； 选项B，，是整式方程，只含一个未知数x，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； 选项C，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； 选项D，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合要求． 2. 两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（ ） A. 60 B. 40 C. 36 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴ ， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 任意两个菱形不一定相似 B. 两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似 C. 若线段，点是线段的黄金分割点且，则 D. 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形判定、三角形相似判定、黄金分割计算和中点四边形性质，逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：∵对于选项A，菱形的对应边一定成比例，但对应内角不一定相等， ∴任意两个菱形不一定相似，A说法正确，不符合题意； ∵对于选项B，延长第三边的中线构造全等三角形，可推得两个三角形三边对应成比例，可证明两个三角形相似， ∴B说法正确，不符合题意； ∵对于选项C，当时，黄金分割满足，代入得， ∴C说法正确，不符合题意； ∵对于选项D，根据三角形中位线定理，顺次连接四边形四边中点所得四边形的边长等于原四边形对角线长度的一半， ∴原四边形对角线相等时，所得四边形四边相等，是菱形但不一定是矩形，D说法错误，符合题意． 5. 如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】位似图形的对应边互相平行，对应点的连线所在的直线交于位似中心． 根据点的对应点分类讨论，利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立求出交点坐标，即位似中心的坐标． 【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图， ∵四边形是正方形， 又∵点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ②当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； ③当点的对应点为点时，如图， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ④当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； 综上所述，位似中心的坐标为或 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）个小分支 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设未知数，结合总数量关系列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每个支干长出的小分支数为， ∵主干有个，支干数量为，每个支干长出个小分支，因此小分支数量为， ∴根据总数量列方程得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或 ， ∵分支个数是正整数，负根不符合实际意义， ∴舍去，得． 7. 已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据图1得出，，然后问题可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， 由图1可知：最小正方形的边长、平行四边形较小边长、最小等腰直角三角形的腰长都为，最大等腰直角三角形的腰长为，较大等腰直角三角形的腰长为2， ∴由图2可知：，， ∴马形图边框长方形的面积为． 8. 如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先对函数图像进行分析，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，，由，，结合勾股定理得，证出，得，最终解得，结合点到轴的距离为，即可得出结果． 【详解】解：∵直线轴， ∴， 如图，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， 当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， ， 结合函数图像可知，， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，， ∴点到轴的距离为，即． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 9. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 10. 如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 已知 ，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由已知的相等比例关系，可得分子的和与对应分母的和的比等于原比例，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：已知根据等比性质可得， 把代入得， 解得． 12. 若、是方程的两个根，则____． 【答案】2028 【解析】 【分析】根据题意得，，变形计算即可； 【详解】解：根据题意得，， 故， ． 13. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得，在中，为的中位线，由此可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵，分别是，的中点， ． 14. 如图，点是边上一点，且，若，，则的度数__________： 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据证明，进而得到，再结合三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角性质求解，即可解题． 解题的关键在于证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 16. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与分别相交于点．设的面积依次为、、，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由全等矩形的性质可得，，，，进而可证，再由，， 可得，，即得到，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵矩形是由三个全等矩形拼成的， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，，  ，，  ，，  ，  ∵， ，  ，  ，，   ． 17. 如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 18. 如图，正方形，点是上一点（不与点，重合），过点作交线段于点，垂足为，延长到点，使得，连接，，，．下列结论①；②；③若，则；④．正确的选项是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，容易判断是等腰直角三角形，则，，从而证明，则；对于②，连接，容易证明，从而判断是等腰直角三角形，则；对于③，作于点，设与的交点为，容易证明，则，代入计算可得；对于④，容易判断四边形是平行四边形，则，在中，，结合，，即可得到． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 对于②：如图，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故②错误； 对于③，如图，作于点，设与的交点为， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 整理，得， ∴，故③正确； 对于④：∵，。 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∵，， ∴，故④正确． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ，. （2） ，. （3） ，. 【解析】 【分析】（1）方程为平方等于常数的形式，可使用直接开平方法求解． （2）移项后可提取公因式，使用因式分解法求解，注意不能直接约去含未知数的公因式，避免漏根． （3）先将方程整理为整系数一元二次方程，再用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程， 移项得， 开方得， 即或， 解得，． 【小问2详解】 原方程， 移项得， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． 【小问3详解】 原方程， 方程两边同乘得， 这里，，， 计算得， 代入求根公式， 得， 即，． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上． （1）在图1中，______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找一点，使； ②如图3，过点画的平行线交于点，则______． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，格点作图，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）证明，即可求解； （2）①取格点E，F，连接交于点P，即可； ②取格点E，F，连接，交于点G，连接，证明，得出，证明，得出，，根据网格得出，即可求出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，点P即为所求； 理由：取格点E，F，连接交于点P， 根据作法得：，，， ∴， ∴； ②如图，即为所求． 理由：如图，取格点E，F，连接，交于点G，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 22. 【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． （1）请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． （2）如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 【答案】（1）； 解：∵中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，然后结合得到，即可得到，同理求解即可； （2）结合矩形的性质证明，可得，即可得出，然后由（1）可知，则此题可解． 【小问1详解】 解：； 证明：略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即 ∴， 由（1）得，， ∴（负值舍去）． 23. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 24. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）树的高度是6.5米 （2） 【解析】 【分析】（1）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高； （2）延长交延长线于点，然后根据物长和影长的比值计算即可． 【小问1详解】 延长、交于点， 根据物高与影长成正比得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：树的高度是6.5米． 【小问2详解】 延长交延长线于点，则，作于， 在中，，， ∴，， 在中， ∵同一时刻，长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 答：树的高度是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长. 25. 探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． （2）如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 【答案】（1）画图见解析；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明，即可得出四边形是正方形； （2）勾股定理求得的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 证明：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴矩形为正方形． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∴， ∴ ①当正方形的边在的直角边上时， 如图，连接，设正方形的边长为，则， ∴ ∴正方形的面积为 ②当正方形的边在的斜边上时，如图 设正方形的边长为， ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ 解得： ∴正方形的面积为 ∵ ∴这个正方形铁片的最大面积为 26. 如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值． （2）设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由矩形和一次函数过点D，E，得，，从而，，由得，解得，； （2）由（1）得，，，一次函数解析式为，分情况讨论：当四边形是菱形时，、互相垂直平分，点M与点N关于直线：对称，点M的坐标是，故点N的坐标为；当四边形是菱形时，点M的坐标是，的中点坐标为，故点N的坐标为． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，一次函数过点D，E，， ，点和点的横坐标相同， ， ， ， ， ，解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得，，，一次函数解析式为， ，， 如图，当四边形是菱形时， 四边形是菱形， 、互相垂直平分，点M与点N关于直线：对称， ， M的纵坐标是3， 把代入得：，解得，， 点M的坐标是， ，， 点N的坐标为； 如图，当四边形是菱形时， 如图，过点M作交于点P， 设点M坐标为，则，， ， ， 在中，，即， ， 化简得，，即， 因式分解得， ， 解得：或（点M与点E重合，舍去）， 点M的坐标是， ，， 的中点坐标为， 设点N的坐标为， 则，， 解得：，， 点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 27. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下： ，由，得 ；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ （3）请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【答案】（1）米时，符合要求 （2）在第10天出售 （3）900元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （2）设在第天出售，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设草莓存放天，总利润为，则，利用配方法可得，然后确定最大利润即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得 ， 整理可得 ， 解得， 又∵， ∴当时，不符合题意，当米时，符合题意， ∴米时，符合要求； 【小问2详解】 设在第天出售，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（超出最大保存期限，舍去）， ∴在第10天出售； 【小问3详解】 设草莓存放天，总利润为， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为900元． 28. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）相等，垂直 （2）不成立，，，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，可证明，，再结合，即可得到结论； （2）由已知可证明，得到，，再结合，即可得出另一个结论； （3）分两种情况：①当点E在线段上时，过点D作于点P，证明，可求得，，再根据勾股定理，即可逐步求得答案； ②当点G在线段上时，过点D作于点P，用与①类似的方法逐步求出，，，即可进一步求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点O， 在正方形和正方形中，， ， 即， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：不成立，，；理由如下： 如图2，设交于点O， 由（1）知，， ，，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3， 在中，，， ， 过点D作于点P， ，， ， ， ， ，， ， ； ②当点G在线段上时，如图4， 过点D作于点P， ，， 同理得，， 由勾股定理得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】对于图形变换问题，要注意前后小题解题思路的连贯性，通常还要根据题意画出不同位置的图形，进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市祥阁学校 2025−2026学年度下学期八年级 数学学科期中考试试卷 答题时间：120分钟，卷面分值：120分 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（ ） A. 60 B. 40 C. 36 D. 16 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列说法错误的是（ ） A. 任意两个菱形不一定相似 B. 两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似 C. 若线段，点是线段的黄金分割点且，则 D. 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形 5. 如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）个小分支 A. B. C. D. 7. 已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 48 8. 如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 9. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 10. 如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 已知 ，且，则________． 12. 若、是方程的两个根，则____． 13. 如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 14. 如图，点是边上一点，且，若，，则的度数__________： 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 16. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与分别相交于点．设的面积依次为、、，若的面积为，则的值为______． 17. 如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 18. 如图，正方形，点是上一点（不与点，重合），过点作交线段于点，垂足为，延长到点，使得，连接，，，．下列结论①；②；③若，则；④．正确的选项是__________． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上． （1）在图1中，______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找一点，使； ②如图3，过点画的平行线交于点，则______． 21. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22. 【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． （1）请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． （2）如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 23. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 24. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 25. 探究：在铁片上裁剪正方形． （1）如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． （2）如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 26. 如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值． （2）设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 27. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下： ，由，得 ；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ （3）请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 28. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $