山东省泰山中学2026届高考考前数学自测卷

**基本信息** 聚焦高考核心素养，通过函数、几何、概率等模块融合，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高考冲刺模拟训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、函数、数列、排列组合、椭圆|基础概念辨析，如向量投影与数量积结合| |多选题|3/18|立体几何、概率、导数|易错点辨析，如立体几何线面关系命题判断| |填空题|3/15|二项式定理、立体几何体积、不等式范围|空间轨迹与体积计算，如正方体表面动点问题| |解答题|5/77|解三角形、立体几何旋转、概率统计、椭圆、导数|综合性强，如立体几何旋转证明与二面角求解，导数单调性与极值综合应用|

山东省泰山中学2026年高考考前自测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2．（本题5分）已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 3．（本题5分）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 6．（本题5分）设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．（本题5分）若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 8．（本题5分）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题不正确的是（   ） A．若∥，m，则m∥ B．若m，n∥m，则n∥ C．若m，n，∥，则m∥n D．若m⊥n，m⊥，n∥，则⊥ 10．（本题6分）已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 11．（本题6分）已知函数，其导函数记为，则（     ） A．当时，函数最小值为0 B．若在处的切线与直线垂直，则 C．若函数有两个零点，则 D．当时，若，，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 13．（本题5分）在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 14．（本题5分）若，则的取值范围为___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求． 16．（本题15分）如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的高； (3)求二面角的正弦值. 17．（本题15分）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 18．（本题17分）椭圆的长轴长为4，离心率为，下顶点为A． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰山中学2026年高考押题冲刺训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D A B D BCD ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，得，即. 已知， 因此，. 2．A 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 3．B 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 4．C 【详解】由，，得，， 由，，得，， 所以，， . 5．D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 6．A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 7．B 【分析】根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配. 【详解】先对6张互不相同的优惠券分组，再分配. 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为. 所以不同的分法种数为. 8．D 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    9．BCD 【详解】若∥，则平面与平面无公共点， 由，知，直线与平面无公共点，所以∥，所以A正确； 若m，n∥m，则n∥或，所以B错误； 若m，n，∥，则m∥n或异面，所以C错误； 如图，正方体中，，平面，// 平面， 而平面与 平面不垂直，所以D错误. 10．ACD 【分析】利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可. 【详解】利用概率加法公式： 由， 代入，，得： ， 又，所以算， 所以事件相互独立，故A正确； 根据条件概率公式计算：​， 则，故B错误； 由，且，得， 因为，所以， 即 ，故C正确； 由可得：， 代入，，可得， 又因为，两式消元解得： ，故D正确. 11．AD 【分析】先求导得．对A，用导数判断单调性；对B，由切线斜率与垂直关系求；对C，注意恒为零点，再利用极小值判断零点个数；对D，分别把和转化为关于的等式，再比较两个关于的函数值． 【详解】由题意， 对于A，当时， 令，则 ，所以在上单调递增． 又 ，所以当时，；当时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故最小值为所以A正确． 对于B，直线 的斜率为，与它垂直的直线斜率为． 又 ，所以若切线与该直线垂直，则，解得 ，不是．所以B错误． 对于C，注意到恒成立． 若，则 ，故在上单调递增，只能有一个零点． 若，由在上单调递增可知，方程有唯一解， 且在上单调递减，在上单调递增． 又，所以 下面证明当时， ． 令 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，且． 因此当时，，即 ． 所以当，即时，，函数有两个零点； 当，即时，最小值为，函数只有一个零点． 于是有两个零点的充要条件是且， 所以由“函数有两个零点”不能推出，C错误． 对于D，由 得 由得， 整理得 因为，所以 ，且 令 显然 ， 故在上单调递增． 只需证明 由于 ，上式等价于 即 下面证明该式恒成立． 由常用不等式可得 因此 又单调递增，所以，即．所以D正确． 下面补充证明不等式， 设，则，， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则恒成立. 12． 【详解】的常数项为 . 13． 【分析】建立空间直角坐标系，利用求点的轨迹，再利用二面角的正切值求出点的坐标，最后利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为正方体棱长为2，所以， 设动点， 由得：，得， 即动点的轨迹为线段端点为和， 由于侧面，故且，因此二面角的平面角为， 根据题意，，结合轨迹条件，得即点坐标为． 又因为，所以． 14． 【分析】令，将问题转化为，进而构造函数，再结合导数研究函数，的性质得，进而求得答案. 【详解】由题可得，， 由不等式可知，令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，又时，，时，，所以． 因为，所以， 所以原不等式等价于， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，所以要使对成立， 所以，解得，又，所以，即的取值范围为． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据和差的正弦、余弦公式化简等式即可求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ． 因为，所以， 所以 ，解得． 因为，所以． （2）由（1）得． 因为，，所以，所以． 由正弦定理，得 ． 因为， 所以的面积． 由题意，得，解得． 16．(1)证明见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）通过，即可求证； （2）在中作交于点，确定为四棱锥的高，进而可求解； （3）法1，过点作交于点，连接，确定为二面角的平面角，进而可求解；法2，建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 与全等，，即， 又，且点是的中点， 则，由点是的中点，可得， 与都在平面内， 平面； （2）平面，且在平面内， ∴平面平面， 在中作交于点，连接与， ∵平面平面，平面， 平面，即为四棱锥的高， 又， ，且， 平面， 同理可得，又， ∴四边形是正方形， ， 在直角中，， ， 即四棱锥的高为2； （3）法1：， 与全等，过点作交于点，连接， 则， 为二面角的平面角，， 在中，， ，则. 法2：由（2）知，两两垂直，以为坐标原点， 分别以有向线段为轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则， 则， 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则； 令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则. 所以， 所以二面角的平面角正弦值为 . 17．(1)，中位数为75 (2) 0 1 2 【分析】（1）通过矩形面积和为1，可求，由中位数的计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 18．(1) (2) 【分析】(1)通过题目长轴以及离心率求出椭圆方程. (2)通过设出直线来求出各点的具体坐标，后对面积进行计算，求解出具体的斜率. 【详解】（1）长轴为4，即，. 离心率为，即，. 因为且，所以. 椭圆:. （2） 设直线:，，，. 联立直线与椭圆得，解得或， 所以，. 且要求，那么，即或. 易得直线为. 当时，，所以. 因为，且(时取正，时取负)， 所以. 因为(时取正，时取负)， ， 所以. 因为，所以， ，解得， . 19．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $