精品解析：陕西咸阳市乾县阳洪高中2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟检测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的奇函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，若成公比不为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（ ） A. 底面边长为，高为4的正三棱锥 B. 底面边长为7，高为12的正三棱柱 C. 直径为9的球体 D. 长为8，宽为4，高为的长方体 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 当时，是的极大值点 C. 当时，的最小值大于 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 14. 已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，. （1）求和； （2）若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． （1）证明：平面 ； （2）若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. （1）若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； （2）当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； （3）当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 19. 已知O为坐标原点，半径为1的圆O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，点E，F分别在线段和上运动，，若点P为平面上一动点，且满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知，，设倾斜角大于90°的直线交于点Q（点P在点Q的上方）. （i）若点P不为的顶点，记直线，，，，的斜率分别为，，，，，证明：； （ii）当四边形的面积取得最大值时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是小于8的正整数｝，，，则中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】借助补集与并集定义即可得. 【详解】，则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法、复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】记点的纵坐标为，由题意知 ， 借助焦半径公式可得 ，故， 所以点的纵坐标为. 4. 已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以第百分位数为将数据从小到大排序后的第4个数与第5个数的平均数， 经讨论可知，为使第80百分位数为16，排序后的数据必为 ， 故有 ，解得. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，， 所以， ， ， 曲线在点处的切线方程为： ， ，化简得， . 6. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，得，， 由，，得，， 所以，， . 8. 已知定义在R上的奇函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 ,根据条件化简可得关于对称,且为定义在R上的奇函数，结合条件依次分析选项即可求解. 【详解】由定义在R上的奇函数满足 ，设 , 所以 ， ， 则 ， 所以 ,故关于对称, 由于为奇函数，也是定义在R上的奇函数， 所以为定义在R上的奇函数，所以 , 所以的周期为， 由于 ，解得：, 且 ， 所以,故A正确，B错误； ，故C，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，若成公比不为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，进而可得，即可判断A和B的正误；对C，通过作差法，即可求解；对D，根据条件得时，，再由进行放缩、裂项求和，即可求解. 【详解】因为成公比不为的等比数列，则， 又，则，解得，故A正确， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，因为， 则，所以，故C错误， 对于D，由选项C知，当时，， 所以，故D正确. 10. 现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（ ） A. 底面边长为，高为4的正三棱锥 B. 底面边长为7，高为12的正三棱柱 C. 直径为9的球体 D. 长为8，宽为4，高为的长方体 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为球的直径为4，而正三棱锥的高为4，显然不可能放入3个半径为2的球，故A错误； 对于B，边长为7的正三角形的内切圆半径为 ， 则当3个小球沿三棱柱高的方向纵向排列时，其最高长度为，故B正确； 对于C，当3个小球两两外切时，3个球心构成边长为4的正三角形， 则该正三角形的外接圆半径为， 因为，所以3个小球可以放入该球体，故C正确； 对于D，易知在长为8，宽为4，高为的长方体底部恰好可以放2个小球， 第3个小球放置在2个小球上且与2个小球均相切，作出纵截面的示意图如图， 此时3个小球的球心构成边长为4的等边三角形，则点到的距离为， 又，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 当时，是的极大值点 C. 当时，的最小值大于 D. 当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】通过换元将原指数函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数性质、复合函数单调性、导数法逐一验证每个选项. 【详解】令，则转化为二次函数，逐个分析选项： 对于A：当时，，代入得 ，A错误； 对于B：当时，开口向上，对称轴， 因此在单调递减，在单调递增， 由于是增函数，复合后在处取极小值，不是极大值，B错误； 对于C：当时，的最小值为 ， 因为  ，所以最小值大于，C正确； 对于D：当时，要证 ， 即 ，整理得，即证， 令 ， ， 当，时，单调递减，当时，，单调递增， 所以当 时，取得最小值 ，故 恒成立， 原不等式成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以  ， 因，，则 ，解得，则 ， 设，， 而，所以. 13. 若圆：关于直线：对称的圆与y轴相切，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据对称性得到对称圆圆心坐标及半径，结合对称圆与轴相切求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 设圆心关于直线：的对称点为， 则，解得， 所以对称圆的圆心为，半径仍为1. 因为对称圆与y轴相切，所以，解得或. 14. 已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量关系判断点是弦的中点，写出直线的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到的表达式，结合中点坐标公式建立的关系式，再代入双曲线离心率公式求解即可． 【详解】 由题意得，直线的方程为，即， 由，得 ， 设，，所以， 由，得是的中点， 所以，即， 所以，化简得， 又，所以，化简得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，. （1）求和； （2）若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数周期公式求，代入已知点结合的取值范围求解； （2）根据图象平移规则得到解析式，结合正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 已知函数最小正周期，， 由，得，解得， 将 代入 ，得 ，即 ， 因此 ，，即，， 又，令，得，满足条件， 故，； 【小问2详解】 由（1）知 ， 将图象向左平移个单位长度， 得 ， 当 时，， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值， 所以在的最小值为 . 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与有两个交点，先求出的单调区间，进而求作出的图象，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 令，得到，即， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且，的图象如图所示， 因为有两个零点，则与有两个交点， 所以，即， 所以的取值范围为. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． （1）证明：平面 ； （2）若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，先证，，推出平面 ，平面 ，再由面面平行判定定理得平面平面 ，最后由平面，得 平面 ； （2）先由菱形面积和四棱锥体积求高，以菱形对角线交点为原点建立空间直角坐标系，利用及确定点坐标；再求中点及向量，求平面的法向量；最后利用线面角公式，由方向向量与法向量夹角的余弦值，推导线面角的正弦值，再求其余弦值． 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 又平面 ，平面 ，所以平面 ， 因为分别为的中点，所以， 因为为菱形，所以， 所以， 又平面 ，平面 ，所以平面 ， 因为平面，，所以平面平面 ， 因为平面，所以平面 ． 【小问2详解】 菱形的面积， 设到平面的距离为， 所以，解得， 由是菱形，得，设， 以为坐标原点，分别为轴，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由是菱形，，得为等边三角形，， ，， 所以，，，，， 设（竖坐标为高）， ，， 因为，所以 ，解得， ，解得，， 结合几何体实际位置，即， 因为为中点，为中点，所以，， ， ，， 设平面的法向量， 所以，令，得， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 18. 现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. （1）若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； （2）当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； （3）当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式计算即可. （2）根据全概率公式计算即可. （3）根据二项分布和组合数的性质计算即可. 【小问1详解】 设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. 【小问2详解】 当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. 【小问3详解】 设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 19. 已知O为坐标原点，半径为1的圆O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，点E，F分别在线段和上运动，，若点P为平面上一动点，且满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知，，设倾斜角大于90°的直线交于点Q（点P在点Q的上方）. （i）若点P不为的顶点，记直线，，，，的斜率分别为，，，，，证明：； （ii）当四边形的面积取得最大值时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）  【解析】 【分析】（1） 设，由 得；由得坐标关系，消去得轨迹方程； （2）（i）设直线，与椭圆联立得韦达定理；分别计算和，代入化简，进而推出所证等式； （ii）设直线，与椭圆联立得的二次方程；对四边形面积进一步化简、换元，用基本不等式求最大值，结合倾斜角大于求得斜率. 【小问1详解】 设点，，，其中， 由，所以①. 又，则， 得②，将②代入①式，得， 即动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （i） 如图，由题可得直线：，设，则， 联立，消去得， 则， 则 ， ， 则，从而. （ii）由题可设， 联立，消去得， 则， 则 ， 令 ，所以 ， 当且仅当时， 即时，等号成立， 则. 又直线的倾斜角大于，即， 故四边形的面积取得最大值时， 直线  的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $