精品解析：2026年浙江舟山市普陀区初中毕业生学业水平适应性考试数学 试题卷（二模）

2026年普陀区初中毕业生学业水平适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 以下四个县区中某天中午时温度最低的是（ ）． 岱山县 嵊泗县 普陀区 定海区 A. 岱山县 B. 嵊泗县 C. 普陀区 D. 定海区 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴温度最低的是普陀区． 2. 榫（）卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是一种在两个木构件上采用凹凸部位（即榫头与卯眼）相结合的连接方式，体现了中国传统文化和工程智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面看整体是一个缺少右下一部分的长方形，故选项符合题意． 3. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 4. 祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法形式为，要求，n为整数，只需根据定义确定a和n的值即可． 【详解】解：∵该差值为 ， 根据科学记数法对的要求， 得 ， 将原数小数点向右移动7位得到，原数绝对值小于1，故， ∴． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由作图痕迹可知：平分， ∴， ∵， ∴． 7. 某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知与为一次函数关系，且时，只需将代入各选项验证，即可得到正确的函数关系式． 【详解】解：选项A：，不符合条件； 选项B：，不符合条件； 选项C：，不符合条件； 选项D：，符合条件． 8. 如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质得出 ，结合等腰三角形性质得出 ，最后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 与  相切于点 ， ，即  ，  ，  为等腰直角三角形 ，  ，  阴影部分为扇形，半径  ，圆心角  ， ． 9. 如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长，再证明，利用相似比求出的长即可． 【详解】解：过点作于点． 四边形是菱形， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ． 即菱形的边长为． 10. 已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可知抛物线开口向下，与x轴的交点为，，根据，，求得，由，即可判断点在x轴的下方，点在x轴的上方，结合抛物线与x轴的交点即可求得． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，与x轴的交点为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数的图象上有两点、，都有， ∴当时，抛物线与x轴有交点，交点为， 即 又∵， ∴． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 2026的相反数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 12. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为到的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定元素的总个数以及金属元素的个数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，共有种元素，分别为氢、氦、锂、铍，其中金属元素有锂、铍，共种，根据概率公式可得，这种元素是金属元素的概率为． 13. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 14. 已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质得到它们的交点关于原点中心对称，据此求解即可． 【详解】解：直线是过原点的正比例函数，双曲线是反比例函数，两个函数的图象都关于原点中心对称， 它们的交点也关于原点中心对称， 已知一个交点为，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， 另一个交点为． 15. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 16. 在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理可得，进而推出，结合垂直定义和角平分线性质推导出，作构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，为中点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，  过点D作于点G， ， 点为中点， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 把代入 19. 如图，在正方形中，，是上一点，连接，， （1）求的长度． （2）求． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分分）： 小学部：，，，，，，，，，； 初中部：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 初中部 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更趋于一致？请说明理由． （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于分的学生占比%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有名学生，初中部有名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 【答案】（1），， （2）小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下： ∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致． 小学部方差，初中部方差为，． ∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致． （3）该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．理由如下： 样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人． 全校评分大于或等于8分的总人数为： （人） 全校总人数为（人） 占比为 ∵ ∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义，分别计算、、的值； （2）利用方差的意义，即方差越小数据波动越小，越趋于一致，比较两方方差得到结论； （3）计算全校评分大于等于8分的学生占比，和比较后得出结论． 【小问1详解】 解：将小学部10个数据从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10 中位数为第5个和第6个数据的平均数，因此 将初中部10个数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10 其中出现次数最多的数据为9，因此众数 已知小学部平均数为8，根据方差公式计算得： 【小问2详解】 小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下： ∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致． 小学部方差，初中部方差为，． ∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致． 【小问3详解】 样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人． 全校评分大于或等于8分的总人数为： （人） 全校总人数为（人） 占比为 ∵ ∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 21. 如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的判定证明即可； （2）由第一次折叠可得，再由平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 证明：由第二次折叠可得， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由第一次折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比与充电时间（小时）的函数图象如图所示：线段为慢充图象，折线为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题． （1）两种充电模式分别从电量充到电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ （2）求快充时与的函数关系式及自变量取值范围． （3）已知该车每电量可行驶，若距目的地还需行驶，到达终点时电车至少留有的电量．先慢充小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 【答案】（1）6小时 （2） （3）0.95小时 【解析】 【分析】（1）分别求出两种充电模式从电量充到电量耗时，即可求解； （2）利用待定系数法分别求出对应段的函数表达式即可； （3）先求出总需电量，再利用待定系数法求出慢充模式的函数表达式，得出时， ，切换快充后，分段求出从充到以及充到所需要的时间，由此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：慢充模式从电量充到电量耗时8小时， 快充模式从电量充到电量耗时2小时， 节省时间为：（小时）， 则快充模式比慢充模式节省6小时； 【小问2详解】 解：快充分为2段： 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 则快充时与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：行驶需电量： ， 到达终点至少保留，故总需电量： ， 设慢充时函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 慢充时函数表达式为， 当时， ， 则快充至少需要充电电量为： ， 从充到需要： （小时）， 从充到需要： （小时） （小时） 因此，至少需要快充0.95小时． 23. 已知抛物线与轴交于与． （1）求该抛物线的解析式． （2）该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）①；②的最大值为112，最小值为16 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，再分别表示出点A、点B到对称轴的距离，结合的条件去掉距离的绝对值符号，再根据“点A到对称轴的距离是点B到对称轴的距离的2倍”列方程求解； （3）根据“经过点”确定的取值范围；再结合抛物线开口向下的性质，分情况讨论：当在对称轴左侧或当包含对称轴时，分析最高点是顶点还是区间端点、最低点是哪个端点，得到M的表达式，最后在t的取值范围内求M的最值． 【小问1详解】 解：将、代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①由（1）知，抛物线， 则抛物线对称轴为， 如图，过点B作垂直于对称轴于点C，作垂直于对称轴于点D， ，，且， 、， 点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍， ， ， 解得：； ②经过点 即， 分情况讨论： （）当在对称轴左侧时，此时，即， 随的增大而增大， 在点处取得最大值，在点处取得最小值， 当时，， 当时，， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， （）当包含对称轴时，，即， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为 令， 解得：， 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而减小， 当时，， 当时，； 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而增大， 当时，， 当时，，即当无限接近于时，的最小值无限接近于16， 综上所述，的最大值为112，最小值为16． 【点睛】利用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 24. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接． （1）如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径． ①求证：． ②求的长度． （2）如图，若，连接，且，求的长度． 【答案】（1）①见解析；② （2）7 【解析】 【分析】（1）①先由四点共圆得到，然后由旋转的性质结合等角的补角相等证明即可； ②延长交于点，连接，先证明为等边三角形，则结合圆周角定理可得，然后再解即可； （2）延长交于点，过点作于点，先证明，再由等腰三角形的三线合一得到，最后对和运用勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：①∵点共圆， ∴ 由旋转可得，， ∵ ∴ ∴ ∴； ②延长交于点，连接， ∵为直径， ∴ ∵ ∴ ∵为中点，且为直径 ∴点为圆心， ∵经过圆心， ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点，过点作于点 ∵ ∴ 由旋转可得，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中，由勾股定理得， ∴ 解得（舍负）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普陀区初中毕业生学业水平适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 以下四个县区中某天中午时温度最低的是（ ）． 岱山县 嵊泗县 普陀区 定海区 A. 岱山县 B. 嵊泗县 C. 普陀区 D. 定海区 2. 榫（）卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是一种在两个木构件上采用凹凸部位（即榫头与卯眼）相结合的连接方式，体现了中国传统文化和工程智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A. B. C. D. 7. 某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为（ ）． A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 2026的相反数是___________． 12. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为到的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为__________． 13. 五边形的内角和为________． 14. 已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 15. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 16. 在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在正方形中，，是上一点，连接，， （1）求的长度． （2）求． 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分分）： 小学部：，，，，，，，，，； 初中部：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 初中部 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更趋于一致？请说明理由． （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于分的学生占比%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有名学生，初中部有名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 21. 如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上． （1）求证：． （2）求证：． 22. 为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比与充电时间（小时）的函数图象如图所示：线段为慢充图象，折线为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题． （1）两种充电模式分别从电量充到电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ （2）求快充时与的函数关系式及自变量取值范围． （3）已知该车每电量可行驶，若距目的地还需行驶，到达终点时电车至少留有的电量．先慢充小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 23. 已知抛物线与轴交于与． （1）求该抛物线的解析式． （2）该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 24. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接． （1）如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径． ①求证：． ②求的长度． （2）如图，若，连接，且，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $