精品解析：2026年江苏省无锡市惠山区九年级中考第三次学情自测数学试题

九年级数学三模试卷 2026.05 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号填黑．） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．若无锡5月份某天的最高气温为零上，记为，那么无锡2月份某天的最低气温为零下，应记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干给出的记法，推导零下温度的表示方法即可． 【详解】解：∵题干规定零上温度用正数表示，正负数可用来表示相反意义的量， ∴零下温度应用负数表示， ∴零下应记为． 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.该选项图案是轴对称图形； B. 该选项图案不是轴对称图形； C. 该选项图案不是轴对称图形； D. 该选项图案不是轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则，逐一判断运算正误即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意． D、当时，，故该选项不符合题意； 4. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ． 5. 2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 28和3 B. 28和22 C. 33和3 D. 22和22 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据垂径定理得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵弦， ∴， 由圆周角定理得：． 7. 如图，将图1所示的正方形纸片沿对角线（图中虚线）剪开，拼成如图2所示的四边形，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，由题意可得，，，设，则，求出为等腰直角三角形，得出，从而可得，最后由正切的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由题意可得：，，， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将总路程看作单位1，根据相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1，经过天相遇， ∵野鸭飞完全程需要7天，． ∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为， ∵大雁飞完全程需要9天， ∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为， 相遇时两者飞行路程和等于总路程， ∴可列方程 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别在反比例函数，的图像上，连接，，，且．作轴于点A，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，相似比等于对应边之比，面积比等于相似比的平方，再根据反比例函数k的几何意义，得到，，根据比值求出k． 【详解】解：∵，轴于点A，轴于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别在反比例函数，的图像上， ∴，， ∴， ∵的图像在第三象限， ∴， ∴． 10. 定义：若函数的图像上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”k满足，则称该函数为“Ω函数”．规定：对于一次函数，其图像上任意一点的“瞬时变化率”均为k；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为0．下列结论正确的是（ ） ①一次函数是Ω函数；②若一次函数是Ω函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函数是Ω函数；④二次函数是Ω函数，则一定有． A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ① 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的“Ω函数”定义，以及一次函数、二次函数瞬时变化率的规定，逐一判断每个结论，即可得到正确选项． 【详解】解：①一次函数，由规定得任意点瞬时变化率， 若为Ω函数，需满足，其中，代入得： ， 整理得， ∵，方程有实根， 该函数是Ω函数，①正确； ②一次函数是Ω函数，则满足 ， 整理得， ， ， ，方程总有实根，可以为负数，例如，时方程有实根， 该函数是Ω函数，但函数值随自变量增大而减小，故②错误； ③二次函数，由规定得顶点处瞬时变化率， 配方得，顶点坐标为， ，不满足Ω函数定义，故③错误； ④二次函数，顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点处“瞬时变化率”，即， 若，则，此时， 而， 因此只要就满足条件，不一定，故④错误． 综上只有①正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置） 11. 2026年“江苏省城市足球联赛（苏超）”已于4月11日拉开帷幕，整个赛季的91场比赛都将全程使用（视频助理裁判）系统辅助判罚．若高速摄像设备每秒拍摄150帧画面，那么每场比赛全程90分钟将拍摄810000帧画面．将数据810000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 13. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 14. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 变形得 两边同乘得： ， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解是． 15. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【解析】 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的条件为，结论为， 交换条件和结论，得到逆命题为“如果，那么”， 当时，可得或，即不能推出，因此该逆命题是假命题． 16. 某个函数经过点，且当自变量时，函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题为开放性问题，答案不唯一，可构造满足条件的一次函数、二次函数等，以一次函数为例，根据函数增减性确定一次项系数的取值范围，再将已知点代入解析式求解即可． 【详解】解：依题意，设符合条件的一次函数解析式为， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 令，得解析式为， 将代入得：， 解得， ∴符合条件的函数表达式为（答案不唯一）. 17. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 18. 如图，中，，点F、G为边、的中点，在上取一点E，连接，使，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据三角形中位线的性质得，，，根据线段的等量关系得，根据得，根据，得，可证明，由相似三角形的性质得，过点E作于点，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理求出,从而可求出． 【详解】解：设， ∵点F、G为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点，如图， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将方程两边同时除以2，再开平方，最后计算作答即可； （2）分别算出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为． 20. 化简求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）DE∥BF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到AE＝CF，根据平行四边形的性质得到∠DAE＝∠BCF，AD=BC根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据△ADE≌△CBF得到∠AED=∠CFB，从而可以得到∠DEF=∠BFE，即可证明. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD=BC ∴∠DAE＝∠BCF， 又∵AF=CE， ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF（ASA）； （2）∵△ADE≌△CBF（ASA） ∴∠AED=∠CFB ∵∠AED+∠DEF=180°，∠CFB+∠BFE=180° ∴∠DEF=∠BFE ∴DE∥FB 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 无锡阳山因水蜜桃而闻名．某年7月小美全家自驾来无锡阳山品尝水蜜桃，小美查阅资料发现阳山风景优美，有五个重要古迹：A．朝阳禅寺；B．安阳书院；C．陆墟桥；D．古火山口与火山地质遗迹；E．翠微寺． （1）若小美根据古迹地理位置决定先欣赏三个古迹，朝阳禅寺、陆墟桥当天必定到，则第三个古迹是“安阳书院”的概率是 ； （2）小美的同学小帅家知道后也自驾到阳山，当天两家都已经参观了朝阳禅寺、陆墟桥，到阳山水蜜桃市场品尝水蜜桃后留下的时间还可以参观剩下的三个古迹中的一个，求在同一个古迹参观的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先理解题意，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）先得出参观剩下的三个古迹，且分别是B．安阳书院；D．古火山口与火山地质遗迹；E．翠微寺，然后画树状图，得出一共有种等可能的结果，他们在同一个古迹参观的结果有种，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵有五个重要古迹，且小美根据古迹地理位置决定先欣赏三个古迹，朝阳禅寺、陆墟桥当天必定到， ∴第三个古迹是“安阳书院”的概率是； 【小问2详解】 解：依题意，参观剩下的三个古迹，且分别是B．安阳书院；D．古火山口与火山地质遗迹；E．翠微寺， 画树状图如下： ∴一共有种等可能的结果，他们在同一个古迹参观的结果有种， ∴小美和小帅在同一个古迹参观的概率为． 23. 无锡市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： （1）本次抽样一共抽取了 名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为 °； （3）已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数； （4）根据上述统计分析情况，作为该校的体育教研组长就三球类选择上给出一条合理建议． 【答案】（1）80， （2） （3）90人 （4）足球和排球的满分率高于篮球，建议想要更容易取得满分的同学优先选择足球或排球（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先求出选择排球的总人数，再结合扇形统计图求出篮球的人数，以及调查的总人数，最后补全条形统计图，即可作答． （2）运用排球的总人数除以调查的总人数再乘上，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （4）理解题意，言之有理即可． 【小问1详解】 解：∵排球满分24人，满分率， 因此选择排球的总人数为：（人） ∵扇形统计图中选择篮球的人数占总抽样人数的 ∴足球和排球的人数和占总人数的 ∵选择足球的人数为10人 ∴抽取的总人数为： （名） 足球满分人数：（名） 补全条形统计图：略 【小问2详解】 解：由（1）选择排球的总人数为， 依题意，， 即扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴估计该校初三选择足球运球射门满分的学生有90人． 【小问4详解】 足球和排球的满分率高于篮球，建议想要更容易取得满分的同学优先选择足球或排球（答案不唯一） 24. 已知：如图，四边形内接于，为直径，过点C的切线交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若 ，求的正切值． 【答案】（1）证明：连接，是的切线，，又，， ．，， ，，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，结合可推出与平行，进而得到角相等；再利用圆的半径相等得到角相等，结合圆周角定理的推论，证明和相等，即可得到． （2）由直径性质，可得；由 和，得到与的比值；设 ，，由勾股定理得，证明，得​，得．过点C作于点G，由，求出​，得，由勾股定理得，得．连接，求出​．由，即得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 设 ，， 是直径， ， ∴ ． ∵，， ∴， ​， ∴． 过点C作于点G， ，平分， ∴， ∵， ∴​， ∴， 在中，由勾股定理：， ． 连接， ∵， ∴​． ∵， ∴​． 25. 如图：中，，． （1）尺规作图：请在图1作出边的垂直平分线交于，连接，并作出过点的直线交线段于点，使点关于直线的对称点恰好落在边上． （2）若，请求出的面积（直接写答案）．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）第一步，根据尺规作图，作边的垂直平分线交于，连接， 第二步，根据尺规作图，作的角平分线，交于点，即直线，作出点关于直线的对称点； （2）可证得是等腰直角三角形，由对称的性质可知，是边上的高，根据简单的三角函数，计算出，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：第一步，作边的垂直平分线交于，连接， 第二步，作的角平分线，交于点，即直线，作出点关于直线的对称点； 图略 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线交于， ∴， ， ， ∴， ∴， 在中，，，， 连接， ∵点关于直线的对称点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 26. 【生活感知】随着生活水平的提高，汽车已进入百姓家．我们乘坐汽车发现：家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： ①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； ②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； ③如图1，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； ④当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． 【探究解决】 （1）①在汽车转向时，前内轮转角，前外轮转角，前内轮的转动速度 前外轮转动速度；（填写“”，“”或“”） ②已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是 （用含，和的式子表示）； （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） ①，② （2）解：， ， ， ， 最小转弯半径为． 【解析】 【分析】（1）①根据切线的性质可知，，根据直角三角形的两个锐角互余，可知，，因为，所以； 由旋转可知 ，，可知外轮运动的路程大于内轮运动的路程，又因为内外轮运动的时间相同，可知内轮运动的速度小于外轮运动的速度； ②根据边形是矩形，可知，，在中，在中，代入即可求出结果； （2）由的正切可知 ，即可求出 ，利用勾股定理即可求出 ． 【小问1详解】 ①解：如下图所示，、是的切线， ， ，， ，， ，， ，， ， ； 如下图所示， 由旋转可知 ， ， ， ， ， 设汽车运动的时间为， 内轮的速度为，外轮的速度为， 内轮的速度外轮的速度； ②解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ， 由①可知，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 整理可得：； 【小问2详解】 略． 27.  在平面直角坐标系中，抛物线()经过点． （1）若，点，()在该抛物线上，求; （2）若点，在此抛物线上，且，求证：； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点，已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围 【答案】（1） （2）证明：点，在此抛物线上， ，， 由（1）得， 得，， ，  已知，且，  ，  ， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）先利用抛物线过点求出，代入得到完整抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （2）分别代入横坐标计算和，作差后结合的条件判断差的符号，即可证明结论； （3）先求出直线的解析式，利用等腰直角三角形性质和相似三角形性质将转化为关于的二次函数，再根据二次函数增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点， 代入得， 化简得， 将代入， 得 因此抛物线解析式为， 点，在该抛物线上， 将代入解析式得， 整理得，  因式分解得， 解得，， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入抛物线解析式得， 因此， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， 因此直线的解析式为. 过点作轴于点，得，， ∴是等腰直角三角形，得  轴，因此轴，得 ， 因此，得，是等腰直角三角形，， ，， ∴， ∴， ∴， 点在抛物线上， 因此，点横坐标为且在直线上， 得， ， 代入得 ， ∴该二次函数开口向下， 当时，的长随的增大而增大， 已知当时，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的增减性等知识点，关键是从几何图形中识别出等腰直角三角形，利用相似三角形对应边成比例将线段 转化为关于点 横坐标 的二次函数，进而通过分析二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，确定参数 的取值范围． 28. 数学实验 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： AI ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． 【探究】 （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为 （填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法，请你作出折痕（草图即可），连接、，直接判断四边形的形状？ ；（填写四边形形状） 【拓展】 在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点M的对应点M′能否落在边上？______（填写“是”或“否”）； （4）如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点M的对应点M′始终落在边上，点Q的对应点为Q′，折痕与边分别交于两点．当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2），菱形 （3）是 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用折叠对应线段相等，再比较线段大小； （2）连接和，交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接和，先证，再利用一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，利用对角线垂直的平行四边形是菱形即可得证； （3）构造菱形，根据菱形的性质可得点和点关于对称； （4）分两种情况：点在的右边，点在的左边，分别画出图形，解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得：， ∵点A′在线段上， ∴，即， ∴较长边为； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 证明：在边上取，连接和，交于点，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴将四边形纸片沿对角线折叠，点M的对应点M′落在边上的点处； 【小问4详解】 分两种情况： 当点在的右边时，设与交于点，如图所示， 由折叠可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， 当点在的左边时，设与交于点，如图所示， 在中，， 设 ，则 ， 由折叠可得， ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 综上可得，的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学三模试卷 2026.05 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号填黑．） 1. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．若无锡5月份某天的最高气温为零上，记为，那么无锡2月份某天的最低气温为零下，应记为（ ） A. B. C. D. 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 28和3 B. 28和22 C. 33和3 D. 22和22 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将图1所示的正方形纸片沿对角线（图中虚线）剪开，拼成如图2所示的四边形，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别在反比例函数，的图像上，连接，，，且．作轴于点A，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若函数的图像上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”k满足，则称该函数为“Ω函数”．规定：对于一次函数，其图像上任意一点的“瞬时变化率”均为k；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为0．下列结论正确的是（ ） ①一次函数是Ω函数；②若一次函数是Ω函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函数是Ω函数；④二次函数是Ω函数，则一定有． A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ① 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置） 11. 2026年“江苏省城市足球联赛（苏超）”已于4月11日拉开帷幕，整个赛季的91场比赛都将全程使用（视频助理裁判）系统辅助判罚．若高速摄像设备每秒拍摄150帧画面，那么每场比赛全程90分钟将拍摄810000帧画面．将数据810000用科学记数法表示为_______． 12. 因式分解x3－9x=__________． 13. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 14. 分式方程的解为______． 15. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 16. 某个函数经过点，且当自变量时，函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 17. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 18. 如图，中，，点F、G为边、的中点，在上取一点E，连接，使，且，则的值为______． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）解方程： （2）解不等式组： 20. 化简求值：，其中． 21. 如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）DE∥BF． 22. 无锡阳山因水蜜桃而闻名．某年7月小美全家自驾来无锡阳山品尝水蜜桃，小美查阅资料发现阳山风景优美，有五个重要古迹：A．朝阳禅寺；B．安阳书院；C．陆墟桥；D．古火山口与火山地质遗迹；E．翠微寺． （1）若小美根据古迹地理位置决定先欣赏三个古迹，朝阳禅寺、陆墟桥当天必定到，则第三个古迹是“安阳书院”的概率是 ； （2）小美的同学小帅家知道后也自驾到阳山，当天两家都已经参观了朝阳禅寺、陆墟桥，到阳山水蜜桃市场品尝水蜜桃后留下的时间还可以参观剩下的三个古迹中的一个，求在同一个古迹参观的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 无锡市体育中考分四个项目，某中学为了给学弟学妹在选择球类项目有更好的参考，根据初三学生测试情况随机抽取部分学生，对抽取的学生就选择球类的满分率进行调查，汇总发现：其中选择足球运球射门的学生有10位，三类球类满分人数总共63人，其中篮球满分30人，排球满分率为，并将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： （1）本次抽样一共抽取了 名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“排球30秒钟对墙垫球”所对应的圆心角为 °； （3）已知该校初三年级共有800名学生，根据抽样结果估计该校初三学生这次测试中选择“足球运球射门”满分的学生人数； （4）根据上述统计分析情况，作为该校的体育教研组长就三球类选择上给出一条合理建议． 24. 已知：如图，四边形内接于，为直径，过点C的切线交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若 ，求的正切值． 25. 如图：中，，． （1）尺规作图：请在图1作出边的垂直平分线交于，连接，并作出过点的直线交线段于点，使点关于直线的对称点恰好落在边上． （2）若，请求出的面积（直接写答案）．（如需画草图，请使用备用图） 26. 【生活感知】随着生活水平的提高，汽车已进入百姓家．我们乘坐汽车发现：家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： ①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； ②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； ③如图1，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； ④当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． 【探究解决】 （1）①在汽车转向时，前内轮转角，前外轮转角，前内轮的转动速度 前外轮转动速度；（填写“”，“”或“”） ②已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是 （用含，和的式子表示）； （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到）．（参考数据：，，，） 27.  在平面直角坐标系中，抛物线()经过点． （1）若，点，()在该抛物线上，求; （2）若点，在此抛物线上，且，求证：； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点，已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围 28. 数学实验 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： AI ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． 【探究】 （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为 （填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法，请你作出折痕（草图即可），连接、，直接判断四边形的形状？ ；（填写四边形形状） 【拓展】 在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． （3）如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点M的对应点M′能否落在边上？______（填写“是”或“否”）； （4）如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点M的对应点M′始终落在边上，点Q的对应点为Q′，折痕与边分别交于两点．当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $