精品解析：2025年江苏省无锡市惠山区中考三模数学试卷

2024-2025学年第二学期初三中考第三次适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答卷两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解． 【详解】解：绝对值是 故选：B． 2. 中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 5. 劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形和圆锥的相关计算．根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：C． 6. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】根据题意知=20%， 解得a=20， 经检验：a=20是原分式方程的解， 故选B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 7. 为深入贯彻落实《关于进一步深化农村改革扎实推进乡村全面振兴的实施意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：54，64，51，50，61，56，则这组数据的中位数是（ ） A. 51 B. 55 C. 50 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，先把数据排序，位于中间位置的数为中位数，如果中间位置的数有两个，那么取它们的平均数作为中位数，即可作答． 【详解】解：先排序，得：50，51，54，56，61，64， 一共有个数据，排在中间位置的数分别是54，56 ∴这组数据的中位数是， 故选：B 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点，得，进而可得当重合时，此时取得最小值，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点， ∵抛物线与轴交于点，，顶点为， ∴， 当时 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当重合时，此时取得最小值， ∵ ∴，即的最小值， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 中国是世界第一贸易大国，世界第二大经济体，陆地面积约平方千米居世界第三位．用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此解答 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为 14. 正八边形的每一个外角是_________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据多边形的外角和定理解答即可． 【详解】解：正八边形外角和是， 正八边形的每一个外角是． 故答案为：45． 15. 某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为，再代入即可得到答案. 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，是的直径，弦于点，，如果，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 连接，判定为等边三角形，进而求解的长度，进而根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 17. 如图，点在反比例函数的图像上，连接交的图像于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的就是反比例函数的性质以及三角形相似的实际应用，在解决问题的时候得出三角形相似是解题的关键． 过点，作轴垂线，先证明，即可得出，再利用反比例的几何意义，即可得出，求解即可． 【详解】解：过点，作轴垂线，交于，，如图： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，点在的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点D、E、F分别是边、、上的动点且为等边三角形，设，，则y关于x的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角函数，垂直平分线的性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键． 作垂直平分线，分别交于点M，N连接，利用三角函数及全等三角形的判定与性质，用x表示出，利用勾股定理，即可解答． 【详解】解：作垂直平分线，分别交于点M，N连接，如图，有 ，，， ∴，， ， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，． ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，三角函数. （1）先计算三角函数，负整数指数幂，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，再计算加减即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式； （1）根据因式分解法计算即可； （2）先去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1即可 【详解】（1） 解得：，； （2）去分母： 移项合并同类项： 系数化为1： 21. 已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【答案】（1）50 （2）补全条形统计图见解析， （3）估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用A的总人数除以A所占比例即可求解； （2）用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图，再用D所占百分比； （3）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生人数为：（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：喜欢乒乓球的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如图： “跳绳”所对应的圆心角度数为：； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校约有408名学生课间喜欢乒乓球． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是 （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 24. 在中，． （1）求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； （2）已知，，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质、平行线分线段成比例，勾股定理等知识，正确确定圆心的位置是关键． （1）作的角平分线交与D，过D点作，交与O，以O为圆心，以为半径作圆即可； （2）设圆的半径为r，利用勾股定理即可求出，利用切线性质可知，从而得到，从而求出结果． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：设圆的半径为r， 为的切线， ， ，即 解得：， ， ， ， ． 25. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，再根据题意易证，即得出，即证明出是的切线； （2）设的半径为r，由，，可得，，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：如图，连接， 与边相切于点D， ，即， ，，， ， ， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为. 【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．作合适的辅助线是解答本题的关键． 26. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求两地的距离；结果保留根号 （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，， 【答案】（1）千米 （2）能行至码头靠岸，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点A作于点，可知为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）延长交l于D，证明，求出，比较与的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点A作于点， 由题意，得千米，千米， （千米） 中，（千米） （千米） 在中，（千米）； 【小问2详解】 解：如果该轮船不改变航向继续航行，能行至码头靠岸， 理由：延长交l于点， ，， ， ， ， （千米） ， 该轮船不改变航向继续航行，能行至码头靠岸． 27. 东东用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值，同时电流大小会随之改变． 已知串联电路中，电流I与电阻R及之间关系为，． 通过实验东东得到了如下数据： … 1 2 3 b … … a … （1） ， ； （2）结合表格信息，在图2中画出函数的大致图像； （3）结合（2）中的函数图像，直接写出不等式的解集为 ； （4）若点，都在函数的图像上，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2）画图见解析 （3） （4）当时或时，，当时，. 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与二次函数的综合应用； （1）由已知列出方程，即可解得a，b的值； （2）描点画出图像即可； （3）同一坐标系内画出两个图像，再观察即可得到答案． （4）由可得当或时，随的增大而减小，再分情况讨论即可. 【小问1详解】 解：根据题意，， ， 解得，； 【小问2详解】 解：描点，连线，如图所示， 【小问3详解】 解：如图，令， 当时，， 函数对称轴为直线， 此时， ∴的顶点为， ∴两个函数的交点坐标为，， 结合图像可得：不等式的解集为：； 【小问4详解】 解：，当或时，随的增大而减小， ∵点，都在函数的图像上， ∴当时，， ∴， 当时，即时，而， ∴， 当时，， 此时在轴下方，在轴上方， ∴， 综上：当时或时，，当时，. 28. 已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期初三中考第三次适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答卷两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 7. 为深入贯彻落实《关于进一步深化农村改革扎实推进乡村全面振兴的实施意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：54，64，51，50，61，56，则这组数据的中位数是（ ） A. 51 B. 55 C. 50 D. 56 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A 6 B. 10 C. 12 D. 20 10. 如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，最小值为（ ） A B. C. D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11 因式分解______． 12. 中国是世界第一贸易大国，世界第二大经济体，陆地面积约平方千米居世界第三位．用科学记数法表示为______． 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 14. 正八边形的每一个外角是_________度． 15. 某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：______． 16. 如图，是的直径，弦于点，，如果，则的长为________． 17. 如图，点在反比例函数的图像上，连接交的图像于点，若，则______． 18. 如图，在中，，，点D、E、F分别是边、、上的动点且为等边三角形，设，，则y关于x的函数表达式是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 21. 已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 22. 从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，B为“乒乓球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“跳绳”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 24. 在中，． （1）求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； （2）已知，，求边的长． 25. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头，在距码头西端M的正西方向千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求两地的距离；结果保留根号 （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由参考数据：，， 27. 东东用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值，同时电流大小会随之改变． 已知串联电路中，电流I与电阻R及之间关系为，． 通过实验东东得到了如下数据： … 1 2 3 b … … a … （1） ， ； （2）结合表格信息，在图2中画出函数的大致图像； （3）结合（2）中的函数图像，直接写出不等式的解集为 ； （4）若点，都在函数的图像上，试比较和的大小，并说明理由． 28. 已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $