精品解析：四川天立学校集团2025-2026学年高一下学期五月联测数学试题（3+1+2）

天立集团高2025级高一下五月联测试题（3+1+2） 数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由． 故选：D． 2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 3. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】因为 ，所以． 故选:C 4. 已知函数 ，则（ ） A. 其最小正周期为，最小值为0 B. 其最小正周期为，最小值为0 C. 其最小正周期为，最大值为 D. 其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】首先将拆分为两个函数，通过它们的最小正周期得到的最小正周期，由倍角公式将进行变形，通过二次函数的性质求得最值. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 6. 函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，点D是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，根据平面向量的线性运算与数量积的运算律可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 因为，由正弦定理得， 由，得，又，得， 又，则， 所以， 得， 由，得， 又，当且仅当时等号成立. 所以，即BD的最小值为. 故选：C 8. 已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再根据指数函数和幂函数，以及三角函数的性质，即可判断的大小，再根据函数的性质，即可判断选项. 【详解】时，，，， 所以，同理时，也有，所以是偶函数， 当时，单调递增， ，， 则，， 所以，所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 图象的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，然后结合正弦函数的图象性质，逐项进行判断即可. 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，则， 因为，所以，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因为，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，解得，此时， 所以图象的对称中心为，选项D正确. 故选：AD. 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有两个解 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用正弦定理判断；B.利用正弦定理判断；C利用正弦定理把边转化为角，再利用二倍角公式求解判断；D利用三角形面积公式和余弦定理求解判断. 【详解】A选项，由正弦定理得，因为，所以，则， 故A正确； B选项，因为，，，由正弦定理得， 则，因为，所以， 则，所以三角形有一解，故B错误； C选项，因为，所以， 即，所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故C正确； D选项， 因为面积，即， 所以，即，因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 14. 在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的单位化以及数量积可求得梯形的内角，根据外接圆的性质确定圆心，结合数量积的定义，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由梯形存在外接圆，则， 由，则， 所从，即梯形为等腰梯形， 易知的中点为外接圆圆心，则，， 所以， 由，则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量满足． （1）求与的夹角； （2）求； （3）已知，求的最小值以及取最小值时对应的． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式即可求解； （2）利用，结合数量积的运算即可求解； （3）由，结合二次函数即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 由题意得： ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以当时，， 所以的最小值为，此时. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，的最大值为4；时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则，从而可求出x的值； （2）根据题意可得，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 因为，，， 所以． 若，则，与矛盾， 故，于是．又， 所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以，从而． 所以， 于是，当，即时，取到最大值； 当，即时，取到最小值． 17. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若角A的平分线交边于点D，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，即可求解； （2）利用等面积思想把角平分线长用进面积公式，然后得到两边关系，再结合不等式，即可求出面积的最小值. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 所以，由，得， 又，所以. 【小问2详解】 由， ， 又因为，角A的平分线交边BC于点D， 所以，整理得：， 由基本不等式得：，所以，当且仅当时取等号， 即， 即面积的最小值为. 18. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 【答案】（1）150m （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，结合余弦定理求出的长度，在用的长减去的长度， （2）根据健身区的面积占整个场地面积的求出的长度，再求出的长度，再结合相似求出的长度，从而求出的面积. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， 所以. 故小路的长为. 【小问2详解】 由题知，的面积为， 又，所以，所以， 由是中位线易得，所以， 带入解得， 所以. 故休闲区的面积为. 19. 已知函数的图像在区间上是连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求t的取值范围； （3）若，，（，），求证：函数在区间上具有性质 【答案】（1）具有，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）由得，进而，可得； （3）设，，可得，当，，，…，中存在一个为0时，显然成立，当，，，…，中均不为0时，根据零点存在性定理可证. 【小问1详解】 因为. 所以函数在上具有性质 【小问2详解】 解法1：由题意，存在，使得. 所以，得. 又因为，且. 所以，即的取值范围是 解法2：当时，函数在单调递减， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴. 而函数在区间上具有性质，所以. 所以，即的取值范围是 【小问3详解】 设， 则有，. ，…，. 以上各式相加得 （ⅰ）当，，，…，中存在一个为0时， 不妨设，. 即. 即. 所以在区间上具有性质 （ⅱ）当，，，…，中均不为0时，由于其和为0. 则其中必存在正数和负数、不妨设. 其中，i， 由于的图像在区间上是连续不断的曲线，所以当时，由零点存在性定理知，至少存在一个实数，使得. 即. 即存在，使得. 所以在区间上也具有性质 练上，所以在区间上具有性质 【点睛】关键点点睛：本题第三问设，，只需证存在一个实数，使得即可，根据，由累加法可得，进而由，，，…，中是否存在一个为0进行分类，进而可证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天立集团高2025级高一下五月联测试题（3+1+2） 数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则（ ） A. 其最小正周期为，最小值为0 B. 其最小正周期为，最小值为0 C. 其最小正周期为，最大值为 D. 其最小正周期为，最大值为 5. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，点D是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 图象的对称中心为 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有两个解 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若的面积，则 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角的对边分别为，若，则角__________． 13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 14. 在梯形中，，，，梯形的外接圆圆心为O，圆O上有一个动点P，则的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量满足． （1）求与的夹角； （2）求； （3）已知，求的最小值以及取最小值时对应的． 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 17. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若角A的平分线交边于点D，，求面积的最小值． 18. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 19. 已知函数的图像在区间上是连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求t的取值范围； （3）若，，（，），求证：函数在区间上具有性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $