精品解析：四川内江市威远中学2025-2026学年高一下学期期中学情调研数学试题

威远中学校2025级高一下期期中学情调研 数学试卷 一、单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分) 1. 复数，则（   ） A. -3 B. 2 C. D. 4 2. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 4. 把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（ ） A. B. C. D. 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分) 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 11. 在中，角、、的对边分别为、、，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 14. 在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分) 15. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 已知函数，向量，． （1）求函数的周期及其单调递增区间； （2）当，求函数的值域． 17. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 18. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，若，求的值； （3）已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2025级高一下期期中学情调研 数学试卷 一、单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分) 1. 复数，则（   ） A. -3 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ， 所以. 2. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 3. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 4. 把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的变换求出函数解析式即可判断. 【详解】把函数图象向左平移个单位长度，得， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：A 5. 设，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，， ， ， ． 6. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分) 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后根据复数几何意义、虚部概念、复数模的公式和共轭复数概念逐一判断即可. 【详解】由得， 对于A，则在复平面内对应的点为，在第一象限，A正确； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量夹角以及投影向量的运算，逐项判断即可. 【详解】因为，所以，又，所以，故A错误； 因为，所以与的夹角为，故B正确； ，所以，所以C正确； 在上的投影向量， 所以D正确. 故选：BCD 11. 在中，角、、的对边分别为、、，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知等式，可判断A选项；利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知等式，可判断B选项；结合B选项中的结论可知，根据及可求出角、的值，结合直角三角形的几何性质可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质和二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由及余弦定理得，即，A错误； 对于B选项，由及正弦定理得， 即，所以， 即，所以，B正确； 对于C选项，由上知，所以、均不为直角，进而， 则，代入，得. 因为为锐角，所以所以，，所以，C正确； 对于D选项，过作，垂足为点，则. 又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量  ，且 ， 所以. 故答案为：6. 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 14. 在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理，余弦定理，正切二倍角公式以及两角和的正弦公式分析求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得：，又，所以， 因为面积为4，所以，① 由余弦定理可得：， 所以，② ①②可得：，即， 所以. 四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分) 15. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ，因为， 所以， 即. 16. 已知函数，向量，． （1）求函数的周期及其单调递增区间； （2）当，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换得，从而得到其最小正周期和单调增区间； （2）利用整体法得，从而得到其值域. 【小问1详解】 ， 则其最小正周期为， 令， 解得， 则其单调递增区间. 【小问2详解】 因为，则， 则其值域为，即. 17. 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）分别求出成绩落在与中的学生人数； （3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 【答案】（1） （2）， （3）众数：75 分；平均数：76.5 分；人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解； （2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可； （3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， 由题意得， 设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数， . 【小问3详解】 由题意得众数为75分； 由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1， 则平均数为， 设为78分以上的频率，为78分以上的人数， 则 ， 故78分以上的人数为47人. 18. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维平面上有两个点 ，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，若，求的值； （3）已知，，若，求、之间的曼哈顿距离． 【答案】（1）曼哈顿距离为，余弦距离为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离和余弦距离的定义求解即可； （2）根据定义，先将化简，联立解得的值，进而可得的值； （3）首先根据已知条件求出的坐标，再求出曼哈顿距离. 【小问1详解】 因为， 所以曼哈顿距离为：， 余弦相似度为： ， 所以余弦距离为. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 由解得， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以. 因为，所以. 又， 所以， 由知，所以. 所以，所以. 所以. 因为， ， 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $