第23讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念等核心考点，按“基础回顾-必备知识-题型突破-课时精练”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理构建角的分类、弧度公式、三角函数定义的内在联系，结合例题精讲与分层练习，帮助学生系统掌握终边相同角表示、扇形面积计算等高频考点。 讲义以题型为载体落实核心素养，如通过终边相同角集合求角培养数学抽象能力，扇形周长与面积关系问题渗透数学思维，三角函数定义应用强化数学语言表达。设置选择、填空、解答题分层训练，配合方法总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用教学资源。

第23讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 题型一 角及其表示 2 题型二 弧度制及其应用 7 题型三 三角函数的概念 12 题型四 三角函数的性质 16 课时精练 20 【基础回顾】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 【必备知识】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 题型一 角及其表示 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法; 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或 的终边所在的位置． 【例题精讲】 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 3．“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 4．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 5．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得. 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 6．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】， 因为是第四象限角，所以是第四象限角. 7．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号. 【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误； 对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误； 对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误； 对于D，由B分析，一定为正值，故D正确. 故选：D 8．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定第四象限在一个周期内的基础开区间（如270°到360°或到 0°），再给两端加上360°的整数倍以涵盖所有同终边的角即可求解. 【详解】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 9．（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 【答案】ABD 【分析】根据象限角的定义、锐角的定义逐一判断即可. 【详解】A．的角是指范围内的角，不属于任何象限，所以A不正确． B．是第二象限角，是第一象限角，显然，所以B不正确． C．钝角的范围是，显然是第二象限角，所以C正确． D．锐角的范围是，小于的角也可以是零角或负角，所以D不正确． 故选：ABD 10．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则为第一象限角 B．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C．在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 D．函数的零点是和 【答案】BC 【分析】结合三角函数定义检验选项A，结合象限角的定义检验选项B，结合扇形面积公式检验选项C，结合函数零点定义检验选项D． 【详解】对于A，若，则为第一象限或第三象限角，故A错误； 对于B，若是第二象限角，则，， 所以，， 则为第一象限或第三象限角，故B正确； 对于C，半径为，圆心角为的扇形面积，故C正确； 对于D，函数的零点是和2，故D错误． 题型二 弧度制及其应用 1.应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【例题精讲】 1．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 2．若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】设扇形弧长为，半径为，圆心角为，则， 已知， ． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合A中的k分和两种情况讨论可得. 【详解】因为， 当时， ，此时； 当时，，此时； 综上所述，. 4．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 5．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 6．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 7．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C 8．（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 9．（多选）下列结论正确的是（    ） A．已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B．若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C．点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 D．的值是正数 【答案】AC 【分析】根据终边相同角及象限角可判断A；由扇形的面积公式结合二次函数最值可判断B；根据任意角的三角函数的定义可判断C；根据各象限角的三角函数符号可判断D. 【详解】对于A，∵与120°角的终边关于x轴对称，∴则 与的终边在同一条直线，∴是第二或第四象限角，故A正确； 对于B，设扇形的半径为弧长为，由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，.故B不正确； 对于C，设，依题意可知，且Q在第一象限.所以，故C正确； 对于D，是第二象限角，，故D不正确. 故选：AC. 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 题型三 三角函数的概念 1.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． 2.利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 【例题精讲】 1．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由已知得： ． 2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用二倍角公式结合同角关系，得到的值，进而确定点坐标，由此可得的值，结合三角函数的概念可得的值，由此求解即可. 【详解】由题意得，,， 解得，则，即， 且，即,即, 则. 4．已知一电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则电子狗在点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：如图， 电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q， 因为，所以点是终边与单位圆的交点，过点作垂直于轴，垂足为点， 则． 又，所以，， 又点Q在第三象限的单位圆上，故． 方法二：电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q， 因为，所以点是终边与单位圆的交点， 所以点的坐标为. 因为，， 所以. 5．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解． 【详解】由题得，且圆的半径为， 所以， 所以． 8．（多选）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 对于A，当时，，此时，，故A正确， 对于B，当时，，在第四象限； 当时，，在第二象限，故B错误， 对于C，根据三角函数的定义可知，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求解判断ABC；利用二倍角的正切公式计算判断D. 【详解】对于A，由终边经过点，得，解得，A正确； 对于BC，，B错误，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 10．（多选）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法正确的有（    ） A．是第四象限角 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数比较大小对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，因为，所以， 又 ， 所以点在第四象限，所以是第四象限角,故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，解得（正值舍去）．故C不正确； 对于D，由C的分析知，.故D正确. 故选：AD. 题型四 三角函数的性质 已知象限判符号：由角所在象限直接判断．已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限． 【例题精讲】 1．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当 ，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当 ，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 2．已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 角的终边在第三象限，        ∴ . ∵ ，， ∴ . ∴ . 3．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 4．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 5．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 6．下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和象限角的符号判定即可求解. 【详解】判断①，，是第三象限角，第三象限角的正弦值为负，因此①为负； 判断②，余弦函数是偶函数，，，终边与相同， 是第四象限角，第四象限角的余弦值为正，因此②为正； 判断③， ，是第三象限角，第三象限角的余弦值为负，因此③为负； 判断④，因为是弧度，，弧度是第二象限角，第二象限角的正弦值为正，因此④为正. 7．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】A 【分析】根据对数型函数有意义以及角的三角函数值的符号判断角所在象限. 【详解】要使函数有意义，则，即需或， 当时，是第一象限角；当时，是第二象限角， 所以是第一或第二象限角. 8．（多选）下列结论中正确的是（   ） A． B．若是第三象限角，则 C．若角的终边过点，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据弧度制与角度制之间的转化分析判断；对于B：根据象限角三角函数值的正负性分析判断；对于C：根据任意角三角函数值的定义运算求解；对于D：根据倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确； 对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 9．（多选）下列结论中，正确的有（   ） A． B．若为第二象限角，则为第一或三象限角 C．若扇形的周长为4，面积为1，则半径为1 D．若， 【答案】BCD 【详解】对于A，2弧度和3弧度都属于区间，即都是第二象限角，则，，因此，故A错误； 对于B，为第二象限角，则满足， 两边同除以2得： ， 当为偶数，为第一象限角，当为奇数，为第三象限角，故B正确； 对于C，设扇形半径为，圆心角弧度数为，由题意得： 周长：，面积： ， 将代入面积公式，整理得，解得，故C正确； 对于D，由，根据换底公式得， 因此，即，故： ，故D正确． 10．（多选）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由角所在的象限确定三角函数的符号. 【详解】因为为第三象限角， 所以，，， 则，，的正负不确定． 故答案为：ABC. 课时精练 一、单选题 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 3．已知420°角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】因为，，所以420°是第一象限角. 4．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 5．下列结论正确的是（    ） A．若角，则角是第一象限角 B．若角，则角与角的终边相同 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边上有一点，则 【答案】B 【分析】根据角度直接判断A；根据判断B，根据，判断C，根据三角函数终边点的定义判断D. 【详解】对于A，角是第四象限角，故错误； 对于B，由于，故角与角的终边相同，正确； 对于C，角为锐角，则，，故为钝角不一定成立，错误； 对于D，由题，故，错误. 故选：B 6．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 7．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数符号，可确定象限角，从而可得到判断. 【详解】由点在第三象限，可知，所以角为第四象限角， 即“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充分条件， 再由角为第四象限角，可知，即点在第三象限， 所以“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充要条件， 故选：C 8．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【分析】先判断三角函数值的符号，即可得到是第四象限的角 【详解】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 二、多选题 9．（多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由是第四象限角，可得，，而，， 所以 ，，. 10．（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 【答案】BC 【分析】过作，则，再求即可判断A；求出，进而得到即可判断B；利用扇形的弧长及面积公式求解CD即可． 【详解】解：由题可知，过作， 则，，，故A错误； ， ，故B正确； ，则，， 涂色区域周长为，故C正确； ，， 涂色区域面积，故D错误． 11．（多选）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．函数的定义域为 【答案】AC 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，.，C正确； 对于D，函数的定义域为，D错误. 三、填空题 12．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 【答案】 【详解】由弧长公式，其中，，得． 13．已知为第三象限角，则是第___象限角，是___的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【分析】求出，，即得解. 【详解】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 14．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得. 四、解答题 15．青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. (1)当米时，求团队游戏区的面积； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，由正弦定理，求得，进而得到，结合扇形的面积公式，即可求解； （2）设，在中，由正弦定理，求得，化简的面积为，结合三角函数的图像与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 在中，， 由正弦定理，可得， 即，解得，则， 因为，所以，所以， 所以团队游戏区（扇形）的面积为（平方米）. （2）解：设，则， 在中，， 由正弦定理得， 则的面积为： ， 因为，所以， 所以当时，即时，取得最大值1， 此时的最大值为平方米. 16．如图，以为始边作角与，角终边过点. (1)求值； (2)求的值； (3)若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用齐次式法求解即可； （3）利用三角函数的定义可求得，结合图形与已知可得，利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）因为角终边过点，所以. （2）； （3）因为角终边过点，所以， 所以， 因为，结合图形可得， 所以，， 所以. 17．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【答案】 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解. 【详解】终边落在射线OA上的角为，，即，， 终边落在射线OB上的角为，，即，， 故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为． 18．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）（2）时，面积S取得最大值 【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）设扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得（舍去），． 所以扇形圆心角为． （2）设扇形半径为，弧长为， 由已知得，． 所以扇形面积， 所以当时，S取得最大值，此时，解得． 当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大为． 19．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得，进而得出，即可求解. 【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为． （2）因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为， 则， 所以，. 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 题型一 角及其表示 2 题型二 弧度制及其应用 4 题型三 三角函数的概念 6 题型四 三角函数的性质 7 课时精练 8 【基础回顾】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝. 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 【必备知识】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 题型一 角及其表示 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法; 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或 的终边所在的位置． 【例题精讲】 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 5．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（        ） A． B． C． D． 8．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 10．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若，则为第一象限角 B．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C．在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 D．函数的零点是和 题型二 弧度制及其应用 1.应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【例题精讲】 1．若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 2．若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B． C． D．1 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 5．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 8．（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 9．（多选）下列结论正确的是（    ） A．已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B．若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C．点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 D．的值是正数 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 题型三 三角函数的概念 1.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． 2.利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 【例题精讲】 1．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知一电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则电子狗在点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 9．（多选）在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法正确的有（    ） A．是第四象限角 B． C． D． 题型四 三角函数的性质 已知象限判符号：由角所在象限直接判断．已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限． 【例题精讲】 1．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 2．已知角的终边在第三象限，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 5．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 6．下列式子中：①；②；③；④，值为正的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 7．使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 8．（多选）下列结论中正确的是（   ） A． B．若是第三象限角，则 C．若角的终边过点，则 D． 9．（多选）下列结论中，正确的有（   ） A． B．若为第二象限角，则为第一或三象限角 C．若扇形的周长为4，面积为1，则半径为1 D．若， 10．（多选）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 课时精练 一、单选题 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 3．已知420°角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列结论正确的是（    ） A．若角，则角是第一象限角 B．若角，则角与角的终边相同 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边上有一点，则 6．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 7．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 二、多选题 9．（多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 11．（多选）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．函数的定义域为 三、填空题 12．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 13．已知为第三象限角，则是第___象限角，是___的角． 14．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 四、解答题 15．青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. (1)当米时，求团队游戏区的面积； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 16．如图，以为始边作角与，角终边过点. (1)求值； (2)求的值； (3)若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值. 17．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 18．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 19．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $