第04讲 函数的概念及其表示讲义-2027届高三数学一轮复习（天津）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的概念及其表示核心考点，涵盖定义域、值域、解析式、分段函数等内容，按概念理解、性质应用、方法突破的逻辑层次组织知识点。通过考点梳理、题型精讲、方法指导、真题训练的教学环节，帮助学生系统构建知识网络，突破定义域求解、分段函数求值等难点。 讲义以考情分析为导向，整合天津卷近三年真题案例，采用“概念辨析-题型突破-真题应用”的教学模式。在分段函数教学中，通过“从内到外求值”“分类讨论解不等式”等策略培养学生的数学思维，设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习。助力学生提升函数问题的解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

一轮复习讲义精准覆盖 上好一堂课 第03讲 函数的概念及其表示 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.理解构成函数的要素，能求函数的定义域与值域 2.在实际情境中，会求解函数值和解析式 3.理解简单的分段函数，并能简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷， 第3题,5分 2024年天津卷， 第15题,5分 2023年天津， 第15题,5分 考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以函数作为载体，考查函数的定义域与值域，是天津高考一轮复习的重点内容. 复习目标： 1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数 2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题 知识点一 函数的概念及其判断 函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中 的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的 ，记为，集合，叫做 ，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素： 、 、 (5)同一函数：两个函数只有在 和 都相等时，两个函数才相同. 题型1 函数的概念及其判断 例1-1下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B．C． D． 【变式训练1-1】若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．     B．  C．     D．   题型2 相同函数的判定 例2-1.下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-1】下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-1·变考法】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 知识点二 函数的定义域 基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； 题型3 已知解析式求定义域 例3-1.已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2025·天津·模拟预测）设函数定义域为，函数定义域为，则（    ） A． B． C． D． B． 的值域 函数的值域概念 值域是 的取值范围，它是由定义域和对应关系所确定的，所以求值域时要注意 函数的最值概念 最值 最大值 最小值 条件 设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 (1)∀x∈D，都有__f(x)≤M__； ∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (2)∀x∈D，都有 ； ∃x0∈D，使得_ _ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的 基本函数的值域 (1)一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为 (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域： 当a＞0时，值域为 [，＋∞)；当a＜0时，值域为 (3)反比例函数y＝(x≠0)的值域为 题型4：函数值域的多种求解方法及适用场景 例4-1．求下列函数的值域 (1)， (2)， 【变式训练4-1】函数y＝的值域是(　　) A．R B．{y|y≠－1，y∈R} C．{y|y≠2，y∈R} D．{2} 【变式训练4-1】．(教材母题必修3.2例5改编)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝(　　) A．4 B．6 C．10 D．24 例4-2．求函数的值域为________． 【变式训练4-2】函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是( ) A．[1,6] B．[－3,1] C．[－3,6] D．[－3，＋∞) 例4-3．已知x∈[－3，－1]，则函数y＝x＋＋2的最大值为________，最小值为________． 【变式训练4-3】．求函数在区间的值域． 的解析式 适用条件：已知函数解析式的类型 步骤如下： 第一步：先设出第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式 第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数. 题型5 待定系数法求解析式 例5-1.已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【变式训练5-1】已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 例5-2.若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 知识点五 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 题型6 求分段函数的函数值 例6-1(2026·东丽模拟)已知函数f(x)＝则f(5)＝(　　) A．－2 B．4 C．10 D．16 【变式训练6-1】（2025·天津·调研）已知函数，则f [f(2)]＝（   ） A． B． C．3 D．9 【变式训练6-1】已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 分段函数求值 分段函数求值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 例6-2.已知，若，则实数a的值为________． 【变式训练6-2】已知函数，若，则实数a的值为__________． 【变式训练6-2】设函数，若，则______． 题型7 分段函数解不等式 例7-1.已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知，求不等式，解的取值范围_______ 【变式训练7-2】已知函数，解不等式 题型8 画分段函数图像 例8-1。画图像 画图像 画图像 【变式训练8-1】已知函数，，.用表示，中的最小者，记为.画出图像 【变式训练8-2】．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝画出函数图像并求出最值 【课后训练】 1.下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 2.下列各组函数中，与表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.（2026·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5.（25-26高三上·河南焦作·月考）设函数 ，则（    ） A．8 B．9 C．5 D．4 6．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知函数，则方程所有的根之和为（   ） A． B．1 C．5 D．7 7．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为 ． 8．若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是______________． 9.（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域. 知识点1 函数的概念及其判断 函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 例1-1下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一分析选项即可. 【详解】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应， 符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象； 对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义， 则D中图象不是函数图象． 故选：D 【变式训练1-1】若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．     B．   C．     D．   【答案】B 【分析】根据题意，由函数的概念，结合图像逐一分析，即可得到结果. 【详解】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 例2-1下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误. 故选：B 【变式训练2-1】下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念判断． 【详解】对于A，由得，则的定义域为， 由得或，则的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，的定义域为，且， 它们的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一函数，故D正确． 故选：D． 【变式训练2-1·变考法】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为定义域为， 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为定义域为, 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 【变式训练3-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】要使函数有意义， 只须，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式训练3-2】（2025·天津·模拟预测）设函数定义域为，函数定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次方根的被开方数非负求出集合，根据对数函数的真数大于，求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数定义域为； 对于函数，令，即，解得， 所以函数定义域为， 所以. 故选：C 题型5 待定系数法求解析式 例5-1已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 【变式训练2-1】已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再把1代入即可求解. 【详解】设，则，解得， ，． 故选：A 【变式训练5-1】设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 【答案】B 【解析】利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式. 【详解】设一次函数， 则， ， ， 解得或， 或， 或. 故选：B. 例5-2.若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式训练6-2】若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解. 【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：A 题型6 求分段函数的函数值 【变式8-1】已知函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 【解析】（1）根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示： 【课后训练答案】 1、下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 2、下列各组函数中，与表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，，对应关系也相同，所以与是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为,则两个函数定义域不相同，所以与不是同一函数，故D错误； 3、（2026·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，只需满足，解得且， 所以函数的定义域是 4．（25-26高三上·广东·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以函数的定义域为. 故选：C 5．（25-26高三上·河南焦作·月考）设函数 ，则（    ） A．8 B．9 C．5 D．4 【答案】B 【解析】由函数，可得， 所以. 故选：B. 6．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知函数，则方程所有的根之和为（   ） A． B．1 C．5 D．7 【答案】B 【解析】由，得或， 所以或，所有根的和为1. 故选：B 7．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为： 8. 9．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域. 【解析】（1）. 所以. 故. （2）当时，. 因，所以，即. 当时，. 当时，. 因，所以，即. 综上，当时，的值域为. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $