第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦两角和差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式核心考点，按基础回顾（公式及变形）、题型分类（给角求值、给值求角、综合应用）系统架构知识，通过考点梳理、方法指导（如给角求值三步法）、真题训练（课时精练分层设计）帮助学生突破公式应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用题型步骤化教学（如给值求角中分析角关系、公式选择、符号判断），结合综合应用题型（与三角函数性质、解三角形、向量结合）训练推理能力和模型意识。设置基础到综合的分层练习，配合例题精讲即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 给角求值 1 题型二 给值求角 3 题型三 与其他知识点的综合应用 4 课时精练 7 【基础回顾】 知识点1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必备知识】 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)tan αtan β＝1－＝－1. 题型一 给角求值 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 1.确定目标角与已知角的关系： 将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）． 2.计算所需中间量： 利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）． 3.代入和差公式计算： 严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆． 【例题精讲】 1．（    ） A．0 B． C．2 D． 2．的值是（   ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 7．已知且，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 给值求角 步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差． 步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）． 步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果． 注意事项： 合理配角，如， 【例题精讲】 1．若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列三角恒等变换及结论正确的是（    ） A． B．已知，则 C．若，则 D．已知是方程的两根，且，则 10．（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 与其他知识点的综合应用 1.与三角函数性质结合： 求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质． 2.与解三角形结合： 在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题． 3.与向量结合： 若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角． 【例题精讲】 1．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图像上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 3．已知函数，则以下结论正确的个数为（     ） ①函数最小正周期是； ②函数最大值与最小值距离为； ③函数在区间上是严格减函数； ④对任意，使得“”成立的充要条件是“”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．函数对应的图像如图，点为图像与轴的交点，点为图像的最高点，点为图像的最低点， 若，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 5．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 6．记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数（不同时为0）在处取得最值，则下列说法正确的是（   ） A．函数的周期为 B．函数关于对称 C．函数关于点成中心对称 D．函数在上单调 9．（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，当时，函数取得最大值，则 10．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的最小正周期为 课时精练 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，与的值不相等的是（   ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 6．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（多选）已知，函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是偶函数 D．若在区间内有两个根，则 11．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （    ） A． B．若， ，则有两解 C．当时为直角三角形 D．的取值范围是 三、填空题 12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 13．已知，则_____. 14．如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 16．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17．已知函数． (1)已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图像过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 18．（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 给角求值 2 题型二 给值求角 5 题型三 与其他知识点的综合应用 11 课时精练 18 【基础回顾】 知识点1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必备知识】 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)tan αtan β＝1－＝－1. 题型一 给角求值 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 1.确定目标角与已知角的关系： 将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）． 2.计算所需中间量： 利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）． 3.代入和差公式计算： 严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆． 【例题精讲】 1．（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 2．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】 . 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：. 4．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由商数关系得，再应用和差角正弦公式求函数值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以． 6．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 7．已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方关系求得，再由两角和的余弦公式求值. 【详解】因为，， 所以， 则． 故选：C. 8．（多选）下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的三角函数公式、辅助角公式、二倍角公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得， 因此，D错误. 9．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则，即，C正确； 对于D， ，D错误. 10．（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式，辅助角公式，正切的两角和公式求解即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 题型二 给值求角 步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差． 步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）． 步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果． 注意事项： 合理配角，如， 【例题精讲】 1．若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由已知，故， 所以或 所以或. 则的值可以为. 2．已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，得，令，求出的值，即可得答案. 【详解】将代入， 得， 令， 因为，所以， 所以， 所以， 所以原方程即为， 解得或(舍)， 所以，， 所以， 解得. 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和余弦公式求出，再根据角的范围求角. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 4．已知，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对两个含的分式进行三角恒等变形，将上述等式转化为角度之间的关系，建立关于的方程，分别代入选项中的或的值，验证是否满足推导得出的角度关系. 【详解】因， 由题意可得，则 ， 整理得：，即①. 由可得， 即， 即②. 对于A，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故A可能成立； 对于B，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故B可能成立； 对于C，若，由①可得，即，故C不能成立； 对于D，若由①可得，即，故D可能成立. 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦二倍角公式、余弦二倍角公式，同角三角函数关系以及诱导公式分析即可. 【详解】当，等式左边，等式右边， 此时，故等式不成立，所以， 所以变形得：， 即， 因为，所以， 所以，又，所以当时，. 6．已知，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由，得，而， 因此，解得， 所以. 7．若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 8．（多选）若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合辅助角公式条件等式可化为，结合正弦函数性质讨论可得，，由此可求结论. 【详解】因为， 又， 所以，即， 所以或，对任意的恒成立， 即或对任意的恒成立， 因为对任意的不可能恒成立， 故，又， 当时，； 当时，； 所以的值为或． 9．（多选）下列三角恒等变换及结论正确的是（    ） A． B．已知，则 C．若，则 D．已知是方程的两根，且，则 【答案】ABC 【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可判断A，由同角三角函数的平方关系以及正弦的和差角公式代入计算，即可判断B，由半角公式代入计算，即可判断C，由韦达定理结合正切的和差角公式代入计算，即可判断D. 【详解】A选项：根据两角和正弦公式，则，则 ， 所以A正确． B选项：因为，，可得． 又，，所以，已知， 则． 根据， 代入计算得，B正确． C选项：根据二倍角公式，可得，已知， 所以，C正确． D选项：由韦达定理得，，根据两角和正切公式 ，则． 因为，，所以，， 又，所以，，所以，D错误． 故选：ABC 10．（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 题型三 与其他知识点的综合应用 1.与三角函数性质结合： 求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质． 2.与解三角形结合： 在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题． 3.与向量结合： 若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角． 【例题精讲】 1．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 2．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图像上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合中点坐标性质得到两点函数值互为相反数，推出两点水平距离为半个周期，进而求解. 【详解】由余弦和角公式化简函数解析式，. 由线段的中点在轴上，得，即. 对于余弦型函数，若两点处函数值互为相反数，结合图像的走势特征， 可知两点间水平距离为半个最小正周期. 即，得最小正周期. 由周期公式，代入得，解得. 3．已知函数，则以下结论正确的个数为（     ） ①函数最小正周期是； ②函数最大值与最小值距离为； ③函数在区间上是严格减函数； ④对任意，使得“”成立的充要条件是“”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 对自变量进行分象限讨论去绝对值，再利用三角恒等变形，即可得到判断. 【详解】因为， 且则， 所以函数最小正周期不是；故①错误； 当时，， 当时，，当时，； 当时，， 当时，，当时，； 综上函数最大值与最小值距离为，故②正确； 当时，，所以， 此时，由正弦函数在上单调递减， 可得函数在区间上是严格减函数，故③正确； 当，由， 当为偶数，则， 此时，故④错误. 4．函数对应的图像如图，点为图像与轴的交点，点为图像的最高点，点为图像的最低点， 若，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数化简为标准正弦型，确定最高点、最低点的纵坐标，再利用对称性得到中点在 轴上，结合向量垂直条件推出直角三角形，利用 “斜边上的中线等于斜边的一半” 建立关系，最后用周期表示线段长度，解方程求出周期，进而得到 的值. 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图像的最高点，可得，点为图像最低点，可得， 点是图像与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 5．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 6．记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和角公式与正弦定理将题设等式化成，结合角的范围即可求得角. 【详解】由，展开得， 由正弦定理，， 因， 代入可得， 即. 因为，所以，故， 则，又，所以. 7．已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式进行化简，问题转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】. 函数在上有且只有两个零点，可以转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 令，因为，则. 结合的图像可知，若在有且仅有两个不相等的实根， 则，解得. 故的取值范围是. 8．（多选）已知函数（不同时为0）在处取得最值，则下列说法正确的是（   ） A．函数的周期为 B．函数关于对称 C．函数关于点成中心对称 D．函数在上单调 【答案】ABD 【详解】函数 所以函数的周期为，所以A正确； 因为函数在处取得最值，函数关于对称，所以B正确； 因为函数在处取得最值，所以，所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以不关于点成中心对称，所以C错误； 若，则， 因为是增函数， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当为奇数时，在上单调递减； 当为偶数时，在上单调递增. 所以D正确. 9．（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，当时，函数取得最大值，则 【答案】BCD 【分析】本题逐一分析四选项，A，代入换元判断区间内单调性判定错误，B，利用对称轴处函数取最值列等式平方求解参数得结果正确，C，由对称中心函数值为零求出正切值，再用齐次式算出二倍角正弦值成立，D，借助辅助角公式结合最值条件推导出与关系，利用三角恒等变换与角范围取舍正切值判定正确. 【详解】选项A：时， 令，得 该范围横跨正弦函数减区间与增区间，故在此区间不单调，A错误； 选项B：关于对称，则为最值. 代入得，即. 两边平方化简得，B正确； 选项C：当时，，是对称中心，则. 即，. ，C正确； 选项D：当时，，时取最大值. 由辅助角公式，其中， 且，即. 取最大值时，，， 则，， 所以， 故. 由正切二倍角公式 整理得，解得. 因为，所以，因此选项D正确. 10．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的最小正周期为 【答案】ABD 【分析】分析可知函数的定义域为，且，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 且. 对于A：因为，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：若，则，可得在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C：因为，则， 所以的值域为，故C错误； 对于D：的最小正周期为，故D正确. 课时精练 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 2．下列选项中，与的值不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，再结合三角恒等变换依次讨论各选项即可得答案. 【详解】， 对于A，，等于，故不满足； 对于B，，等于，故不满足； 对于C，，等于，故不满足； 对于D，，不等于，故满足题意. 3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数的定义以及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】因为，所以，，所以为第四象限角. 因为，又，所以. 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 5．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 6．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 7．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 8．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式、二倍角正弦公式和半角公式，先把，，分别化成同一类三角函数值，再利用余弦函数在上的单调性比较大小． 【详解】因为，，所以. 由两角和的余弦公式，得. 因为.所以. 又因为，所以. 由半角公式，得. 即. 因为为锐角，所以，从而. 又因为，所以. 由于. 且余弦函数在上单调递减，所以. 即. 二、多选题 9．（多选）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】对于AB：利用诱导公式运算求解；对于C：利用倍角公式运算求解；对于D：利用两角和差公式可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：当时，则，所以，故A错误； 对于选项B：当时，则，故B正确； 对于选项C：当时，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，， 可得，，所以，故D正确. 10．（多选）已知，函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是偶函数 D．若在区间内有两个根，则 【答案】ABC 【分析】A：化简，根据最小正周期计算公式求得结果；B：令，根据的单调性判断出的单调性；C：先计算出的解析式，然后根据解析式直接判断奇偶性；D：根据条件计算出的值，由此可得的表示，则的关系式可求，则的值可求. 【详解】对于A：，所以，故正确； 对于B：令，因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故正确； 对于C：， 因为为偶函数，所以为偶函数，故正确； 对于D：因为，所以，且， 所以或，所以或， 因为为在区间内有两个根， 所以，所以，故错误； 故选：ABC. 11．（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （    ） A． B．若， ，则有两解 C．当时为直角三角形 D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简求解即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；通过余弦定理及可得或（舍），再利用正弦定理即可判断C；化简得，结合的取值范围即可判断D. 【详解】对于A， ， 由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，所以，所以， ，， 即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，整理得， 由，所以或（舍），即有一解，故B错误； 对于C，因为，所以， 两边平方得，即， 由余弦定理得， 所以，即，解得或（舍）， ，则，由正弦定理有，解得， 故为直角三角形，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，所以，所以， 所以的取值范围是，故D错误. 三、填空题 12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解. 【详解】在中，由，得， 整理得， 而，则，又是锐角，所以. 13．已知，则_____. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据切化弦的方法，结合正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以，解得， 所以． 14．如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 【答案】(1) (2)时，，时， 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式即可求解； （2）根据向量数量积的坐标公式结合辅助角公式，然后利用正弦型函数的性质即可求解. 【详解】（1）由向量. 因为，所以 ，解得， 又因为，所以； （2）由， 因为，所以， 当时，即时，； 当时，即时， ． 16．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 17．已知函数． (1)已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图像过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦函数的奇偶性求得的解析式，利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，求出给定区间上的最小值，将问题转化为，解不等式即得结果； （2）由函数图像所过点的坐标求得的解析式，利用正弦函数性质求得，利用二倍角公式变形，结合二次函数性质分类讨论求得，而题中不等式成立等价于，由此可得参数范围． 【详解】（1）因为是偶函数，且，所以，， ， 当时，， 所以当，即时，在上取得最小值. 若存在，使不等式成立，则，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）若对任意的，总存在，使成立， 则， 函数的图像过点，则， 又，所以， 所以，解得， 所以， 当时，，所以当，即时，取得最大值， . 当时，， 若，则当时，取得最大值， 由得，解得，所以； 若，则当时，取得最大值， 由得，,所以； 若，则当时，取得最大值， 由得，,所以. 综上，． 所以实数的取值范围是． 18．（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解； （2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可． 【详解】（1）， 得， 解得； （2），，，， ，， 又，， ． 19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $