精品解析：上海交通大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

交大附中高二期中数学试卷 2026.05 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为________． 2. 双曲线的离心率为_________． 3. 半径为2的球的体积为__． 4. 平行线与之间的距离为________． 5. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 6. 的二项展开式中，各项系数的和为________． 7. 函数在点处的切线的斜率为________． 8. 的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 9. 若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 10. 背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 11. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 12. 设数列是项数为10的有穷数列，且对任意，，都有．若数列满足：①若，则；②存在，使得；则满足条件的数列共有________个(结果用数值表示)． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分） 13. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 14. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 15. 设（常数），“是函数的极大值点”的一个必要条件是（ ） A. 直线倾斜角为锐角 B. 直线倾斜角为钝角 C. 曲线与存在横坐标大于1的公共点 D. 曲线与存在横坐标小于0的公共点 16. 已知抛物线的焦点为F，点（，）是上互不相同的点，且存在实数A，B，使得对任意正整数n，均有．给出下列两个结论：①数列是等差数列；②存在正整数m，k，使得是，的等比中项；则（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列满足，，，．设． （1）证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 18. 如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 20. 小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示．将胶条展开在一个平面上，可视其为一个直角梯形和一个平行四边形，胶条长为线段的长，宽2.5厘米（宽度为与之间的距离），与延长线的夹角可作小范围调整，如图1所示（点线部分表示省略）．小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱； 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线．缠绕胶条时，将贴合，贴合圆柱下底面圆周，恰好又落在上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到（与平行的某条线段再次落到上）视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段缠绕握把视为第1圈； 根据以上假设： （1）求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）； （2）设，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到0.1平方厘米）； （3）实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为 厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为d厘米）．小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界落在上，且中点恰落在圆柱上底面圆周上．若某款胶条长118厘米，试问：该方案中这款胶条是否够用？ 21. 设圆：和：在第一象限内的公共点为，曲线由上横坐标小于等于的点以及上横坐标大于的点组成，如图所示． （1）设，求r的值并判断抛物线焦点与圆的位置关系； （2）设．过点A作一对相互垂直的直线，，使得与交于第三象限中的点B，与交于异于A的点C．若的面积，求直线的斜率； （3）设是曲线上异于A的一点，过点P作直线l．当直线l与曲线恰有三个公共点，将另外两个公共点分别记为M，N，若 恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高二期中数学试卷 2026.05 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率. 【详解】依题意，直线的斜率为. 故答案为： 2. 双曲线的离心率为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】 3. 半径为2的球的体积为__． 【答案】. 【解析】 【分析】由球体体积公式可得答案. 【详解】. 故答案为： 4. 平行线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 5. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，线段的中点为，求直线和的夹角即可. 【详解】设，线段的中点为， 因为为正方形，所以为中点，则是的中位线，则， 因为，所以、全等， 则，则，则， 故异面直线与所成角的大小为. 6. 的二项展开式中，各项系数的和为________． 【答案】64 【解析】 【详解】令即可求出二项展开式各项的系数和为 . 7. 函数在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 则，即函数在点处的切线的斜率为. 8. 的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 【答案】480 【解析】 【详解】， 要得到含的项，则6个因式中有1个因式取，2个因式取，3个因式取， 所以含的项为，系数为. 9. 若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将方程有解问题转化为函数值域问题，接着对函数求导确定极值点，最后比较极值与区间端点函数值得到函数在给定区间的值域，即的取值范围. 【详解】由题意可得，原方程可变形为 ， 所以方程在上有解等价于属于函数 在上的值域， 对求导得： ， 令，则或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为， 又因为， ， 因此在上的最小值为​，最大值为，故的取值范围是 . 10. 背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】将“math”按固定顺序视为整体，结合字母卡片的重复情况计算符合条件的排列数，再利用古典概型公式求解概率. 【详解】总事件数为9张不同序号卡片的全排列数，即. 事件A为字母序列中出现连续的“math”单词， 需从1张m、2张a、2张t、1张h卡片中各选1张（m、h选法各1种，a、t选法各2种）， 按 顺序组成一个整体，该整体内部顺序固定. 将此整体与剩余5张卡片（含1张剩余a、1张剩余t、f、e、r）共6个元素全排列， 排列数为，因此事件A的排列数为 . 所以概率为：. 11. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 12. 设数列是项数为10的有穷数列，且对任意，，都有．若数列满足：①若，则；②存在，使得；则满足条件的数列共有________个(结果用数值表示)． 【答案】176176 【解析】 【分析】将数列按奇偶位拆分为两个独立子数列，计算单个长度为5的子数列满足条件的个数，再通过乘法原理与补集思想，减去无±2项的数列数，得到最终结果. 【详解】依题意，. 将数列分为奇数位子数列()与偶数位子数列()，二者独立， 条件①的约束仅在各自子数列内生效. 设长度为的子数列(项)满足条件①的个数为， 计算时的： 位置1为(2种)，后续项被依次确定，共2种； 位置1非(3种)、位置3为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3非(种)、位置5为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3,5非(种)、位置7为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3,5,7非(种)、位置9任意(5种)，共种. 求和得. 所有满足条件①的数列总数为. 所有项均不为的数列数为(此时条件①自动成立). 满足条件①②的数列数为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分） 13. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项： ，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 14. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 15. 设（常数），“是函数的极大值点”的一个必要条件是（ ） A. 直线倾斜角为锐角 B. 直线倾斜角为钝角 C. 曲线与存在横坐标大于1的公共点 D. 曲线与存在横坐标小于0的公共点 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，根据是函数的极大值点得出的取值范围，再逐一分析选项，判断其是否为“是函数的极大值点”的必要条件。 【详解】 ，令 ，则， 因为是函数的极大值点，所以在两侧导数符号需满足左正右负， 即 ，解得， 对于A，若直线的倾斜角为锐角，则直线斜率， 由可以推出， 所以“直线的倾斜角为锐角”是“是函数的极大值点”的必要条件，A正确； 对于B，若直线的倾斜角为钝角，则直线斜率， 而与没有包含关系， 所以“直线的倾斜角为钝角”不是“是函数的极大值点”的必要条件，B错误； 对于C， ，令，即 ， 这个方程的解即曲线与的公共点横坐标，存在横坐标大于的公共点， 即 有解，当时，不一定有满足此条件的解， 例如 时，如图， 的解只有和，没有的解， 即“”推不出“存在的公共点”，故C错. 对于D，存在横坐标小于的公共点， 即有解， 故（因为，当且仅当时等号成立），故, 故推不出曲线与直线有横坐标小于零的公共点，故D错. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（，）是上互不相同的点，且存在实数A，B，使得对任意正整数n，均有．给出下列两个结论：①数列是等差数列；②存在正整数m，k，使得是，的等比中项；则（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据 可求 ，再根据焦半径公式可求的通项公式，依据等差数列的定义可判断①的正误，取，，则根据等比中项可求，故可判断②的正误. 【详解】因为 ， 所以， 当时， 满足 ， 故 . 由焦半径公式可得 ， 故 ， 故，故是等差数列，故①正确. 取，，则， 若存在正整数，使得是的等比中项， 则，故， 所以，故， 所以， 故， 整理得到 ，故，这与为正整数矛盾， 故②错误. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列满足，，，．设． （1）证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 【答案】（1）证明见解析， （2）最小项为，相应的序数为8． 【解析】 【分析】（1）对递推式取倒数，得到相邻两项倒数的差为常数，从而证明数列是等差数列，进而求出通项； （2）利用等差数列前项和公式得到 ，根据二次函数特征确定最小值在对称轴处取得，即可解答. 【小问1详解】 在两边取倒数，有，， 即，因为， 因此是以为首项，以为公差的等差数列． 所以 ， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可知．所以， 令，该二次函数开口向上，对称轴为，所以， 所以数列的最小项为 ，相应的序数为8． 18. 如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断直线平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图所示，以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． ，，．，，； 由，因此，从而直线． 于是，不在平面上的直线平行于该平面上的直线， 因此根据直线与平面平行判定定理，就有直线平面． 【小问2详解】 ，设平面的法向量为，则， 代入坐标得令，则， 因此是平面的一个法向量． 平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则． 综上所述，平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 19. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【答案】（1） （2） （3）平均值为89.5，方差为21． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据分层抽样法，结合古典概型的概率公式求解即可. （3）根据平均数、方差及标准差的性质计算即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得. 【小问2详解】 结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． 【小问3详解】 剩余8人成绩的平均值为 ． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为 ． 20. 小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示．将胶条展开在一个平面上，可视其为一个直角梯形和一个平行四边形，胶条长为线段的长，宽2.5厘米（宽度为与之间的距离），与延长线的夹角可作小范围调整，如图1所示（点线部分表示省略）．小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱； 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线．缠绕胶条时，将贴合，贴合圆柱下底面圆周，恰好又落在上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到（与平行的某条线段再次落到上）视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段缠绕握把视为第1圈； 根据以上假设： （1）求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）； （2）设，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到0.1平方厘米）； （3）实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为 厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为d厘米）．小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界落在上，且中点恰落在圆柱上底面圆周上．若某款胶条长118厘米，试问：该方案中这款胶条是否够用？ 【答案】（1）238.8平方厘米 （2）45.8 （3）够用 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解； （2）由圆柱侧面展开图，胶条覆盖部分为一个直角梯形，根据梯形面积公式，计算胶条覆盖握把部分的面积； （3）根据缠绕过程中的高度列方程，求出，结合平面知识及同角三角函数关系求出, 应恰为底面周长的9倍，得到的长. 【小问1详解】 握把的侧面积为 平方厘米． 【小问2详解】 如图所示是圆柱侧面的展开图，胶条覆盖部分为一个直角梯形． 设第二次落在上的胶条为，过G作垂直于，垂足为J， 即为胶条宽， ．． ， 因此． 根据梯形面积公式，胶条覆盖握把部分的面积为 ． 【小问3详解】 如下图所示，结合（2），第i圈（）中，胶条回到母线时， 可见部分（图中蓝色实线）与的公共点高度（到底面的距离）均上升； 而第9圈缠绕完毕时，回到时， 由于少了下一圈的遮挡，E相对F上升的高度为． 而由于中点在上底面圆周上，其高度应为19， 因此 ，整理得． 根据平面几何知识，． 根据同角三角函数关系， ， 利用计算器求得 ． 应恰为底面周长的9倍， 故 ． 因此，118厘米长的胶条已经够用了． 21. 设圆：和：在第一象限内的公共点为，曲线由上横坐标小于等于的点以及上横坐标大于的点组成，如图所示． （1）设，求r的值并判断抛物线焦点与圆的位置关系； （2）设．过点A作一对相互垂直的直线，，使得与交于第三象限中的点B，与交于异于A的点C．若的面积，求直线的斜率； （3）设是曲线上异于A的一点，过点P作直线l．当直线l与曲线恰有三个公共点，将另外两个公共点分别记为M，N，若 恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1），点F在圆内． （2）2 （3）． 【解析】 【分析】（1）通过联立圆与抛物线方程求出公共点坐标，再利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系，体现了曲线交点问题与点圆位置关系判定的基础应用； （2）设出直线斜率，分别结合圆的弦长公式与抛物线的韦达定理求出两条垂直线段的长度，再利用三角形面积公式列方程求解，体现了解析几何中设参、联立、韦达定理的综合应用； （3）先分析直线与曲线恰有三个公共点的所有可能情形，再分情况讨论向量数量积的取值范围，最终根据恒成立条件得到实数的取值范围，体现了分类讨论与恒成立问题的处理思路． 【小问1详解】 由及A在第一象限且在上可知，即有．于是，即半径． 抛物线焦点坐标为，因此．由 可知，点F在圆内． 【小问2详解】 联立，的方程，解得．设直线的斜率为k， 由B在第三象限的圆周上．：，即． 设原点到直线的距离为d，则． 利用勾股定理得， 即．直线的方程为； 与联立消去x得 ，利用韦达定理得 ． 于是结合，． 解方程，解得． 【小问3详解】 由点P在抛物线上，则由曲线的定义以及点P异于点A可知P在圆外， 由此可知，即． 当直线l与曲线恰有三个公共点时，考虑到P本身就是一个公共点，结合直线与圆锥曲线至多有两个公共点， 另外两个公共点M，N要么均在上（其中之一可以是A），要么恰有一点仅在上． 对于上述情况①，其可能的情形如图1（直线l与相切，与相交）、图2（l与抛物线对称轴平行，与相交）所示． 此时，无论哪一种情况，根据数量积的定义，都有． 对于上述情况②，设点M在A的右侧的上，则点N在点A左侧部分的上． 如果点M在x轴下方，那么即便直线l与有公共点，公共点也均在A的右侧，不合题意． 如图3所示：如果点M在x轴上方，则当直线l与若有公共点，公共点均在点A左侧，因此只有l与圆相切时符合题意． 如图4所示．由于在方向上的投影向量即为，因此，其中（r并不能取遍该范围）． 因此，根据上述，若要 都成立，只需要考虑情况②即可，即 ，当时成立即可，也即． 综上所述，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $