上海交通大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

交大附中高二期中数学试卷 2026.05 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.若直线l的倾斜角为135°，则它的斜率为 2.双曲线-上=1的离心率为 3.半径为2的球的体积为 4.平行线2x+y-1=0与2x+y+4=0之间的距离为 5.正方体ABCD-A,B,C,D中，异面直线AC与BD所成角的大小为 6.(x+1)的二项展开式中，各项系数的和为 7.函数y=√2-x2在点(1,1)处的切线的斜率为 8.(x+y+2z)°的展开式合并同类项后，含yz3的项的系数为 (结果用数值表示) 9.若关于x的方程二x3-x-a=0在区间[0,3]上有解，则实数a的取值范围是 l0.背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”,现将它们随机打乱重排，得 到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是 (结果用最简分数表示) 11.如图所示，ABCD-A,B,C,D,为平行六面体（六个面均 D 为平行四边形的棱柱)，点E、F分别在棱BB、DD上， B F 满足BE=号8BR,DF=ADD(元为实数).若平面AEF 截ABCD-ABCD,所得截面是一个五边形，则2的取值 范围是 ⊙ 12.设数列{an}是项数为10的有穷数列，且对任意1≤n≤10，n∈N,都有 an∈{x‖xK2,x∈Z☑.若数列{an}满足：①若引an=2,则an+2=-an（1≤n≤8，n∈N): ②存在n。(1≤n≤10，n。∈N),使得|am,=2;则满足条件的数列{an}共有 个州 (结果用数值表示) 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.设事件A,B是互斥事件，P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列说法错误的是（) A.P(④=0.7B.P(B)=P(B)C.P(A∩B)=0.15D.P(AUB)=0.8 14.设直线l:x+ay+3=0,I2:(a-2)x+3y+a=0,若l∥12，则实数a的值为() A.3 B.-1 C.3或-1 D.-3或1 15.设f)=e-ar2-x(常数a∈R),“x=0是函数y=f的极大值点”的一个必 要条件是( A.直线y=ax+1倾斜角为锐角 B.直线y=ax+1倾斜角为钝角 C.曲线y=e与y=ax+1存在横坐标大于1的公共点 D.曲线y=e与y=ax+1存在横坐标小于1的公共点 l6.已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,点Pn(xn,y,)(n∈N,n≥1)是T上互不相同的点， 且存在实数A,B,使得对任意正整数n，均有∑FPI=An2+Bn.给出下列两个结论： ①数列{xn}是等差数列：②存在正整数m,k,使得ym+k是ym,ym+2k的等比中项：则(） A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确 C.①②均正确 D.①②均不正确 三.解答题（本大题共有5题，满分78分） 1 17.已知数列{an}满足a1=- 15’a= 2an-1+1 n≥2，n∈N.设b= a (1)证明{b,}是公差为2的等差数列，并求数列{an}的通项公式： (2)设数列{b,}的前n项和为Bn，求数列{Bn}的最小项以及该项的序数. 18.如图所示，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD, AD⊥CD,AD=CD=DD,=4,AB=2,E,F分别为棱C,D,BC的中点. (1)求证：直线AE∥平面BB,C,C; (2)求平面AEF与平面AAD,D所成锐二面角的余弦值. D E A AD B 19.义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满 分为100.从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于 100)作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图， (1)求实数a的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在[60,70)和[70,80)的学生中选取6人，再从这6人中选取 2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在[60,70)中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为x,i=1,2,…,10)平均值为x=90,标准差s=5. 若删除其中的。=98和x。=86这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差。 频率 组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩 20.小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示.将胶条展开在一个平面上，可视其为一 个直角梯形ABCD和一个平行四边形BCEF,胶条长为线段DE的长，宽2.5厘米（宽度 为CE与BF之间的距离)，BF与AB延长线的夹角a可作小范围调整，如图1所示（点线 部分表示省略).小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱： 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、 C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线1，·缠绕胶条时，将AD贴合l,AB贴合圆柱下底面圆周，BC 恰好又落任，上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到1（与BC平行的某条线段再次 落到1，上)视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段ABCD缠绕握把视为第1圈； 6 长 宽 C B 图1 根据以上假设： (1)求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）： (2)设=10°，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到 0.1平方厘米)； (3)实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充 如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为2.5-d厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为 d厘米).小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界EF 落在l,上，且EF中点恰落在圆柱上底面圆周上.若某款胶条长118厘米，试问：该方案中 这款胶条是否够用？ 21.设圆1：x2+y2=r2(r>0)和「2：y2=4x在第一象限内的公共点为A(x4,y4),曲 线T由，上横坐标小于等于x,的点以及厂，上横坐标大于x,的点组成，如图所示. (1)设x4=4,求r的值并判断抛物线焦点与圆「，的位置关系： (2)设r=√5.过点A作一对相互垂直的直线l,l,使得L与厂交于第三象限中的点B, !与T交于异于A的点C.若△ABC的面积SABC=60,求直线AB的斜率； (3)设P1,2)是曲线上异于A的一点，过点P作直线l.当直线1与曲线厂恰有三个公 共点，将另外两个公共点分别记为M,N,若OM.ON<a恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案 一.填空题 1.-1 2.2 3. 32π 4.√5 5. 3 π-2 1 6.64 7.-1 8.480 10: 126 12.176176 【10题】将9张不同的卡片随机排列，有P。=9!种情况，即样本空间中有9！个样本 点.将排出含有"math"的序列分成两步：先组成单词"math",其中字母a和t各有2 种选择，共有4种不同的方法；在将单词"math"与其余5个字母做全排列，共有P种 不同的方法.根据乘法原理，该事件对应的样本空间的子集有4×P。种情况。 根据古典概型中概率的定义，出现"math"的概率为 4P6.1 P9126 【11题】设平面AEF与直线DD,的公共点为G,"平面AEF截ABCD-AB,C,D所得的 截面是一个五边形"的充要条件是"点G在线段CC延长线上"，即在CG=uCC中， >1·根据平行平面的性质定理，应有EG/AF;同理可得FG/1AE,因此AFGE 是平行四边形，从而有AG=A正+F.A正=A丽+BE=AB+AA, F=而+0F=而+，因此G-征+亦=丽+而+目+入网 因此cG=G-4c=G-(而+而)-日+入A-（日+c,由前述，+>1， 解得几>2.考虑到F在棱DD,上，因此应有元<1：但当元=1，即F与D重合时， 3 截面仍为四边形，因此入<1，所以的取值范围为 割 【12题】将符合条件的数列分为两类：第一类：奇数项和偶数项均含有绝对值为2的项： 第二类：奇数项和偶数项中有且仅有一类含有绝对值为2的项 要构造第一类数列，可以分为两步：分别确定它奇数项和偶数项.由于对称性可知，这两步 的方法数是相等的.下面考虑奇数项的构造，将之分为5类，第(=1,2，…，5)类为第 2i-1项是第一个绝对值为2的项.a21前的i-1个奇数项均可以在-1,0,1中选 择，共有3种方法；a2-可以从-2和2中选，有2种方法：42-1后的奇数项均由 这项决定，只有1种方法.根据乘法原理，第i类共有2×3-种方法.根据加法原理， 利用等比数列求和公式，可知构造奇数项的方法数为2∑31=3-1·类似地，构造偶 i=l 数项的方法数亦为3-1·因此，构造此类数列的方法数为(35-1 要构造第二类数列，可以分为三步：先确定奇数项和偶数项中哪一类含有绝对值为2的项， 再确定该类项的值，最后确定剩下一类项的值.第一步有2种方法；由第一类的叙述可知， 第二步有3-1种方法；第3步有3种方法.根据乘法原理，构造此类数列的方法数为 2·33.(33-1).最后根据加法原理，符合条件的数列共有176176个 二.选择题 13.C 14.B 15.A 16.A 【15题】解f'(x)=e-(ax+1),由此可知x=0是函数y=f(x)的驻点. 当a≤0时，y=f'(x)是严格增函数，此时x<0时f'(x)<0,x>0时f'(x)>0, 因此x=0是函数y=f(x)的极小值点. 当a>0时，考虑曲线y=e*与y=ax+1的公共点个数.当a=1时，两者恰有一 个公共点，此时不难验证x=0不是极值点；当0<a<1时，x=0是极小值点；当a>1 时，x=0是极大值点. 综合上述，"x=0是函数y=f(x)的极大值点"的一个充分必要条件是"a>1". 于是它的一个必要条件是"直线y=ax+1倾斜角为锐角"，即选项A正确. 【16题】对于①，由∑F=Am2+Bm容易验证数列{FP}是等差数列：根据 抛物线的定义，xn=FP-1，结合前述可知数列{xn}是等差数列.因此①正确. 对于②，若存在正整数m,k，使得ym+k是ym,ym+2k的等比中项，则 y+k=ym·ym+2k，两边平方得yk=y品y品+2k，结合y=4xn，得 x品=xmxm+2k。由①可知，数列{x}是等差数列，可设x。=dn+b（其中d为 数列的公差).上式可以化为[d(m+k)+b]=(dm+b)[d(m+2k)+b],展开整理得 kd2=0.由于d与k均不为零，因此上式无法成立.所以不存在正整数m,k, 使得ym+k是ym,ym+2k的等比中项.因此②不正确.综合上述，A选项正确. 三.解答题 17.（1)在an= 2an-1+1 两边取倒数，有1=2+1，n≥2，即-b1=2， an an-1 因此{，}是公差为2的等差数列.结合1=-15,1=1+n-)-2=2m-17, a an a 所以数列{a,}的通项公式为a,2n-17 (2)由(1)可知bn=2n-17。当2≤n≤8时，bn<0,此时Bn-1>Bn, 即B1>B2>B3>…>B,>Bg;当n≥9时，bn>0,此时Bn1<Bn, 即B。<B。<B0<…· 综上所述，数列{B,}的最小项为S=二15+2×8-17)×8-64，相应的序数为8. 2 18.(1)如图所示，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴正方向建立 空间直角坐标系.A(4,0,0),E(0,2,4),AE=（-4,2,4).B(4,2,0),C(0,4,4), BC=(-4,2,4)；由AE=BC,因此AE11BC, 从而直线AE/BC·于是，不在平面BB,CC上的 D E 直线AE平行于该平面上的直线BC，因此根据 A 直线与平面平行判定定理，就有直线AE/平面BB,C,C (2)AF=(-2,3,0),设平面AEF的法向量为n=(a,b,c), D 则 [正=0，代入坐标得 -4a+2b+4c=0, B 元.AF=0, -2a+3b=0, 令a=3，则b=c=2，因此n=(3,2,2)是平面AEF的一个法向量.显然， 平面AAD,D的法向量为j=(0,1,0),设平面AEF与平面AADD所成锐二面角为日， 则c0s0=1m:L=l3x0+2×1+2x01=2 |nl-ljl v32+22+22.1V17 综上所述，平面AEF与平面AADD所成锐二面角的余弦值为 2W17 17 19.(1)a=0.03 (2)成绩位于[60,70)与位于[70,80)的比例为1：2，因此选取的6人中，2人成 绩在[60,70)中，4人成绩在[70,80)中.从6人中选取2人的方法数为C2=15种， 即样本空间中有15个样本点.至少有1人成绩在[60,70)中有两种情况：恰有一人成 绩在该区间中，共有CC4=8种；恰有两人成绩在该区间种，共有1种；因此根据加法 原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点. 9 3 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为 15’即 10×x-98-86 (3)剩余8人成绩的平均值为 =89.5· 8 10个人成续的方差为5=2-90，即2-81250， 10 于是剩下8人的成绩的方差为 -89.52=21. 20.(1)握把的侧面积为2π×2×19≈238.8平方厘米. (2)如图所示是圆柱侧面的展开图，胶条覆盖部分为 一个直角梯形.设第二次落在。上的胶条为GH, 过G作GJ垂直于CH,垂足为J,GJ即为胶条宽， D GJ GJ=2.5。GH=AC= -BG=AB tan a, cosa A（B) 因此BH=BG+GH=AB tana+ GJ cosa 根据梯形面积公式，胶条覆盖握把部分的面积为 S=(AC+BH)AB (2AC+BG).AB 1 5 4π≈45.8. 2 2 2(cos10° +4π：tan10° (3)如下图所示，结合(2)，第i圈(1≤i≤8)中，胶条回到母线1，时，可见部分（图 d 中蓝色实线)与，的公共点高度（到底面的距离）均上升 ;而第9圈缠绕完毕时， cos a EF 回到，时，由于少了下一圈的遮挡，E相对F上升的高度为 2.5 ·而由于 cosa EF 中点在上底面圆周上，其高度应为19，因此8× d1.25 -=19, cosacosa 32d+5 整理得coSa= . 根据平面几何知识，sina= ,.根据同角三角关系， 76 4π d2 16π2 2d+}=1,利用计算器求得d≈2.18.DEc0sa应恰为底面周长的9倍， 762 故DE= 9×4π ≈114.6.因此，118厘米长的胶条已经够用了. cosa D a B 第1圈 第2圈 第3圈 第8圈 第9圈 21.(1)由x4=4及A在第一象限且在「2上可知y4=4,即有A(4,4)·于是 |OA=4V2,即半径r=4V2.抛物线焦点坐标为FL,0),因此|OF=1·由 |OFkP可知，点F在圆工内. (2)联立「，「2的方程，解得A(1,2)·设直线AB的斜率为k, 由B在第三象限的圆周上.AB:y-2=k(x-1),即c-y-k+2=0· 设原点到直线AB的距离为d,则d=k-2 V1+k2 利用购股定理得18r4〔r2-)=45文种 k2-4k+4 ）=4.42+4k+142k+1} k2+1 k2+1) 即1AB212+。直线4C的方程为x-1=-k0y-2): V1+k2 与Γ2联立消去x得y2+4y-8k-4=0，利用韦达定理得 |AC=V1+k2V16k2+32k+16=4W1+k2|k+1: 于是结合k>0,ScA8l4C牛2引24+E1+1作42+WMn 2V1+k2 解方程SA4c=60，解得k=2 (3)由点P在抛物线T,上，则由曲线T的定义以及点P异于点A可知P在 圆厂，外，由此可知|OP>r,即r<V5 。 当直线1与曲线Γ恰有三个公共点时，考虑到P本身就是一个公共点，结合直线与圆 锥曲线至多有两个公共点，另外两个公共点M,N要么均在「，上（其中之一可以是 A),要么恰有一点仅在Γ，上。 图1 图2 对于上述情况①，其可能的情形如图1（直线1与「，相切，与厂，相交）图2(1与 抛物线对称轴平行，与厂，相交)所示.此时，无论哪一种情况，根据数量积的定义，都 有OM.O=OM:ON|cos∠MON<r2. 图3 图4 对于上述情况②，不妨设点M在A的右侧的「2上，则点N在点A左侧部分的 「，上.如果点M在x轴下方，那么即便直线1与了，有公共点，公共点也均在A的 右侧，不合题意，如图3所示；如果点M在x轴上方，则当直线1与T,若有公共点， 公共点均在点A左侧，因此只有1与圆「，相切时符合题意，如图4所示。由于OM 在ON方向上的投影向量即为O,因此OM.ON=ON=r2，其中0<r<√5 (r并不能取遍该范围). 因此，根据上述，若要OM.ON≤a都成立，只需要考虑情况②即可，即r2<a当 r∈(0，V5)时成立即可，也即a≥√5. 综上所述，实数a的取值范围是[V5,+o).