上海交通大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

参考答案 一、填空题 1． 2．2 3． 4． 5． 6．64 7． 8．480 9． 10． 11． 12．176176 二、选择题 13．C 14．B 15．A 16．A 三、解答题 17．（1）在 两边取倒数，有，，即，因此是公差为2的等差数列．结合，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）可知．当时，，此时，即； 当时，，此时，即． 综上所述，数列的最小项为，相应的序数为8． 18．（1）如图所示，以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． ，，．，，； 由，因此，从而直线．于是，不在平面上的直线平行于该平面上的直线，因此根据直线与平面平行判定定理，就有直线平面． （2），设平面的法向量为，则，代入坐标得令，则，因此是平面的一个法向量．显然，平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则． 综上所述，平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 19．（1）． （2）成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中．从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点．至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；恰有两人成绩在该区间种，共有1种；因此根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为，即． （3）剩余8人成绩的平均值为． 10个人成绩的方差为，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 20．（1）握把的侧面积为平方厘米． （2）如图所示是圆柱侧面的展开图，胶条覆盖部分为一个直角梯形．设第二次落在上的胶条为，过G作垂直于，垂足为J，即为胶条宽，．．，因此． 根据梯形面积公式，胶条覆盖握把部分的面积为 ． （3）如下图所示，结合（2），第i圈（）中，胶条回到母线时，可见部分（图中蓝色实线）与的公共点高度（到底面的距离）均上升；而第9圈缠绕完毕时，回到时，由于少了下一圈的遮挡，E相对F上升的高度为．而由于中点在上底面圆周上，其高度应为19，因此，整理得．根据平面几何知识，．根据同角三角关系，，利用计算器求得．应恰为底面周长的9倍，故．因此，118厘米长的胶条已经够用了． 21．（1）由及A在第一象限且在上可知，即有．于是，即半径．抛物线焦点坐标为，因此．由可知，点F在圆内． （2）联立，的方程，解得．设直线的斜率为k， 由B在第三象限的圆周上．：，即． 设原点到直线的距离为d，则． 利用勾股定理得， 即．直线的方程为； 与联立消去x得，利用韦达定理得 ． 于是结合，． 解方程，解得． （3）由点P在抛物线上，则由曲线的定义以及点P异于点A可知P在圆外， 由此可知，即． 当直线l与曲线恰有三个公共点时，考虑到P本身就是一个公共点，结合直线与圆锥曲线至多有两个公共点， 另外两个公共点M，N要么均在上（其中之一可以是A），要么恰有一点仅在上． 对于上述情况①，其可能的情形如图1（直线l与相切，与相交）、图2（l与抛物线对称轴平行，与相交）所示．此时，无论哪一种情况，根据数量积的定义，都有． 对于上述情况②，不妨设点M在A的右侧的上，则点N在点A左侧部分的上．如果点M在x轴下方，那么即便直线l与有公共点，公共点也均在A的右侧，不合题意，如图3所示；如果点M在x轴上方，则当直线l与若有公共点，公共点均在点A左侧，因此只有l与圆相切时符合题意，如图4所示．由于在方向上的投影向量即为，因此，其中（r并不能取遍该范围）． 因此，根据上述，若要都成立，只需要考虑情况②即可，即 当时成立即可，也即． 综上所述，实数a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高二期中数学试卷 2026.05 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若直线l的倾斜角为，则它的斜率为________． 2．双曲线的离心率为________． 3．半径为2的球的体积为________． 4．平行线与之间的距离为________． 5．正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 6．的二项展开式中，各项系数的和为________． 7．函数在点处的切线的斜率为________． 8．的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 9．若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 10．背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 11．如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 12．设数列是项数为10的有穷数列，且对任意，，都有．若数列满足：①若，则；②存在，使得；则满足条件的数列共有________个（结果用数值表示）． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分） 13．设事件A，B是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 14．设直线：，：，若，则实数a的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．或1 15．设（常数），“是函数的极大值点”的一个必要条件是（ ） A．直线倾斜角为锐角 B．直线倾斜角为钝角 C．曲线与存在横坐标大于1的公共点 D．曲线与存在横坐标小于1的公共点 16．已知抛物线的焦点为F，点（，）是上互不相同的点，且存在实数A，B，使得对任意正整数n，均有．给出下列两个结论： ①数列是等差数列；②存在正整数m，k，使得是，的等比中项；则（ ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②均正确 D．①②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．已知数列满足，，，．设． （1）证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 18．如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，， ，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数a的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 20．小杨同学给网球拍握把缠手胶胶条，如图所示．将胶条展开在一个平面上，可视其为一个直角梯形和一个平行四边形，胶条长为线段的长，宽2.5厘米（宽度为与之间的距离），与延长线的夹角可作小范围调整，如图1所示（点线部分表示省略）．小杨同学为研究需用多长的胶条才能完成缠绕，做出如下假设： 假设1：网球拍握把视为底面半径为2厘米、高为19厘米的圆柱； 假设2：缠绕胶条时，胶条紧贴握把表面；小范围调整时，在胶条的展开图中，仍视D、C、E在同一直线上； 假设3：取定握把的一条母线．缠绕胶条时，将贴合，贴合圆柱下底面圆周，恰好又落在上（此时B与A重合）；此后，胶条每次回到（与平行的某条线段再次落到上）视为缠绕一圈，如图2所示；胶条梯形段缠绕握把视为第1圈； 根据以上假设： （1）求网球拍握把的侧面积（精确到0.1平方厘米）； （2）设，小杨同学先缠绕2圈进行尝试，求这2圈胶条覆盖握把的面积（精确到0.1平方厘米）； （3）实际缠绕胶条时，从第二圈起，每一圈总会覆盖上一圈的一部分，为此小杨同学补充如下假设： 假设4：胶条在缠绕时重叠部分为厘米（即可见部分宽度从未缠绕时的2.5厘米变为d厘米）．小杨同学设计的缠绕方案中，其中一种是将胶条缠绕握把9圈，使得胶条边界落在上，且中点恰落在圆柱上底面圆周上．若某款胶条长118厘米，试问：该方案中这款胶条是否够用？ 21．设圆：和：在第一象限内的公共点为，曲线由上横坐标小于等于的点以及上横坐标大于的点组成，如图所示． （1）设，求r的值并判断抛物线焦点与圆的位置关系； （2）设．过点A作一对相互垂直的直线，，使得与交于第三象限中的点B，与交于异于A的点C．若的面积，求直线的斜率； （3）设是曲线上异于A的一点，过点P作直线l．当直线l与曲线恰有三个公共点，将另外两个公共点分别记为M，N，若恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $