2025-2026学年江苏徐州市七年级数学下册期末模拟卷（苏科版）

**基本信息** 立足苏科版七下全章，以《张丘建算经》古算题、纳米材料科技情境及实践活动为载体，融合运算能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|轴对称与中心对称、不等式性质|第6题以古算题考查方程组建模，体现文化传承| |填空|8/32|科学记数法、多边形内角和|第14题结合正方形实践活动，考查代数变形| |解答|9/84|几何变换、实际应用|第24题网店销售问题融合方程与不等式，第25题几何动态探究培养推理能力|

2025-2026学年七下数学期末模拟卷 总分：140分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D C A A D A 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9. 10. 如果，那么 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分） 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值和有理数的乘方，再计算加减即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 18．（10分） 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：；（5分） （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解．（10分） 19．（8分） 【答案】 ； 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入、的值计算结果即可． 【详解】解：原式 ；（4分） 当，时，原式．（8分） 20．（9分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质，分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；（3分） （2）如图，即为所求；（6分） （3）如图，即为所求．（9分） 21．（9分） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．（9分） 22．（10分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可； （2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可． 【详解】（1）解：， ；（5分） （2）解：， ．（10分） 23．（9分） 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴；（3分） （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得；（6分） （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或．（9分） 24．（9分） 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；（3分） （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个．（6分） （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元．（9分） 25．（12分） 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由三角形的外角定理求解即可； （2）由，，平分可得，再根据可得，由此求解的值即可； （3）设，，根据，平分，平分和三角形的内角和定理以及等量代换可得，从而有，由，可得，再次运用三角形内角和定理可得出，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 则的值为；（4分） （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ， ， 则的值为0；（8分） （3），证明如下： 如图： 设，， ，平分，平分， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：140分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组的同学绘制了如下图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，满足，则 C．若两个角的和为，则这两个角互补 D．同位角相等 5．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 6．《张丘建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有二人共车，九人步；三人共车，五人步．问人与车各几何？”意思是：若2人坐一辆车，会有9人步行；若3人坐一辆车，会有5人步行．问总人数和车数各是多少？设共有人，辆车，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 7．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．若，，则______． 10．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 11．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 12．已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 13．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 14．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 15．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（10分）解下列方程组和不等式组 (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 20．（9分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求分别画三角形． (1)画，使与关于直线l对称； (2)画，将向右平移8个单位，再向下平移2个单位得； (3)再将绕着点按顺时针方向旋转后得． 21．（9分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 22．（10分）[类比学习]我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如下①②③④． ，所以①， ，所以②， ，所以③， ，所以④． 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式． 23．（9分）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 24．（9分）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 25．（12分）已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：140分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组的同学绘制了如下图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，满足，则 C．若两个角的和为，则这两个角互补 D．同位角相等 5．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 6．《张丘建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有二人共车，九人步；三人共车，五人步．问人与车各几何？”意思是：若2人坐一辆车，会有9人步行；若3人坐一辆车，会有5人步行．问总人数和车数各是多少？设共有人，辆车，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 7．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．若，，则______． 10．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 11．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 12．已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 13．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 14．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 15．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（10分）解下列方程组和不等式组 (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 20．（9分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求分别画三角形． (1)画，使与关于直线l对称； (2)画，将向右平移8个单位，再向下平移2个单位得； (3)再将绕着点按顺时针方向旋转后得． 21．（9分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 22．（10分）[类比学习]我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如下①②③④． ，所以①， ，所以②， ，所以③， ，所以④． 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式． 23．（9分）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 24．（9分）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 25．（12分）已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试时间：90分钟 考试范围：苏科版新教材七下全章 总分：140分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组的同学绘制了如下图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 3．设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 4．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，满足，则 C．若两个角的和为，则这两个角互补 D．同位角相等 【答案】C 【分析】结合对顶角定义、绝对值的性质、补角的定义、同位角的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A 、相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意； B、若，可得或，故B是假命题，不符合题意； C、根据补角的定义，若两个角的和为，则这两个角互补，故C是真命题，符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，故D是假命题，不符合题意． 5．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解： 解得， ∴解集中的最小整数为． 6．《张丘建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有二人共车，九人步；三人共车，五人步．问人与车各几何？”意思是：若2人坐一辆车，会有9人步行；若3人坐一辆车，会有5人步行．问总人数和车数各是多少？设共有人，辆车，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种乘车情况，分别找出总人数、车数与步行人数的等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：设总人数为人，车数为辆， 第一种情况：2人坐一辆车，9人步行，总人数减去坐车的人数等于步行人数，坐车人数为，步行人数为，可得方程； 第二种情况：3人坐一辆车，5人步行，总人数减去坐车人数等于步行人数，可得方程； 综上所述，列出的方程组为． 7．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则化简，令项系数为0即可计算的值． 【详解】解： 不含项， ， ， 故选：D ． 8．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理．设，，利用已知条件表示出相关角，再通过作平行线或延长线构造三角形，利用三角形内角性质建立与的数量关系． 【详解】解：设，， ，， ，， ， ， 延长交直线于点P，延长交直线于点R， ， ，， 在中， ， 在中，， ， 即． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．若，，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运算对所求式子变形，将已知代入计算即可． 【详解】解：． 10．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”． 11．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【详解】解： . 12．已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 13．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】设由折叠可得，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形纸条沿折叠， ∴， ∵，设 ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴， 解得， ∴． 14．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】设的边长为，的边长为，根据题意可得，，可得，用，表示图阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：设的边长为，的边长为， ∵纸板与的面积之和为， ∴， ∵图阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图阴影部分的面积为． 15．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【详解】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值和有理数的乘方，再计算加减即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 18．（10分）解下列方程组和不等式组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：；（5分） （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解．（10分） 19．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入、的值计算结果即可． 【详解】解：原式 ；（4分） 当，时，原式．（8分） 20．（9分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求分别画三角形． (1)画，使与关于直线l对称； (2)画，将向右平移8个单位，再向下平移2个单位得； (3)再将绕着点按顺时针方向旋转后得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质，分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；（3分） （2）如图，即为所求；（6分） （3）如图，即为所求．（9分） 21．（9分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．（9分） 22．（10分）[类比学习]我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如下①②③④． ，所以①， ，所以②， ，所以③， ，所以④． 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可； （2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可． 【详解】（1）解：， ；（5分） （2）解：， ．（10分） 23．（9分）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴；（3分） （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得；（6分） （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或．（9分） 24．（9分）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；（3分） （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个．（6分） （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元．（9分） 25．（12分）已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由三角形的外角定理求解即可； （2）由，，平分可得，再根据可得，由此求解的值即可； （3）设，，根据，平分，平分和三角形的内角和定理以及等量代换可得，从而有，由，可得，再次运用三角形内角和定理可得出，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 则的值为；（4分） （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ， ， 则的值为0；（8分） （3），证明如下： 如图： 设，， ，平分，平分， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ．（12分） 16 学科网（北京）股份有限公司 $