精品解析：湖南长沙市雅礼中学2026届高三数学模拟卷(一)

高三模拟卷(一)数学 命题人：童继稀 审题人：张鎏 周才凯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 2. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，解得. 4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误. 【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 5. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（ ） A. 0 nmile B. 15 nmile C. 30 nmile D. 40 nmile 【答案】C 【解析】 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 6. 甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 7. 已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（ ） A. 13 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出，结合二次函数对称性求解. 【详解】设等比数列{an}的公比为且， ，所以， 所以， 因为关于直线对称，所以， 所以集合 中的元素个数为个 8. 已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先判断必为斜边，再设，则可由题设条件得到，构建单调函数后可求该方程的解，从而可求. 【详解】因为在曲线上，故必为斜边， 不妨设平行于轴，平行于轴， 设，则， 令，则即， 因为是等腰直角三角形，故， 所以， 整理得， 设， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而， 故的解为， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（ ） A. 三条直线两两平行 B. 有且仅有两条直线平行 C. 三条直线相交于同一点 D. 有且仅有两条直线相交 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】由题设，故为共面直线， 若，则，则重合，与题设矛盾，故，同理 若，因，故，而，，故， 故三条直线两两平行，故A正确，B错误； 若相交，设，则，故， 故三条直线相交于同一点，故C正确，D错误； 10. 甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（ ） A. B. C. 事件 与事件相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件概率公式可判断A；由全概率公式可判断B；由独立事件的乘法方式和条件概率公式可判断C；由贝叶斯公式可判断D. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，， 所以，故B正确. 若事件 与事件独立，则，又，所以， 而，所以事件 与事件不独立，故C错误. ，故D正确. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 边上的中线长为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助三角形内角和关系、两角和的正弦公式、正弦定理将角化边后计算即可得A；利用两角差的正弦公式与A中所得计算即可得B；借助余弦定理与A中所得计算即可得C；利用C中所得，结合三角形三边关系计算即可得D. 【详解】对A：， 由正弦定理可得，由， 则，故A正确； 对B：由正弦定理可得， 则， 由A知，则， 故， 故或， 由可知与同号， 若同为负数，则，不符， 故、同为正数，故不符，舍去， 故，故B错误； 对C：设中点为，则，即， 故，即， 由余弦定理可得，， 故，整理得， 由A知，，则，整理得， 故，故，故C正确； 对D：由C知，，则，故， ，则，整理得， 左右同除，可得，解得； 综上可得的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线为， 则， 由条件得，扇形弧长为，可得， 所以， 所以该圆锥的体积为. 13. 若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】，理由如下， 取，则，所以满足题意. 14. 已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线焦点的坐标，根据的离心率建立双曲线方程，再联立抛物线求出交点的坐标；再根据点在椭圆上和建立两个方程，最后通过换元化简方程，可得离心率. 【详解】因为抛物线开口向右，可设公共焦点，设双曲线方程为， 由，所以， 所以双曲线方程为， 联立抛物线方程， ，解得，（舍去）, 将代入，解得，（舍去）， 所以， 设椭圆的方程，离心率为，将代入得， 且， 设，则，由，可得， 代入椭圆方程化简得，， 解得，（舍去）， 代入得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度(单位：)与腐蚀时间(单位：)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 （1）根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到）并推断它们的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程(系数精确到)；若腐蚀时间为，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 线性回归方程的斜率 截距 【答案】（1），高度线性正相关； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式求出，即可解题； （2）数据代入公式即可求出回归方程，进而可得腐蚀时间为的腐蚀深度． 【小问1详解】 由题可知， ， ， ，  ， ，非常接近1，说明腐蚀深度与腐蚀时间呈高度线性正相关； 【小问2详解】 ，   ， 因此线性回归方程为：  ， 当腐蚀时间时，代入得： . 16. 已知双曲线 过点，且焦距为 （1）求双曲线的方程； （2）过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由点，求得，再结合即可求解； （2）当直线斜率不存在时，直接代入验证，当直线斜率存在时，设中点为，由，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 双曲线过点， 代入点坐标得，解得， 由焦距​得，即， 故， 因此双曲线的方程为： ； 【小问2详解】 分两种情况讨论： 直线斜率不存在时， 此时直线方程为，代入双曲线得， 即， 计算得，满足条件， 故是符合要求的直线， 直线斜率存在时，设直线：， 联立双曲线，整理得：  ， 直线与双曲线交于两点，故 （即），且判别式恒成立， 设 ，中点为， 由韦达定理得： ， 因此，， 由，得在的垂直平分线上， 故，即 ， 代入坐标化简得： ， 即，整理得，满足条件， 综上，直线的方程为：或. 17. 已知函数其中实数. （1）若的最小正周期为，求 在处的切线方程； （2）若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得到，结合最小正周期求出；根据导数的几何意义求解即可. （2）根据题意列不等式组求解即可. 【小问1详解】 . 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，，，则， 因为在区间上恰有三个极值点，所以，且， 即，解得. 又若在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 综上，. 故的取值范围为. 18. 如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【小问1详解】 记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 19. 已知有穷数列 满足， 其中，且最后一项 （1）当，且时，求的取值范围； （2）当时，如果足够大， （i）证明：数列为单调递减数列； （ii）探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）证明见详解；（ii）存在一组，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）根据解不等式即可； （2）（i）构造函数，利用导数证明其单调递减即可；（ii）利用递推关系代入消去，然后令，构造函数，利用导数证明其单调递增，结合零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 因为，且，所以， 解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 （i）， 记，则， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时， ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即，所以为单调递减数列. （ii）假设存在连续三项成等差数列，则， 又，所以，， 代入得， 令，则，整理得， 令，则， 由（i）可知，，即，整理得， 则，即函数在上单调递增， 又时，时， 故存在使得， 因为足够大，所以取，即时，成等差数列， 由上述证明过程和数列单调递减可知，数列中有且只有一组连续三项构成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三模拟卷(一)数学 命题人：童继稀 审题人：张鎏 周才凯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（ ） A. 0 nmile B. 15 nmile C. 30 nmile D. 40 nmile 6. 甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（ ） A. 13 B. 17 C. 18 D. 20 8. 已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（ ） A. 三条直线两两平行 B. 有且仅有两条直线平行 C. 三条直线相交于同一点 D. 有且仅有两条直线相交 10. 甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（ ） A. B. C. 事件 与事件相互独立 D. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 边上的中线长为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 13. 若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是________. 14. 已知以原点为中心的椭圆、双曲线，与抛物线 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点.若的离心率为2，则的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度(单位：)与腐蚀时间(单位：)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 （1）根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到）并推断它们的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程(系数精确到)；若腐蚀时间为，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 线性回归方程的斜率 截距 16. 已知双曲线 过点，且焦距为 （1）求双曲线的方程； （2）过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 17. 已知函数其中实数. （1）若的最小正周期为，求 在处的切线方程； （2）若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 18. 如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的正弦值. 19. 已知有穷数列 满足， 其中，且最后一项 （1）当，且时，求的取值范围； （2）当时，如果足够大， （i）证明：数列为单调递减数列； （ii）探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $