期末备考专项讲与练03——圆锥与圆柱的组合体-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以圆锥与圆柱组合体为核心，通过教材原题回归与分层训练，构建从结构特征到体积表面积计算的知识逻辑，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|5个教材原题（含例、练习、习题）|基础概念辨析与结构特征分析|从组合体构成原理到基本量计算| |跟踪训练|单选7、多选1、填空3、解答4（含教材改编题）|体积表面积综合计算、内接圆柱问题、实际应用（如陀螺、蒙古包）|从基础计算到复杂情境下的空间想象与运算推理|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练03 测试范围：圆锥与圆柱的组合体问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.1.8简单组合体的例2】如图（1），以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征. 【人教A版必修二第8.1.8的练习第2题】说出图中物体的主要结构特征． 【人教A版必修二习题8.1第9题】如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 【人教A版必修二第8.2节的例4】某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图. 【人教A版必修二习题8.3的第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二习题8.1第9题改编】如图，以边长为2的菱形ABCD的一边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．在梯形中，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 4．【人教A版必修二习题8.1的第9题改编】如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（    ） A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：27 7．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（    ） A．圆锥的底面半径为1 B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三 C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为 D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半 三、填空题 9. 在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为 . 10．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 11．在直角梯形ABCD中，，以AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为________，表面积为________. 四、解答题 12．【人教A版必修二习题8.1的第9题改编】如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，． (1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积． 13．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 14．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的表面积； (2)如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 15．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8. (1)求圆锥的母线长； (2)设为半圆弧的中点，求到平面的距离. 16．计算：(1已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，求此圆柱与圆锥的侧面积的比值； （2）已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，求圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练03 测试范围：圆锥与圆柱的组合体问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.1.8简单组合体的例2】如图（1），以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征. 【解析】几何体如图（2）所示，其中，垂足为E. 这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的.其中圆柱的底面分别是和，侧面是由梯形的上底绕轴旋转形成的；圆锥的底面是，侧面是由梯形的边绕轴旋转而成的. 【人教A版必修二第8.1.8的练习第2题】说出图中物体的主要结构特征． 【答案】详见解析 【解析】根据实物图抽象出几何图形，结合几何图形描述结构特征. 【详解】（1）一个圆柱与一个圆锥的组合体，上部分为圆锥，下部分为圆柱； （2）一个六棱柱里面挖去了一个圆柱. 【点睛】本题主要考查组合体的结构特征，明确多面体和旋转体的特征是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 【人教A版必修二习题8.1第9题】如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 【答案】见解析 【分析】画出满足条件的旋转体，进而可分析出几何体的结构特征. 【详解】这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体. 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．属于基础题. 【人教A版必修二第8.2节的例4】某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图. 分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了. 画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图. 【人教A版必修二习题8.3的第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以剩下几何体的体积为.剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二习题8.1第9题改编】如图，以边长为2的菱形ABCD的一边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出示意图，由题意可得到的距离，结合示意图，求得表面积. 【详解】作出示意图如图所示：该几何体下部分为圆锥，上部分为在圆柱内挖去一小个与下部分相同的圆锥，设点到的距离为，由题意可得，解得， 所以该几何体的表面积为.故选：C. 2．在梯形中，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，从而得解. 【详解】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示： 其中圆柱与圆锥的底面半径都等于，圆柱的高等于，圆锥的高等于， 底面圆的面积为，圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以所得几何体的体积为．故选：B. 3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】已知底面圆的半径，由，则， 故该陀螺的体积. 4．【人教A版必修二习题8.1的第9题改编】如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出旋转体，则该几何体的表面积由两个圆锥的侧面和一个矩形组成，分别求其面积相加即可得解. 【详解】作出旋转体如下图： 过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则，即底面圆的半径为，则圆的周长为，圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为，几何体的侧面展开是一个矩形，，所以几何体的表面积为.故选：B. 5．已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知△，故可得，即，故可得， 故圆锥的内接圆柱的全面积为：. 6．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（    ） A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：27 【答案】B 【分析】设圆锥高为，则由题可得底面圆半径，可得圆锥的体积；又由为的三等分点，可得圆柱的高及底面圆半径，可得圆柱体积，即可得答案. 【详解】设圆锥高为，因圆锥的轴截面为正三角形，则底面圆半径，则圆锥的体积为；因为的三等分点，则圆柱的高为，半径， 则圆柱体积为，所以． 7．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为， 因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形， 所以，解得，则或（舍去）， 由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为. 二、多选题 8．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（    ） A．圆锥的底面半径为1 B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三 C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为 D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半 【答案】CD 【分析】设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，由题意可得，解出和的值，进而结合圆柱、圆锥和球体的面积和体积公式求解各选项即可. 【详解】如图，设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为， 由题意，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，则，解得，，故A错误；圆柱的体积为，外接球体积为，则，故B错误；圆柱底面面积为，外接球表面积，则，故C正确；圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确. 三、填空题 9. 在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为 . 【答案】 【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，则圆柱的上底面为中截面，可得，，，. 10．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 【答案】 【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学具的表面积. 【详解】因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆锥的母线长为，半径为10，则圆锥的侧面积为，又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为,所以学具的表面积为. 11．在直角梯形ABCD中，，以AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为________，表面积为________. 【答案】 【分析】所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，分别求出圆锥与圆柱的体积得几何体的体积；求出圆锥的侧面积与圆柱的侧面积再加上圆柱下底面面积得几何体的表面积. 【详解】旋转后所得几何体如图所示: 所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，由题意可得， ，所以底面圆的周长为，底面圆的面积为，圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以所得几何体的体积为.圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，以所得几何体的表面积为. 四、解答题 12．【人教A版必修二习题8.1的第9题改编】如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，． (1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意可知该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥，再根据圆柱的体积公式即可得解； （2）根据圆柱和圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】（1）如图，这是所求的几何体，该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥，易知点D到AB的距离为，即圆柱底面圆的半径为，所以该几何体的体积为； （2）圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以该几何体的表面积为． 13．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 【答案】(1)；(2)当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为 【分析】（1）根据锥体体积公式运算求解； （2）利用轴截面分析可得，进而可求侧面积并结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为，即圆锥的体积为． （2）该几何体的轴截面如图所示． 由题意可得设圆柱的底面半径为r cm，由题意可知，可得，则圆柱的侧面积，所以当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为． 14．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的表面积； (2)如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，分别求出侧面积和底面积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，由题意，得：，∴，∴，∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积，∴圆锥的表面积 （2）由（1）可得：圆锥的体积为又圆柱的底面半径为，高为 ∴圆柱的体积为∴剩下几何体的体积为 15．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8. (1)求圆锥的母线长； (2)设为半圆弧的中点，求到平面的距离. 【答案】(1)5；(2) 【分析】（1）根据母线长与圆锥的高和底面半径形成直角三角形求解即可； （2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据求解即可. 【详解】（1）由题意，圆锥的母线长. （2）连接，因为为半圆弧的中点，故，.又圆柱中平面，平面，故.又，，平面，故平面. 故的高为，且.设到平面的距离为， 则，即， 故.故到平面的距离为 16．计算：(1已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，求此圆柱与圆锥的侧面积的比值； （2）已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，求圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为。 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.（2）根据给定条件，用圆锥的底面圆半径表示其母线，再用表示圆柱的底面圆半径及母线，结合圆柱、圆锥体积公式求解作答. 【详解】（1）圆锥的高为，如图， 由可得：，∴，∴, 圆柱侧面积，圆锥侧面积，. （2）设圆锥的底面圆半径为，母线为，依题意，，即有，高，如图， 设圆柱的底面圆半径为，母线为，则有，由得：，又，即，于是，所以圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $