期末备考专项讲与练04——正四面体的性质-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以正四面体性质为核心，通过教材回归-性质提炼-多题型应用构建系统性训练，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|2（人教A版例1、B版复习题）|表面积计算、高的推导|从教材基础问题切入，建立概念生成起点| |基础知识|2条核心性质|外接球/内切球半径公式（R∶r=3∶1）、球心高线定位规律|提炼性质原理，形成知识网络核心| |跟踪训练|15题（7单2多2填4解答）|空间角转化、切接问题公式应用、折叠与展开图处理|覆盖表面积、空间角、球的切接等考法，实现性质从基础到综合的应用拓展|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练04 测试范围：正四面体的性质 回归教材： 【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1】 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【人教B版必修四03复习题B组第3题】 侧棱长和底面边长相等的正三棱锥又称为正四面体，一个正四面体的棱长为，求这个正四面体的高. 基础知识： （1）正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长)； （2）利用正四面体的性质可知， ①正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； ②正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 跟踪训练： 一、单选题 1、【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1改编】已知四面体的各棱长均为，则它的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知正四面体的棱长为2，，分别为，的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．在正四面体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 5．边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 8．在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D． 、、、四点共面 9．【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1改编】棱长为的正四面体，下列说法正确的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 三、填空题 10．已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 四、解答题 12、在正四面体中， （1） 求异面直线与所成的角； （2）若M、N分别是AD、BC的中点，求异面直线AN，CM所成角的余弦值。 13．正三棱锥的侧棱长与底面边长都为a,分别是的中点,求直线和所成的角. 14．如图所示，将边长为的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高． 15．已知棱长为的正四面体的平面展开图如图所示，P､Q分别是EF､EC的中点，在这个正四面体中， （1）求证：平面ADF；（2）求证：； （3）求该正四面体外接球的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练04 测试范围：正四面体的性质 回归教材： 【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1】 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【答案】 【解析】 【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面 的面积的4倍. 【详解】因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积. 【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题. 【人教B版必修四03复习题B组第3题】 侧棱长和底面边长相等的正三棱锥又称为正四面体，一个正四面体的棱长为，求这个正四面体的高. 【答案】 【分析】如图所示，，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：，. 【点睛】本题考查了正四面体的高，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 基础知识： （1）正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长)； （2）利用正四面体的性质可知， ①正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； ②正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 跟踪训练： 一、单选题 1、【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1改编】已知四面体的各棱长均为，则它的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面 的面积的4倍. 【详解】因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积 . 2．已知正四面体的棱长为2，，分别为，的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接,利用勾股定理求解. 【详解】 如图，连接,在等边三角形中,在等边三角形中,所以，所以,所以, 3．在正四面体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得. 【详解】取中点，连接， 均为等边三角形，为中点，，，，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为.选：A. 4．正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面角的定义作出侧棱与底面的夹角，解三角形求其正弦值. 【详解】连接顶点与的中心，连接并延长交于点，由正四面体性质可得平面，所以侧棱与底面的夹角的平面角为，设，则， 因为为的中心，所以，因为平面，平面，所以，故为直角三角形，因为，所以，所以，所以正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是. 5．边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该正四面体的内切球半径为，求出该四面体的体积，利用等体积法求出的值，再利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ，设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，由等体积法可得，解得，因此，该正四面体的内切球的体积为.故选：D. 6．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体和正四面体的表面积公式计算即可得解. 【详解】正方体中，正四面体，如图： 不妨设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，所以正方体的表面积为，正四面体的表面积为， 所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为.故选：B 7．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即可． 【详解】解：正四面体的外接球表面积为，，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，，则， 所以，在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 二、多选题 8．在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D． 、、、四点共面 【答案】ABD 【分析】把正四面体放到正方体里，对于A项，根据线面平行的判定定理证明；对于B项，从正方体的角度上看易得；对于D项，证明四边形是平行四边形可验证；对于C项，反证法证明，假设平面成立，证得，与为等边三角形矛盾. 【详解】如图，把正四面体放到正方体里， 对于A项，因为分别为，的中点，所以，又平面且平面 所以平面，故A正确.对于B项，从正方体的角度上看易得，故B正确.对于C项，若平面成立，即平面.又因为平面，所以.又因为、分别为，的中点，所以，所以.而为等边三角形，与矛盾，故C不正确.对于D项，因为、、、分别是棱，，，的中点，所以且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，故、、、四点共面，故D正确. 9．【人教A版必修二教材114页8.3.1 例1改编】棱长为的正四面体，下列说法正确的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 【答案】BCD 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，所以正四面体的表面积．故D选项正确；如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误；正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，则有，即，解可得，C选项正确；将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为，，．故B选项正确．故选：BCD． 三、填空题 10．已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【答案】 【分析】根据题意，由正四面体的棱长为3，可求出其底面正三角形的高和底面正三角形的外接圆的半径，即可求出正四面体的高. 【详解】一个正四面体的棱长为3，∴正四面体的底面正三角形的高为：， ∴底面正三角形的外接圆的半径为：，所以正四面体的高：. 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【答案】 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处，如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切，设该正方体的棱长为，正四面体的棱长为， ，解得，可得正方体的内接球直径，得，故球的表面积为．    四、解答题 12、在正四面体中， （1） 求异面直线与所成的角； （2）若M、N分别是AD、BC的中点，求异面直线AN，CM所成角的余弦值。 【答案】（1）（2） 【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得. 【详解】（1）取中点，连接， 均为等边三角形，为中点，，，，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为. （2） （2）如图，连接，取中点，连接，又是中点，则，所以异面直线AN，CM所成角是或其补角，由已知，，，又，，中，， ∴异面直线AN，CM所成角的余弦值为． 13．正三棱锥的侧棱长与底面边长都为a,分别是的中点,求直线和所成的角. 【答案】45° 【分析】取的中点G,连接，于是异面直线与所成的角就是直线与所成的角,即为(或其补角)，在中求解. 【详解】解析 如图,取的中点G,连接. 在中,分别是,的中点,,且. 于是异面直线与所成的角就是直线与所成的角,即为(或其补角). 在中,,,,且. 同理可得,且.在中,,,, 且.在中,是中位线,. 在中,是中位线,.在中,, 是以为直角的等腰直角三角形,. ∴异面直线与所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 14．如图所示，将边长为的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高． 【答案】高为，斜高为6． 【分析】先根据四面体的结构特征，找出该四面体的高以及斜高.然后根据已知，构造直角三角形，根据勾股定理求解，即可得出答案. 【详解】由题设知正四面体中，.过点作平面，为垂足，取中点为，连结.因为平面，平面，所以.因为，是的中点，所以.因为平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以，又为正四面体的高，为斜高． 在中，，，所以.由正四面体的性质，可知点是的中心，且的高为，所以.在中，有，， 所以.所以该四面体的高为，斜高为6. 15．已知棱长为的正四面体的平面展开图如图所示，P､Q分别是EF､EC的中点，在这个正四面体中， （1）求证：平面ADF；（2）求证：； （3）求该正四面体外接球的体积. 【详解】将平面展开图还原成如下的正四面体，交于一点， （1），所以平面ADF，平面ADF，所以平面ADF. （2）取的中点，连接，所以，所以平面， 所以，又因为，所以. (3)将正四面体还原到如下图所示的正方体中，因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为1，所以正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以，所以，所以正四面体的外接球的体积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $