专题07因式分解期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07因式分解期末复习讲义 . 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的概念，明确其与整式乘法的互逆关系。 2.熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两种基本分解方法。 3.熟记公式形式，能准确区分公式适用条件，掌握因式分解的基本步骤。 4.知道因式分解需分解到不能再分解为止。 1.能快速识别多项式的公因式，规范完成提公因式分解运算。 2.能根据多项式结构特征，灵活选用对应公式进行因式分解。 3.具备综合运用两种方法分解多项式的能力，提升代数式变形能力。 4.能利用因式分解进行简单的化简、求值与简便运算。 1.准确解答因式分解填空、选择基础题，做到零失误。 2.规范书写因式分解解答题步骤，格式严谨、结果完整。 3.会运用因式分解解决化简求值、计算、几何相关综合题型。 4.规避符号错误、分解不彻底、公式混用等常见考试易错点。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:核心概念 1. 定义与关系 类别 内容 区分要点 因式分解 把多项式化成几个整式的积的形式 形式：和差 → 乘积 整式乘法 几个整式相乘，化为多项式 形式：乘积 → 和差 二者关系 互逆恒等变形 做题可互相检验 2. 分解基本原则（扣分红线） (1)结果一定是整式相乘，不能留加减； (2)分解必须彻底，每个因式不能再分解； (3)多项式首项系数为正，首项为负先提负号； (4)相同因式写成幂的形式； (5)因式内部不再合并同类项。 知识点02:两大基本分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式确定方法 三步法：系数取最大公约数，字母取公共字母，指数取最低次幂 2. 公式与典型形式 基本公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 常见题型 示例 注意事项 首项为负 -2x+4y=-2(x-2y) 提出负号，括号内全变号 提公后补 1 x2+x=x(x+1) 单独一项提出后，括号里别漏写 1 互为相反数因式 (a-b)2=(b-a)2 (a-b)=-(b-a) 偶数次幂不变号，奇数次幂变号 解题步骤：找公因式 → 提公因式 → 检查 (二）公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点03:综合解题通用流程（必考口诀） 一提、二套、三检查 一提：优先提取公因式（有公必先提）； 二套：剩余多项式判断形式套公式 二项式 → 平方差 三项式 → 完全平方公式 三检查：看是否分解彻底、符号、格式是否规范。 综合例题 3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)（提公因式 + 平方差） 2x2-4xy+2y2=2(x-y)2（提公因式 + 完全平方） 知识点04:期末常考题型汇总 1.基础题：单纯提公因式、套公式（选择、填空） 2.综合分解：一提二套连用（计算小题） 3.简便运算：利用因式分解凑整，简化计算 4.代数式求值：先分解，再整体代入（高频大题） 5.参数求解：已知式子是完全平方式，求字母的值（填空压轴） 6.说理 / 整除问题：分解后判断能否被某数、某整式整除 知识点05:高频易错点（表格版） 易错类型 错误表现 错误例题 正确做法 分解不彻底 只提公因式，不套公式，半途而废 2x2-8=2(x2-4) 提公因式后，能套公式必须继续分解：2(x+2)(x-2) 漏项问题 提取公因式后，漏掉剩余项的 1 x2+x=x(x) 单独一项全部提出后，括号内补 1：x(x+1) 符号错误 首项为负，提负号括号内不变号 -x2+2x=-(x2+2x) 提出负号，括号内所有项全部变号 公式混淆 分不清平方差、完全平方公式 x2+4=(x+2)2 二项式优先平方差；三项式才用完全平方 完全平方公式失误 忘记中间项系数是 2 x2+xy+y2=(x+y)2 熟记：中间项必须是2 倍首尾底数乘积 结果格式错误 最终结果保留加减形式 (x+2)(x-2)+3 最终结果只能是整式相乘，无加减 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，需明确因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形需正确，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：是单项式乘以多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项不符合题意； B选项：是把多项式转化为整式乘积的形式，是因式分解，故B选项符合题意； C选项：，变形错误，故C选项不符合题意； D选项：是整式的乘法，不是因式分解，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型02.因式分解的参数问题 4．已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 5．如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 6．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 7．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【分析】根据多项式乘法的逆运算，先设出另一个因式，再通过展开等式两边的多项式，利用对应项系数相等建立方程，求解得到另一个因式和的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ， ． ． 由， ， ． 把代入， ， ． 另一个因式为，的值为． 题型03.公因式 8．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 9．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 10．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 题型04.提公因式法分解因式 11．若实数，满足方程组，则______． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，代数式求值．熟练掌握加减消元法解方程组，代数式求值是解题的关键． 加减消元法解方程组，可得，，，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 12．把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【点睛】解：． 故选：C 13．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再求和即可； （2）先求出与，再对所求代数式因式分解，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 题型05.公式法分解因式判断 15．下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 16．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式． 【详解】解： A选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确； B选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误； 故选：A ． 17．若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 18．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 题型06.平方差公式分解因式 19．因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 20．因式分解：______． 【答案】 【详解】解： ． 21．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 22．因式分解：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式和平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型07.完全平方公式分解因式 23．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 24．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 25．因式分解：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 26．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 题型08.综合运用公式法分解因式 27．在实数范围内分解因式：__________________ 【答案】 【分析】此题考查分解因式，先配方，然后利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 28．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 29．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 30．因式分解：． 【答案】 【分析】本题对二次三项式因式分解，采用配方法结合平方差公式：先配方构造完全平方式，再将剩余常数项转化为平方数，最后用平方差公式分解化简，得到结果． 【详解】解： ． 题型09.综合法分解因式 31．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 32．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 33．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．因式分解：． 【答案】 【分析】先将含a的字母降序排列，将原式变形成，然后用十字相乘法分解分式，再令，再利用平方差公式以及提公因式分解因式，最后把代入分解后的式子即可． 【详解】解： 令， 则原式 把代入中， 则原式． 题型10.实数范围内分解因式 35．在实数范围因式分解： _________________ 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 36．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 37．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11.因式分解与有理数简 38．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 39．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 40．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 【答案】（1）-4051；（2）34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式变形为，再去括号后提取公因数4051，进而求解即可； （2）根据完全平方公式得到，则可求出的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴． 又∵． ∴， ∴． 41．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． .题型12.十字相乘法 42．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 43．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 44．因式分解：． 【答案】 【分析】先对原式中两个二次多项式因式分解，重新分组后两两相乘得到含有相同项的二次多项式，利用换元法简化计算，再将结果分解至不能再分解即可． 【详解】解：原式 ， 令，代入得： 原式 ， 将回代得， 原式 ． 45．在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 题型13.分组分解法 46．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 47．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 48．因式分解：． 【答案】 【分析】先展开原式，再对多项式分组，运用完全平方公式和平方差公式完成因式分解． 【详解】解：原式 ． 49．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法，掌握分组分解法的原则是使因式分解先在组内，再在组间进行是正确解答的关键． （1）将前两项为一组，后两项为一组，先在组内提公因式，再在组间提公因式即可； （2）通过添加项与，再进行分组进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型14.因式分解的应用 50．若，，则_______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入得， ． 51．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对等式移项分解因式，结合a，b，c为正数的条件，推导出正确结论． 【详解】解：将已知等式移项整理得：， 利用平方差公式分解前两项，提取后两项公因式得：， 提取公因式得：， ∵，，均为正数， ∴， ∴， 即， 因此一定正确的关系式是． 52．已知 ，试说明： 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的实际应用，非负性．将，转化为，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 53．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 题型15.因式分解与新定义运算 54．将个数排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义题，解一元一次方程、因式分解—平方差公式等，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据行列式的定义，将给定行列式转化为代数方程，然后使用因式分解—平方差公式将代数方程化简为一元一次方程，求解该方程即可． 【详解】解：由定义得：， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 55．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 56．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 57．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 58．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】（1）根据题意可得，则可得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，求出的展开结果，根据结果中不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可； （3）根据题意可得，则可求出，把所求式子变形为，然后把代入继续变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 59．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，， 故共因多项式和的同因子是． （2）解：， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． （3）①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：如图为所求拼图， 拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 题型16.整体换元法分解多项式 60．若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 61．已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 62．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件，将表达式进行因式分解和代入求值． 【详解】解：， 故选：C． 63．已知：，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）首先求出，，然后将因式分解后代入求解； （2）将因式分解后代入求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴． 题型17.因式分解判定三角形形状题 64．已知是的三边，且满足，则为___________三角形（填写“等腰”、“等边”、“直角”中的一个）． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解与实际应用，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 利用因式分解运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：等腰． 65．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键． 先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 66．已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理．将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形， 故选：B． 67．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 题型18.因式分解中配方法应用 68．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 69．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 【答案】(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【详解】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 70．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 题型19.因式分解整除性相关证明 71．若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意设出多项式分解因式的结果是解题的关键． 根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意可设， 解得 则的值为． 故答案为：． 72．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 【答案】50 【分析】此题考查因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，即可求解． 【详解】解： ∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是， 故答案为：50． 73．试利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】见解析 【详解】解：． 为整数， 能被24整除． 题型20.因式分解中最值问题. 74．多项式的最小值为________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将多项式分组配方，再利用偶次方的非负性，即可求出多项式的最小值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 75．已知实数满足，若，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解应用，分式基本性质，解决本题关键是应用基本不等式求变量取值范围．根据条件即可得到，且，从而得到，再讨论，，情况，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当时，，此时不会是最大值， 当时，， ∵， ∴，即：， ∴的最大值为， 故答案为：． 76．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键． 设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值； 【详解】解：设；整理得：； 将左右两边同时乘以， 则； 则 ； 要求最大值， 所以为正整数， ∵ ∴当时， 解得：； 当时 （舍去） 当时， 解得：(舍去）， 当时， 解得：， 故最大为； 故答案为： 77．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 78．对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)2与1的“2次幂差数”为_____； (2)若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)的最小值为8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，理解新定义． （1）根据“2次幂差数”的定义进行求解即可； （2）根据“2次幂差数”的定义列出算式进行求解即可； （3）根据“2次幂差数”的定义结合题意得出，求出， 根据非负数的性质，求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，． 2与1的“2次幂差数”为3， 故答案为：3． （2）解：依题 ； （3）解：已知，， 代入得：， 即， ， 由，及为整数，可得的取值范围为， ∵在该范围内， ∴当时，取得最小值64，则的最小值为8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解期末复习讲义 . 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的概念，明确其与整式乘法的互逆关系。 2.熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两种基本分解方法。 3.熟记公式形式，能准确区分公式适用条件，掌握因式分解的基本步骤。 4.知道因式分解需分解到不能再分解为止。 1.能快速识别多项式的公因式，规范完成提公因式分解运算。 2.能根据多项式结构特征，灵活选用对应公式进行因式分解。 3.具备综合运用两种方法分解多项式的能力，提升代数式变形能力。 4.能利用因式分解进行简单的化简、求值与简便运算。 1.准确解答因式分解填空、选择基础题，做到零失误。 2.规范书写因式分解解答题步骤，格式严谨、结果完整。 3.会运用因式分解解决化简求值、计算、几何相关综合题型。 4.规避符号错误、分解不彻底、公式混用等常见考试易错点。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:核心概念 1. 定义与关系 类别 内容 区分要点 因式分解 把多项式化成几个整式的积的形式 形式：和差 → 乘积 整式乘法 几个整式相乘，化为多项式 形式：乘积 → 和差 二者关系 互逆恒等变形 做题可互相检验 2. 分解基本原则（扣分红线） (1)结果一定是整式相乘，不能留加减； (2)分解必须彻底，每个因式不能再分解； (3)多项式首项系数为正，首项为负先提负号； (4)相同因式写成幂的形式； (5)因式内部不再合并同类项。 知识点02:两大基本分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式确定方法 三步法：系数取最大公约数，字母取公共字母，指数取最低次幂 2. 公式与典型形式 基本公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 常见题型 示例 注意事项 首项为负 -2x+4y=-2(x-2y) 提出负号，括号内全变号 提公后补 1 x2+x=x(x+1) 单独一项提出后，括号里别漏写 1 互为相反数因式 (a-b)2=(b-a)2 (a-b)=-(b-a) 偶数次幂不变号，奇数次幂变号 解题步骤：找公因式 → 提公因式 → 检查 (二）公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点03:综合解题通用流程（必考口诀） 一提、二套、三检查 一提：优先提取公因式（有公必先提）； 二套：剩余多项式判断形式套公式 二项式 → 平方差 三项式 → 完全平方公式 三检查：看是否分解彻底、符号、格式是否规范。 综合例题 3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)（提公因式 + 平方差） 2x2-4xy+2y2=2(x-y)2（提公因式 + 完全平方） 知识点04:期末常考题型汇总 1.基础题：单纯提公因式、套公式（选择、填空） 2.综合分解：一提二套连用（计算小题） 3.简便运算：利用因式分解凑整，简化计算 4.代数式求值：先分解，再整体代入（高频大题） 5.参数求解：已知式子是完全平方式，求字母的值（填空压轴） 6.说理 / 整除问题：分解后判断能否被某数、某整式整除 知识点05:高频易错点（表格版） 易错类型 错误表现 错误例题 正确做法 分解不彻底 只提公因式，不套公式，半途而废 2x2-8=2(x2-4) 提公因式后，能套公式必须继续分解：2(x+2)(x-2) 漏项问题 提取公因式后，漏掉剩余项的 1 x2+x=x(x) 单独一项全部提出后，括号内补 1：x(x+1) 符号错误 首项为负，提负号括号内不变号 -x2+2x=-(x2+2x) 提出负号，括号内所有项全部变号 公式混淆 分不清平方差、完全平方公式 x2+4=(x+2)2 二项式优先平方差；三项式才用完全平方 完全平方公式失误 忘记中间项系数是 2 x2+xy+y2=(x+y)2 熟记：中间项必须是2 倍首尾底数乘积 结果格式错误 最终结果保留加减形式 (x+2)(x-2)+3 最终结果只能是整式相乘，无加减 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02.因式分解的参数问题 4．已知整式分解因式的结果为，则______． 5．如果是的一个因式，则的值为______． 6．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 7．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 题型03.公因式 8．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 9．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 10．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 11．若实数，满足方程组，则______． 12．把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 13．因式分解 (1) (2) 14．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型05.公式法分解因式判断 15．下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 16．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 17．若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 18．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型06.平方差公式分解因式 19．因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 20．因式分解：______． 21．因式分解： (1) (2) 22．因式分解：． 题型07.完全平方公式分解因式 23．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 24．若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 25．因式分解：． 26．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 题型08.综合运用公式法分解因式 27．在实数范围内分解因式：__________________ 28．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 29．因式分解： (1)； (2)． 30．因式分解：． 题型09.综合法分解因式 31．分解因式：______． 32．分解因式：（     ） A． B． C． D． 33．分解因式： (1)； (2)． 34．因式分解：． 题型10.实数范围内分解因式 35．在实数范围因式分解： _________________ 36．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 37．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型11.因式分解与有理数简 38．______． 39．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 40．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 41．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) .题型12.十字相乘法 42．因式分解：______． 43．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 44．因式分解：． 45．在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 题型13.分组分解法 46．因式分解：____________． 47．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 48．因式分解：． 49．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 题型14.因式分解的应用 50．若，，则_______． 51．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 52．已知 ，试说明： 53．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 题型15.因式分解与新定义运算 54．将个数排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则_______． 55．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 56．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 57．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 58．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 59．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 题型16.整体换元法分解多项式 60．若，则的值为______． 61．已知，求的值为________． 62．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．已知：，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型17.因式分解判定三角形形状题 64．已知是的三边，且满足，则为___________三角形（填写“等腰”、“等边”、“直角”中的一个）． 65．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是______． 66．已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 67．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 题型18.因式分解中配方法应用 68．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 69．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 70．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 题型19.因式分解整除性相关证明 71．若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 72．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 73．试利用因式分解说明：能被24整除． 题型20.因式分解中最值问题. 74．多项式的最小值为________． 75．已知实数满足，若，则的最大值是___________． 76．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是______． 77．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 78．对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)2与1的“2次幂差数”为_____； (2)若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $