13.1.3 反证法 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件以反证法证明等腰三角形底角为锐角为核心，课堂导入联系等腰三角形性质及三角形内角和定理，搭建“假设-推理-矛盾-结论”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是通过具体证明实例，培养推理能力与几何直观，体现数学思维。教学中引导学生假设底角为直角或钝角，推出内角和大于180°的矛盾，小结反证法步骤。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助规范范例强化证明教学效果。

第13章 勾股定理 13.1　勾股定理及其逆定理 3. 反证法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a2+b2 ≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 【探究】反证法 【做一做】 探究与应用 作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a =1.0, b =2.4,c =2.6； (2)a=2, b =3,c=4； (3) a =2, b =2.5,c =3. (1) (2) (3) 【探究】反证法 探究与应用 我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是直角三角形,与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所作图形都不是直角三角形. (1) (2) (3) 由此,可以得到什么样猜想呢？ (1)a = 1.0, b =2.4,c =2.6； (2)a=2, b =3,c=4； (3) a = 2, b =2.5,c =3. 【探究】反证法 探究与应用 分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发, 直接经过推理得出结论,十分困难.我们可以换一种思 维方式,用如下方法证明这个结论: 探究：（1）假设它是直角三角形; （2）根据勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形. 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)存在关系a2 +b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 这种证明方法叫做“反证法”. a b c C A B 别着急 (authorId_208376095) - 通过对这个问题的解答， 使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤。 【探究】反证法 探究与应用 【步骤】 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 反证法： 回想一下，以前用过类似的方法吗？ 【探究】反证法 【思考】 探究与应用 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a²+b²≠c²是真命题吗？ 解（反证法）：假设a²+b²=c²， 则有 ∠C=90°， 这与条件∠C≠90°矛盾， 所以假设不成立， 可知结论a²+b²≠c²成立. 【探究】反证法 【应用】 探究与应用 例1 证明:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证: l1与l2只有一个交点. 证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点，不妨假设 l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法. 【探究】反证法 【应用】 探究与应用 例2 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°， 即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°. 于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°, 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 【探究】反证法 探究与应用 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有： 结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数 否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数 课堂小结 课堂小结与检测 反证法 反证法的概念 反证法的证明步骤： 假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论. 达标检测 课堂小结与检测 1.试说出下列说法的反面： （1）a是实数; 　　 （2）a大于2; （3）a小于2; 　　 （4）至少有2个; （5）最多有一个. 　 　a不是实数 　a小于或等于2 　a大于或等于2 最多有1个 一个也没有 达标检测 课堂小结与检测 2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是　 . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角 形不是等腰三角形”的第一步　　　 　　 　 .　 假设a=b 假设这个三角形是等腰三角形 达标检测 课堂小结与检测 4. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确的顺序应为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② D 达标检测 课堂小结与检测 5.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角． 已知：在△ABC中 ，AB＝AC. 求证：∠B，∠C一定是锐角． 证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角，即∠B≥90°， ∠C≥90°， 所以∠B+∠C ≥90+90°=180°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是直角或钝角，即∠B，∠C是锐角． 谢谢 $